Большая теорема Ферма и психология творчества

                И.П. Калошина





Большая теорема Ферма и психология творчества

Рекомендовано к изданию Учебно-методическим центром «Профессиональный учебник» в качестве монографии Рекомендовано к изданию Научно-исследовательским институтом образования и науки в качестве монографии









юнити
UNITY
Москва • 2017

УДК [159.9+511.4](035.3)
ББК 22.132+88

    К17







Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвили, кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор, лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники






     Калошина, Инна Павловна.

К17 Большая теорема Ферма и психология творчества: монография / И.П. Калошина. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2017. - 319 с.


        ISBN 978-5-238-02124-9
        Агентство CIP РГБ



         В книге представлен подход к теоретической разработке общего метода анализа теоремы Ферма для любого простого нечетного показателя, большего или равного трем, и его применение к доказательству ряда частных случаев теоремы. Метод проиллюстрирован рисунками и основан на положениях элементарной математики, а также общих законах строения (структуры) любой деятельности, изучаемых в психологии. Установлены подмножества чисел, которые подчиняются теореме Ферма. Изложены также трудности в применении общего метода анализа (в отдельных частных случаях), преодоление которых позволит доказать теорему Ферма в целом. Предложены некоторые направления устранения указанных трудностей. Показана взаимосвязь разработанного общего метода анализа с методом «спуска», созданным Ферма для доказательства теоремы при показателе «четыре» и примененным последующими исследователями для показателей «три», «пять», «семь».
         Книга адресована математикам, психологам, инженерам, преподавателям вузов (соответствующих профилей) и студентам, а также школьникам старших классов.



ББК 22.132+88




ISBN 978-5-238-02124-9
© И.П. Калошина, 2011
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 2011
Принадлежит исключительное право на использование и распространение издания (ФЗ № 94-ФЗ от 21 июля 2005 г.).
Воспроизведение всей книги или любой ее части любыми средствами или в какой-либо форме, в том числе в интернет-сети, запрещается без письменного разрешения издательства.
© Оформление «ЮНИТИ-ДАНА», 2011

      Памяти

          Гальперина Петра Яковлевича (1902—1988), профессора МГУ, создавшего научную школу и концепцию по управлению формированием умственных действий и способностей, положения которой использованы при написании данной книги
          Калошина Павла Николаевича (1904-1985) и Калошиной Прасковьи Ивановны (1907—1994), моих родителей, передавших мне идеи, идеалы, идеологию и уверенность в познаваемости законов объективного мира, что необходимо для выполнения данного исследования

Введение



   Земляне могли бы чувствовать себя спокойно, если бы им не пришлось доказывать эту теорему всего лишь около 400 лет, начиная с XVII в., когда она была заявлена П. Ферма.
   Однако есть основание полагать, что человечество не может решить эту задачу на протяжении всей истории существования математики.



   Теорема формулируется просто: «Для любого натурального числа n > 2 уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений в целых ненулевых числах». Другими словами, не существует ни одной тройки целых чисел x, y, z (отличных от нуля), для которых сумма степеней двух чисел с одинаковыми показателями равнялась бы степени какого-либо третьего числа с тем же показателем, т.е. всегда имеет место неравенство xⁿ + yⁿ ^ zⁿ при n > 2.
   Теорема Ферма, можно считать, продолжает всем известную теорему Пифагора. Последняя утверждает, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы a² + b² = c².
   Значит, уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ справедливо для показателя n = 2 в подмножестве некоторых целых положительных чисел (но отнюдь не всех). Другими словами, существуют тройки целых чисел x, y, z (по

