Математическое моделирование в клеточной биофизике

i

i

“Ogneva” — 2014/9/4 — 12:40 — page 1 — #1
i

i

i

i

i

i

УДК 577.3; 517.958:5
ББК 28.05; 28.071в6
О38

Огнева И.В.

О38
Математическое моделирование в клеточной биофизике: Учебное пособие. — М.: Издательство Московского университета,
2014. — 46 с.
ISBN 978-5-19-010931-3
В предлагаемом учебном пособии представлены подходы к математическому моделированию биомеханического поведения живых
объектов на примере мышечных клеток и филаментных биологических структур — кинетоцилий, являющиеся наглядной иллюстрацией тенденции к синтезу знаний из разных областей науки.
Издание предназначено для студентов, обучающихся по специальностям «Биофизика» и «Медицинская биофизика», а также может быть полезно для научных работников.
Ключевые слова: математическое моделирование, биофизика клетки, мышечная клетка, кинетоцилия.

УДК 577.3; 517.958:5
ББК 28.05; 28.071в6

Ogneva I.V.

Mathematical Modeling in Cellular Biophysics: A Tutorial. —
Moscow: Moscow University Press, 2014. — 46 p.
The proposed tutorial presents approaches to the mathematical modeling of the biomechanical behavior of living objects on the example
of the muscle cells and filamentous biological structures — kinetocilia.
These approaches are a clear illustration of the trend towards the synthesis of knowledge from different fields of science.
The manual is intended for students majoring in biophysics and
medical biophysics, and may also be useful for graduate students and
researchers working in the field of biophysics.
Key words:
mathematical modeling, cell biophysics, muscle cells,
kinetocilia.

ISBN 978-5-19-010931-3
c⃝ И.В. Огнева, 2014
c⃝ Издательство Московского университета, 2014

i

i

“Ogneva” — 2014/8/15 — 20:38 — page 5 — #2
i

i

i

i

i

i

Оглавление

Введение.............................................................................
6

1. Математическое моделирование как способ познания
7

2. Математическое моделирование биологических объектов ............................................................................
10
3. Моделирование в биомеханике клетки........................
12
3.1. Механические свойства живых тканей..........................
13
3.2. Клетка как биомеханическая среда ..............................
13
3.3. Математическое моделирование подвижности филаментных биологических структур ......................................
16

4. Моделирование подвижности немышечных клеток:
кинетоцилии.................................................................
22

5. Различные типы подвижности кинетоцилий...............
32
5.1. Обонятельные жгутики..............................................
32
5.2. Жгутики сперматозоидов...........................................
32
5.3. Реснички мерцательного эпителия и простейших...........
33

6. Моделирование механических свойств мышечных волокон............................................................................
35
6.1. Сократительный аппарат ...........................................
35
6.2. Математическое моделирование мембраны кардиомиоцитов и волокон скелетных мышц:
взаимодействие с
внешним механическим полем.....................................
37
Литература .........................................................................
44

i

i

“Ogneva” — 2014/8/15 — 20:38 — page 6 — #3
i

i

i

i

i

i

Введение

Метод научного познания любого нового явления состоит из двух
частей — анализа и синтеза. Именно так и протекало развитие знаний о природе: в течение многих веков происходила дифференциация
различных естественных наук (например, появились физика, химия,
биология и т.д.), а в последние десятилетия наметилась отчетливая
тенденция к объединению результатов, полученных в различных областях естественно-научного знания, с целью описания сложных, фундаментальных проблем мироздания.
В результате стали возникать
смежные области знания, такие как физическая химия и химическая
физика, биохимия, биофизика, провести четкое различие между которыми становится все труднее.
Предмет данного исследования — живая материя, изучение которой в течение долгого времени было прерогативой классической биологической науки. Однако поскольку сам термин «материя» является
сугубо физическим, то становится возможным изучать биологические
явления физическими методами. Именно это и составляет предмет
такой области знания, как биофизика.
Стоит остановиться несколько подробнее на смысле термина «изучение». Можно говорить о том, что явление понятно, если существует
некая теория, позволяющая делать предсказания о поведении, совпадающие с экспериментальными данными.
Поэтому конечной целью любого исследования становится поиск такой теории: например,
физики пытаются создать теорию глобального объединения, которая
правильно описывала бы все известные в настоящее время явления,
в том числе и биологические закономерности. Таким образом, справедливо полагать, что все процессы, характерные для живой материи,
могут быть описаны путем использования физического и математического аппарата.
В данном исследовании стоит задача попытаться найти методы и
способы, хорошо известные в физике, которые можно было бы использовать в построении теории, позволяющей описывать процессы,
протекающие в биологических средах. Одним из таких способов является математическое моделирование.

