Математические основы теории управления

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное 

учреждение высшего образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

И. С. Шабаршина, В. В. Корохов, Е. В. Корохова

Математические основы 

теории управления

Учебник

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2016

УДК 517:004.4(075.8)
ББК 22.161я73

Ш124

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Южного федерального университета 

(протокол № 4 от 5 мая 2016 г.)

Рецензенты:

заведующий кафедрой дифференциальных и интегральных

уравнений Института математики, механики 

и компьютерных наук ЮФУ,

доктор физико-математических наук О. Г. Авсянкин; 

доцент кафедры «Программное обеспечение вычислительной 

техники» факультета информационных технологий и управления 

Южно-Российского государственного

политехнического университета (НПИ) им. М. И. Платова,

кандидат технических наук В. А. Мохов

Шабаршина, И. С. 

Ш124
Математические основы теории управления : учебник
/

И. С. Шабаршина, В. В. Корохов, Е. В. Корохова ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону : Издательство Южного 
федерального университета, 2016. – 130 с. 

ISBN 978-5-9275-2230-9

В учебнике изложены теоретические основы математического аппарата

исследования и проектирования объектов систем управления, показано 
решение практических задач. Усвоению программного материала помогут 
тестовые задания и задания для самостоятельной работы. 

Учебник предназначен для студентов 2 курса Института высоких тех
нологий и пьезотехники Южного федерального университета, изучающих 
курс «Математические основы теории управления» в рамках освоения основной образовательной программы по направлению подготовки 27.03.03 
«Системный анализ и управление», а также по другим направлениям укрупненных групп 27.00.00 «Управление в технических системах» и 15.00.00 
«Машиностроение». 

ISBN 978-5-9275-2230-9
УДК 517:004.4(075.8)

ББК 22.161я73

© Южный федеральный университет, 2016
© Шабаршина И. С., Корохов В. В., Корохова Е. В., 2016
© Оформление. Макет. Издательство

Южного федерального университета, 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................5

Глава 1.  МЕТОДЫ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА  
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ...........................................................................17

1.1. Комплексные числа............................................................................17
1.2. Комплексные последовательности и ряды ......................................20
1.3. Кривые и множества в комплексной плоскости..............................22
1.4. Функции комплексного переменного...............................................24
1.5. Аналитические функции...................................................................27
1.6. Интегрирование функции комплексного переменного .................27
1.7. Степенные ряды. Ряд Тейлора .........................................................30
1.8. Ряд Лорана..........................................................................................32
1.9. Изолированные особые точки однозначного характера ................33
1.10. Вычеты и некоторые способы их вычисления...............................35
Задания для самостоятельной работы....................................................37

Глава 2.  МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ  
ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ............................................................................56

2.1. Преобразование Лапласа ..................................................................56

2.1.1. Основные понятия .....................................................................56
2.1.2. Свойства преобразования Лапласа .........................................58
2.1.3. Свертка функций и ее свойства ...............................................59
2.1.4. Таблица стандартных изображений........................................60
2.1.5. Обращение преобразования Лапласа .....................................61
2.1.6. δ-функция Дирака .....................................................................62
2.1.7. Решение линейных обыкновенных дифференциальных 
уравнений и систем .............................................................................64
2.1.8. Применение передаточных функций для анализа 
процессов...............................................................................................65

2.2. Преобразование Фурье ......................................................................69
2.3. Z-преобразование ...............................................................................70

2.3.1. Основные понятия .....................................................................70
2.3.2. Свойства Z-преобразований......................................................71
2.3.3. Основные Z-преобразования ....................................................72

Оглавление

4

Задания для самостоятельной работы ................................................... 73
Тестовые задания...................................................................................... 87

Глава 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ 
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD........................................ 92

3.1. Разложение функции в ряд Тейлора............................................... 92
3.2. Интегральные преобразования. Z-преобразование....................... 94
3.3. Решение дифференциальных уравнений....................................... 95
3.4. Решение разностных уравнений.................................................... 103
Индивидуальные задания..................................................................... 104

Экзаменационные вопросы ................................................................... 115