ложительных), для которых сумма степеней двух чисел с одинаковыми показателями равняется степени третьего числа с тем же показателем при условии, что таким показателем является число 2. Например, 3² + 42 = 52, или 5² + 12² = 13² , или 9² + 40² = 41² и др. Однако если показатель n = 3, 4, 5, ... — натуральное число, превосходящее 2, то для всех целых чисел имеет место неравенство согласно теореме Ферма. Например, 3³ + 4³ ф 5³, 3⁴ + 4⁴ ф 5⁴, 35 + 45 ф 55, ..., 3n > ² + 4n > ² * 5n > ² или 9³ + 40³ ф 41³, 9⁴ + 40⁴ ф 41⁴, 9⁵ + 405 ф 415, ..., 9” > ² + 40” > ² Ф 41” > ² и т.д.
   Теорема Ферма рассматривает только целые положительные числа, а теорема Пифагора — только положительные числа, но зато целые и дробные. Обе теоремы имеют похожие судьбы, ибо теорема Пифагора была доказана лишь спустя 300 лет: сам Пифагор, сформулировавший теорему, не смог ее доказать, и лишь три века спустя ее доказал Евклид (или его школа в целом). Теорема Ферма остается, по существу, недоказанной по сей день.
   Подходы к доказательству данной теоремы были разные, но всегда теорема доказывалась либо сразу вся в целом для всех показателей n и всех целых чисел x, y, z [21, 22, 25, 28, 30 и др.], либо для всех целых чисел x, y, z при каждом отдельном показателе n = 3, n = 4, n = 5 и т.д. Считается, что Эйлер доказал теорему для n = 3, Ферма — для n = 4, Дирихле и Лежандр — для n = 5, Ламе — для n = 7 (их анализ см. [23, 26, 31, 32 и др.]). Каждый исследователь применял свой метод (учитывая специфику показателя n). Куммер разработал некоторый общий метод, охватывающий сразу большое число показателей (однако отнюдь не все n). Кроме того, предложенный метод базируется на новой теории в математике, созданной Куммером не для доказательства указанной теоремы. Это сложная теория (доступна даже не для всех математиков).
   В данной книге не ставится цель доказать теорему в целом.
   Рассматриваются отдельные подмножества чисел, подчиняющиеся (удовлетворяющие) теореме Ферма для любых показателей n > 2. И в этой связи мы разработали общий метод анализа таких чисел и показателей, основанный, прежде всего, на известных положениях элементарной математики.
   Разработка указанного метода велась, однако, не только с позиций математики, но и психологии. Из психологии взято требование создания обобщенного метода. Поэтому вместо подходов к анализу каждого отдельного показателя n = 3, n = 5, n = 7 (что раскрыто в обзоре литературы), сделана попытка создать общий метод анализа любых простых нечетных показателей n = 3, 5, 7, 11, ... (учитывающий, однако, и специфику каждого n). Разработать общий метод анализа — значит

Введение

5

выявить общую (инвариантную — единую) систему действий для анализа любого показателя п. Такая цель ставится на основе известной в психологии методологии, которая представлена школой Выготского— Леонтьева-Гальперина [4—7, 18, 19, 27] и согласно которой предметом психологии является деятельность, а ее единицей — действия (определяемые прежде всего внешними социальными условиями). Последние (т.е. внешние действия) и лежат в основе психических (внутренних) явлений — мышления, внимания, памяти, способностей и др.
   Становлением внешних действий можно УПРАВЛЯТЬ, что, в свою очередь, означает возможность управлять становлением психических явлений путем интериоризации (перевода во внутрь) внешних предметных действий.
   В психологии известна концепция планомерного и поэтапного формирования умственных действий, автором которой является П.Я. Гальперин — профессор МГУ имени М.В. Ломоносова. Концепция содержит, по крайней мере, три ключевых момента, позволяющих УПРАВЛЯТЬ становлением психических образований [5—7].
   Первый момент состоит в установлении — открытии системы действий, составляющих то или иное психическое явление. Так, можно открыть системы действий, лежащих в основе способностей (например, умений разрабатывать способы доказательства теорем или принципы действия технических устройств, или сочинять музыку, или писать картины и т.д.). Концепция рассматривает способности человека не как врожденные образования, а как формируемые извне действия.
   Второй момент состоит в том, что указанная система действий должна быть обобщенной, приложимой (применимой) к разным объектам. Например, можно выявить систему действий, общую для разработки способов доказательства разных теорем в разных областях знаний (или еще более общую, пригодную также и для разработки принципов действия технических устройств, или еще более общую, применимую и для создания методов расчета и анализа объектов — тоже в разных предметных областях).
   Третий момент подчеркивает, что выявленная система внешних предметных действий, будучи обобщенной, должна быть еще и полной, т.е. отражать все существенные характеристики исследуемых объектов, все их взаимосвязи.
   Автор книги пытался реализовать указанные психологические принципы управления становлением новых действий на материале разработки общего метода анализа и подтверждения самой известной из теорем — Большой (Великой, Последней) теоремы Ферма.