i

i

“Ogneva” — 2014/8/15 — 20:38 — page 7 — #4
i

i

i

i

i

i

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
КАК СПОСОБ ПОЗНАНИЯ

1.

Математическое моделирование на основе физических законов выступает в настоящее время как новый универсальный компонент методологии любой науки. Оно не опровергает, а дополняет традиционные
классические методы исследования, позволяя получать надежное, хотя и только эмпирическое знание по интересующей проблеме за более
короткое время и менее дорогостоящим способом, чем при использовании классических методов. По современным представлениям, математическое моделирование — незаменимый инструмент познания во все
усложняющемся мире. Понятый и до конца осознанный модельный
характер наших знаний о природе привел к кардинальной перестройке
и бурному прогрессу различных областей знания на основе использования универсального подхода к изучению явлений самого разного
характера [1].
Математическое моделирование в естественных науках служит универсальным подходом к изучению различных, в том числе и самых
сложных, природных явлений.
При этом в ходе создания моделей
необходимо строго следить за их адекватностью наблюдаемым явлениям. В некоторых относительно простых случаях адекватность
модели может быть обеспечена четким пониманием сути явления и
опорой на фундаментальные физические законы.
Но значительно
чаще адекватность модели проверяется путем сопоставления математических предсказаний с результатами эксперимента, особенно при
моделировании сложных систем, например биологических.
Методология построения математических моделей довольно хорошо разработана и описана в различных книгах и учебных пособиях,
посвященных этой проблеме.
Одним из основоположников такого
подхода является А.А. Самарский.
Кратко остановимся на последовательности действий, необходимых для создания математической
модели какого-либо явления, руководствуясь книгами «Математическое моделирование» А.А. Самарского и А.П. Михайлова [2] и «Физические основы математического моделирования» Г.А. Бордовского,
А.С. Кондратьева и А.Д.Р. Чоудери [1].

7

i

i

“Ogneva” — 2014/8/15 — 20:38 — page 8 — #5
i

i

i

i

i

i

Первый шаг в построении математической модели любого процесса или объекта — формулировка вербальной модели явления на основе
физических понятий.
Следующий шаг в создании математической модели сложных явлений или систем состоит в разбиении изучаемой проблемы на ряд
более простых задач — таким образом, чтобы хотя бы некоторые из
них могли быть решены на качественном или даже количественном
уровне в рамках существующих теорий в определенных областях науки — физики, химии, биологии и т.д.
Определяющим этапом становится выбор понятий и величин, в терминах которых может быть построена замкнутая система уравнений,
определяющая математическую модель.
Математическая модель должна быть сформулирована в соответствии с фундаментальными законами природы, такими как законы
сохранения массы вещества, числа частиц, энергии, импульса, момента импульса, заряда для замкнутых систем, а также опираться
на такие общие методологические принципы, как относительность,
симметрия, причинность.
Эти универсальные законы и принципы
справедливы для любых явлений, процессов и сред и, в принципе,
позволяют сформулировать математическую модель явления в наиболее простой форме.
Однако для создания математической модели какого-либо конкретного сложного объекта необходимо использовать некоторые динамические законы, характеризующие физико-механические свойства деформируемой среды. Эти законы чаще всего выводятся эмпирически,
путем анализа большого числа экспериментальных данных, и могут
содержать определенные новые качественные предположения, с помощью которых объясняется поведение системы. Здесь появляется
место для новых идей и концепций, которые позволили бы перевести
качественные соображения, лежащие в основе вербальной модели, на
математический язык. На этой стадии могут вводиться определенные
феноменологические параметры, которые не могут быть вычислены
исходя из фундаментальных принципов и законов вследствие сложности системы. Их численные значения определяются только путем
сравнения получаемых теоретических результатов с экспериментальными данными (тем не менее всегда желательно провести оценку
возможных значений таких феноменологических параметров до проведения сравнения с экспериментальными данными).
Введение в систему уравнений эмпирических законов связано с
четким пониманием характерной для системы иерархии временн´ых
масштабов и возможностей экспериментальных измерительных устройств. Именно возможности измерительных приборов в конечном
счете определяют максимально возможный уровень описания системы: качественная картина идущих в системе процессов должна быть
проверяема проводимыми над системой измерениями. Только при выполнении этого условия возможно адекватное введение необходимых
феноменологических параметров.