Учебно-методическое обеспечение дисциплины............................. 118

Приложения ............................................................................................... 120

ВВЕДЕНИЕ

В условиях динамично изменяющихся внешних и внутрен
них условий существования организаций и предприятий, особенно в высокотехнологичных отраслях техники и технологий, к компетенциям специалистов в области системного анализа и управления предъявляются высокие требования, которые включают в 
себя глубокие знания в области теории управления и практические навыки решения задач управления сложными системами с 
использованием современного программно-математического инструментария. Успешное владение методами анализа и синтеза автоматических и автоматизированных систем невозможно без свободного понимания сложного математического аппарата. Базовый 
курс математики, преподаваемый в классическом университете, не 
в полной мере удовлетворяет требованиям к подготовке инженерных кадров, область профессиональной деятельности которых связана с решением проблем управления сложными системами. Для 
успешного восприятия и освоения теоретического курса теории 
управления и последующих дисциплин и формирования требуемых компетенций бакалавров по направлению «Системный анализ 
и управление», а также по другим направлениям укрупненной 
группы «Управление в технических системах» в структуре образовательной программы предусмотрен курс «Математические основы
теории управления», целью которого является углубление знаний и формализация представлений в области основ математического описания систем управления: изучение специальных разделов математики, практическое освоение математического аппарата, используемого в теории управления и, в частности, в теории 
автоматического управления, применение полученных знаний и 
навыков при решении задач системного анализа и управления.

Задачи курса: формирование у студентов представления об 

операционном исчислении как основном инструменте при решении задачи Коши и разностных уравнений в целом ряде прикладных наук (теории автоматического управления, механике, 

Введение

6

радиотехнике, электротехнике и т. д.) и умение применять полученные знания и навыки при решении инженерных задач.

Место дисциплины в структуре основной образовательной
программы

Изучаемая дисциплина является важной частью единого про
цесса формирования знаний и навыков бакалавра по направлению «Системный анализ и управление».

Учебная дисциплина «Математические основы теории управ
ления» относится к базовому циклу. Для изучения данной учебной дисциплины необходимы следующие знания, умения и навыки, формируемые предшествующими дисциплинами.

Информатика

Знания: видов и способов представления информации; совре
менного состояния и перспектив развития информационных технологий; принципов классификации компьютеров и программного обеспечения; основных принципов работы компьютеров; основных приемов с текстовыми процессорами и электронными таблицами; структур алгоритмов; структур данных.

Умения: выполнять основные команды операционной системы; 

выполнять основные операции с текстом в текстовом редакторе; 
обрабатывать информацию с помощью электронных таблиц.

Навыки: владение типовыми методами работы с файловой сис
темой компьютера; методами работы со стандартными приложениями Windows; методами работы с программами-оболочками;
методами создания и редактирования документов с помощью текстового процессора.

Математика, 

математическое обеспечение системного анализа

Знания: основных математических понятий и методов, при
меняемых в системном анализе.

Умения: применять знания математики для решения при
кладных профессиональных задач; адекватно оценивать свои образовательные и профессиональные результаты; анализировать 

Введение

7

поставленную профессиональную задачу, построить математическую модель для ее решения, получить ее решение математическими методами; строго доказывать утверждение; ориентироваться в постановках задач и их корректности.

Навыки: практические навыки решения задач; базовые навы
ки самостоятельного поиска профессиональной информации в печатных и электронных источниках; способность передавать результат проведенных математических и прикладных исследований в виде конкретных рекомендаций, выраженных в терминах 
предметной области изучавшегося явления.

Основы компьютерной математики

Знания: состава системы Mathcad; основных принципов зада
ния объектов (переменных, функций, операторов), проведения 
численных и символьных вычислений, прерывания вычислений, 
работы с вещественными и комплексными числами, математическими константами; методов создания и редактирования массивов данных; основных встроенных функций, специальных функций Mathcad, реализующих численные алгоритмы для интегрального преобразования Фурье; о возможностях символьных 
преобразований.