Книга состоит из трех частей (каждая из которых подразделяется на главы). Первая часть посвящена краткому обзору литературы. Вторая — разработке общего «алгебраического» метода анализа всех простых нечетных показателей на соответствие теореме Ферма в подмножестве целых чисел (только положительных) и применению этого метода. Третья часть рассматривает другие методы анализа, в частности «геометрический» метод, основанный на положениях Евклидовой геометрии и элементарной алгебры.
   Каждая из трех частей книги заканчивается резюме. А общие итоги и выводы даны в заключении, где на примере показателя n = 3 пройден весь путь анализа Большой теоремы, раскрыты все удачи и неудачи, возникшие препятствия и предлагаемые пути их преодоления.
   В книге даны результаты анализа данной теоремы и подчеркнуты этапы работы, этапы поиска решений. Последний этап работы представлен в послесловии, которое идет после заключения и раскрывает подход к Большой теореме Ферма с помощью его Малой теоремы.




Автор выражает благодарность
    сотрудникам Российской Государственной Библиотеки и ее дисплейного класса, где осуществлялся компьютерный набор данной книги;
    издательству ЮНИТИ-ДАНА за публикацию книги и всю подготовительную работу.

            Часть I





                Теорема Ферма.
                Ее предпосылки, рождение и развитие (обзор литературы)





   Обзор литературы не является оригинальным исследованием автора. Это авторизированный реферат — краткий конспект существующих источников, и прежде всего фундаментального труда по теореме Ферма (ее истокам, рождению и продолжению), который выполнен американским исследователем Гарольдом Эдвардсом [32].
   В процессе реферирования указанного труда автор, естественно, делает определенные перестановки материала, его развертывание, а также разъяснения или дополнения ряда математических выкладок и их иллюстрацию рисунками (если это требуется для лучшего понимания). Кроме того (и это главное!), в ряде случаев, описывающих длительные и сложные (для понимания) математические переходы от одних формул и выражений к другим, делаются попытки объяснить их с иных позиций — общих законов структуры любой деятельности (изучаемых в психологии и излагаемых во второй и третьей частях данной книги). Имеется в виду применение закона уподобления неизвестных орудий (средств) деятельности (в любой области знаний) ее известным цели и предмету (их структурным элементам). Другими словами, иногда вместо изначального длительного чисто математического выведения ряда формул и выражений делается попытка применить «быстрый алгоритм» их получения — путем уподобления искомых результатов уже имеющимся формулам и выражениям, который затем дополняется соответствующими математическими выкладками.
   Однако подчеркиваем, что в обзорной части (да и последующих — аналитических, авторских) закон уподобления неизвестных орудий (средств) деятельности ее известным цели и предмету применяется лишь как дополнительный объяснительный принцип, сопровождающий и поясняющий математические действия и преобразования, но отнюдь не заменяющий их!
   Закон уподобления орудий цели и предмету деятельности является эвристическим средством, позволяющим (подчас!) до совершения сложных математических операций и действий предвидеть конечный результат, который затем должен быть подтвержден соответствующими математическими преобразованиями.