8

i

i

“Ogneva” — 2014/8/15 — 20:38 — page 9 — #6
i

i

i

i

i

i

Значение «динамичности» системы заключается в возможности
установления «верхней» и «нижней» границ в иерархии таких моделей, то есть в возможности указания самой сложной модели, строго
соответствующей по смыслу и по структуре использованным при создании модели законам физики, и самой простой модели, уже «потерявшей» многие конкретные свойства изучаемой системы, но в явном
виде не противоречащей физическим законам.
Особое внимание при построении физической модели явления, обладающего определенной динамикой, должно обращаться на то, чтобы в редуцированной модели не оказались неучтенными процессы, характерное время протекания которых больше огрубленного временн´ого
масштаба, принятого при создании данной модели.
Неучет процессов, характерное время которых меньше выбранного временн´ого масштаба, не приведет к появлению неадекватности
модели, а только сделает принципиально невозможным теоретическое вычисление некоторых из вводимых характеристик системы, вынуждая объявлять их феноменологическими параметрами. При этом
экзотический характер не учтенных в явном виде процессов может
приводить к весьма сложному виду модельной функции, объявляемой феноменологической характеристикой системы.
При моделировании системы, не обладающей определенной динамикой, или при неизвестном виде этой динамики возникает ряд
дополнительных трудностей, отсутствующих для систем с известной
динамикой. Основная из них заключается в проблеме выбора математического аппарата, который проводится исключительно на эвристическом уровне.

i

i

“Ogneva” — 2014/8/15 — 20:38 — page 10 — #7
i

i

i

i

i

i

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ БИОЛОГИЧЕСКИХ
ОБЪЕКТОВ

2.

Одной из самых новых областей применения методов математического моделирования является биология. Биология, химия и физика настолько тесно переплетаются между собой в живых системах,
что сопоставлять результаты, полученные различными методами, без
использования математического аппарата представляется крайне затруднительным.
Кроме того, количество новой экспериментальной
информации в биологии таково, что систематизировать ее без качественной теории невозможно. И в этом случае математика выступает
как метод качественного мышления [3].
Объектом исследования и математического описания в данной работе является крайне сложный и многоплановый объект — живая
клетка. Кроме того, интересную и важную задачу представляет собой
и формулировка модели ткани, сформированной каким-либо специализированным типом клеток.
Математическую модель подобных объектов можно считать удовлетворительной, если она позволит анализировать происходящие в
клетках и тканях процессы — информационные, энергетические, электромагнитные, механические, обусловленные явлениями переноса массы,
заряда, энергии, а также разнообразными химическими реакциями.
Кроме того, математическая модель должна предсказывать изменение характеристик живой системы в результате различных внешних
воздействий.
Однако такого рода модель, даже при вербальном ее описании,
представляется крайне сложной, поскольку все эти процессы в конечном счете взаимосвязаны, а пути регуляции изучены еще недостаточно.
Для создания максимально полной модели наиболее оптимальным,
на наш взгляд, представляется ступенчатый путь: вначале — модель
конкретных явлений (перенос массы, заряда, энергии; химические ре
10

i

i

“Ogneva” — 2014/8/15 — 20:38 — page 11 — #8
i

i

i

i

i

i

акции), затем — переход к отдельному физиологическому процессу
(модели роста/развития, деления, движения) и уже впоследствии —
создание единой модели, свойства которой были определены предыдущими шагами. При этом именно возможность анализа характеристик
физиологических процессов является узловой, поскольку допускает
возможности экспериментальной проверки. В таком ракурсе модели
отдельных явлений представляются уточняющими, а единая модель
выступает как обобщающая.