Часть I. Теорема Ферма. Ее предпосылки, рождение и развитие

   Предвидение неизвестного результата путем его уподобления известным данным (подлежащим преобразованию и получению искомого результата) возможно потому, что сам закон уподобления является объективным — действующим в разных областях знаний вне зависимости от того, осознается он или нет. В одних областях указанный закон действует с очевидностью и всегда; его незачем подчеркивать (да и осознавать), ибо он налицо; например, в литейном производстве орудие (средство) литейной деятельности — шаблон, форма, в которую заливается металл, всегда соответствует (уподобляется) форме детали, которую нужно получить. Действительно, если требуется получить зубчатое колесо, то внутренняя форма шаблона (так называемой опоки) повторяет форму зубчатого колеса. В других областях закон уподобления действует тоже всегда, но отнюдь не с очевидностью; его знают специалисты (хотя и под другим названием), но далеко не всегда знают и осознают студенты, и им его нужно подчеркивать. Так, в области обработки металлов резанием орудия — кинематика металлорежущих станков и форма режущей кромки инструмента — уподобляются форме изготавливаемой детали, например форме зубчатого колеса, но повторяют не всю форму в целом (как это делается в литейном производстве), а лишь ее производящие линии, которых всего две — эвольвента и прямая; движений же (формообразующих) три: два вращательных — для получения эвольвенты, и одно прямолинейное — для образования прямой линии; указанные вращательные движения (их выполняют дисковая заготовка для зубчатого колеса и режущий инструмент — долбяк) не похожи на эвольвенту, которую они образуют, но нужно учесть эволъвентную форму режущей кромки инструмента: все вместе они полностью повторяют (воспроизводят) движения «обкатки» — вращательные движения сопряженной пары зубчатых колес при их работе в машине, т.е. уподобляются (соответствуют) эвольвентной форме зубьев колес.
   В третьих областях знаний, и в частности в математике (высшей и элементарной), закон уподобления неизвестен и при доказательстве теорем, по существу, не применяется¹; лишь две теоремы — Пифагора и Ферма — пожалуй, единственные, где вновь полученные (чисто математическим путем) формулы уж очень похожи на те, из которых (или для которых) они получаются. Это обстоятельство послужило неформальным основанием для обращения (в качестве объяснительного принципа) к закону уподобления.
   В обзорную часть вошли лишь те материалы, которые используются (или на которые автор ссылается) во второй и третьей частях работы — уже своем собственном исследовании.






В психологии выполнены исследования с применением закона уподобления для разработки способов доказательства теорем в высшей (и элементарной) математике (а также в области техники — для разработки принципов действия технических устройств, методов их расчета и анализа) [8, 9, 14—17].

Глава



            Предпосылки теоремы Ферма.
            Ее рождение и метод доказательства





    1.1. Теорема Пифагора и теорема Ферма

   Теорему Пифагора знают все: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы¹. Но не все знают, что Пифагор (живший ок. 571—497 до н.э.) только сформулировал теорему, но доказать ее не смог. Лишь спустя 300 лет эту теорему доказал Евклид (или в целом его школа). Однако уже Пифагор поставил кардинальный вопрос: какие значения могут принимать числа, будучи сторонами прямоугольного треугольника? Он установил, что сторонами прямоугольного треугольника могут быть целые числа, например 3, 4, 5. Однако Пифагору не удалось найти общую формулу построения целочисленных троек (для сторон прямоугольного треугольника). Зато это сделал Евклид (и его школа). Были найдены формулы, позволяющие создавать бесконечное множество трех чисел — двух катетов и гипотенузы. Эти формулы следующие: a = 2pq, b = p² — q² (или b = q² — p²), c = p² + q². Нельзя не обратить внимания на то, как похожи вторая и последняя формулы на закон соотношения сторон в прямоугольном треугольнике a² + b² = c². (Если бы был применен принцип уподобления для построения этих формул, то, может быть, они были бы получены не за 300 лет, а быстрее.)
   Согласно указанным формулам (построения целочисленных сторон прямоугольного треугольника) один катет а равен 2pq, другой катет b равен p² — q², гипотенуза c равна p² + q². Числа p и q являются взаимно простыми (не имеющими других общих делителей, кроме 1) и противоположной четности: одно число — четное (пусть без нарушения общности q), другое - нечетное (p); второе число превосходит первое p > q или, наоборот, q > p (все равно). Указанные числа p и q могут быть любыми по величине; мы бы назвали их структурными элементами, ибо из них строятся триады чисел a, b, c.
   Таким образом, а — четный катет, b — нечетный катет, с — нечетная гипотенуза; другими словами, катеты — противоположной четности, а гипотенуза — всегда нечетная [3, 20, 29].


¹ Точная формулировка: «В прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе,

равен сумме квадратов, построенных на катетах».

Часть I. Теорема Ферма. Ее предпосылки, рождение и развитие

    Например, возьмем произвольно самые малые значения (можно любые) для чисел p и q: пусть p = 1, q = 2, тогда один катет ачет = 2 • 2 • 1 = 4, другой катет Ьнечет = 2² — 1 = 3, гипотенуза c нечет = 2² + 1 = 5; образовали всем известную тройку целочисленных длин сторон прямоугольного треугольника 3, 4, 5. Другой пример: пусть p = 3, q = 2, тогда один катет ачет = 2 • 2 • 3 = 12, другой катет Ьнечет = 3² — 2² = 5, гипотенуза c нечет = 2² + 3² = 13; образовали другую известную тройку целочисленных длин сторон прямоугольного треугольника 5, 12, 13. Третий пример: пусть p = 7, q = 4, тогда один катет ачет = 2 • 4 • 7 = 56, другой катет Ьнечет = 7² — 4² = 33, гипотенуза c нечет = 4² + + 7² = 65; образовали новую малоизвестную тройку целочисленных сторон прямоугольного треугольника 56, 33, 65.
    Итак, длинами сторон прямоугольного треугольника могут быть целые числа, разыскиваемые по указанным формулам (есть еще один вариант формул, обеспечивающих построение таких трех целых чисел). Числа, построенные по указанным формулам, называются пифагоровыми тройками (или, точнее, примитивными, т.е. простыми, пифагоровыми тройками; если любую простую пифагорову тройку умножить на какой-либо целочисленный коэффициент, то получим тоже пифагорову тройку, но не простую, а составную. Например: 3 • 7 = 21, 4 • 7 = 28, 5 • 7 = 35; проверим: [(21² = 441) + (28² = 784)] = = (35² = 1225). Но такие составные тройки не представляют интереса, ибо последнее равенство всегда можно сократить на общий делитель — вышеуказанный коэффициент 7.
    Теорема Пифагора — предтеча теоремы Ферма. Ведь для того чтобы получился переход от одной теоремы к другой, достаточно поставить вопрос: могут ли быть длинами сторон прямоугольного треугольника числа а², b², с², или а³, b³, с³, или а¹’⁵, b¹’⁵, с¹’⁵, или а²’⁵, b²’⁵, с²’⁵ и т.д. Если указанные степенные числа не могут быть сторонами прямоугольного треугольника, то справедливы неравенства, соответствующие теореме Ферма:
                 (a²)² + (b²)² ^ (c²) ² ^ a⁴ + b⁴ ^ c⁴;
                 (a³)² + (b³)² * (c³) ² ^ a⁶ + b⁶ * c⁶;
                 (a¹,⁵)² + (b¹,⁵)² ^ (c¹,⁵) ² ^ a³ + b³ ^ c³;
(a²’⁵)² + (b²’⁵)² * (c²’⁵) ² ^ a⁵ + b⁵ * c⁵ и т.д.
    Если указанные степенные числа могут быть сторонами прямоугольного треугольника, то справедливы равенства теоремы Пифагора, нарушающие Последнюю теорему Ферма.
    Читателю, конечно, понятно, что если построить прямой угол, то на его сторонах всегда можно отложить любые отрезки, например а³, b³ или а¹’⁵, b¹’⁵ и т.д. Значит, два числа, представляющие собой степени с одинаковыми показателями, всегда могут быть катетами; вопрос — в гипотенузе. Если концы указанных отрезков соединить прямой линией (т.е. образовать прямоугольный треугольник), то неизвестно, может ли получиться гипотенуза длиной с³ или с¹’⁵ соответственно (рис. 1.1).