Умения: создавать и редактировать массивы данных, совер
шать всевозможные операции с ними; применять возможности 
символьного процессора при различных алгебраических и интегральных преобразованиях; создавать и редактировать изображения в двумерной и трехмерной системах координат; использовать инструменты исследования двумерных кривых; проводить 
математические расчеты.

Навыки: владение типовыми методами работы в системе 

Mathcad.

Требования к результатам освоения дисциплины 

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
знать: математическое описание объектов управления и типо
вых законов управления;

Введение

8

уметь: применять современный математический аппарат и 

его программные реализации при анализе объектов и систем 
управления: решать линейные дифференциальные уравнения с 
применением преобразования Лапласа; решать разностные уравнения с применением Z-преобразования;

владеть: практическими навыками решения задач с приме
нением математического аппарата теории управления, в том числе и с использованием популярных математических инструментальных систем (MathСad, MatLab и др.).

Данные знания, умения и навыки необходимы для изучения 

таких учебных дисциплин, как  «Теория автоматического управления», «Системный анализ и принятие решений», «Системный анализ и управление проектами».

Содержание и структура дисциплины

Структура учебника определена с учетом особенностей тем, 

изучаемых в курсе «Математические основы теории управления» 
и необходимых для решения задач, рассматриваемых в курсе теории автоматического управления и других дисциплин. Одними из 
важнейших являются задачи математического описания систем 
автоматического регулирования (САР), а также задачи их анализа и синтеза. Эти системы с обратными связями можно отнести 
к классу сложных динамических систем. 

В случае непрерывных САР с сосредоточенными параметрами 

их математическим описанием (моделью) являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения с частными производными используются для описания непрерывных САР с распределенными параметрами. Дискретные 
системы представляются математическими моделями в виде разностных уравнений. Процессы в САР могут быть описаны как линейными, так и нелинейными уравнениями, соответственно, и системы автоматического регулирования относят к линейным или 
нелинейным. Среди линейных систем значительная часть имеет 
постоянные параметры. Такие системы описываются линейными 

Введение

9

дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Для линейных систем, в которых параметры изменяются во 
времени, описанием служат линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.

Методы описания и исследования автоматических систем, ис
пользуемые в теории управления, базируются на ряде разделов 
высшей математики. В большинстве случаев в качестве математических моделей систем автоматического регулирования используются дифференциальные или разностные уравнения, поэтому для исследования или проектирования САР необходимо 
знание основных разделов теории дифференциальных или разностных уравнений. Получаемые студентами в ходе изучения курса 
высшей математики знания в области теории дифференциальных 
уравнений недостаточны для глубокого понимания методов теории управления. Необходимо хорошее понимание некоторых специальных вопросов этого раздела высшей математики. Например, важным вопросом является определение условий существования единственного решения систем уравнений, которое проводится при аналитическом исследовании устойчивости и при анализе поведения систем с помощью вычислительной техники. Также важными являются вопросы, связанные с методами решения 
систем линейных дифференциальных и разностных уравнений, 
свойствами решений этих систем, в частности, определение зависимости решений от начальных условий, параметров и т. п. Большое значение имеет изучение как способов решений нелинейных
дифференциальных и разностных уравнений, так и свойств самих решений. 

Запись и изучение дифференциальных и разностных уравне
ний удобно проводить с использованием матричной (векторной) 
формы записи, обладающей рядом преимуществ. Так, например, 
описание многомерных САР с помощью системы дифференциальных уравнений традиционным способом является довольно громоздким, а использование матричной формы позволяет представить компактную модель, что позволяет описывать многомерные 

Введение

10

САР. Процесс решения уравнений в матричной форме проще и 
нагляднее. Матричное представление используется при изучении 
общей теории устойчивости движения и исследовании устойчивости автоматических систем.

Частотные методы, являясь удобным инструментом для оцен
ки устойчивости систем, расчета параметров качества переходных 
процессов и оценки точности системы, нашли широкое распространение в решении задач анализа и синтеза САР. Эти методы 
традиционно применяются при исследовании линейных систем, 
но могут достаточно успешно использоваться и для анализа динамики многих нелинейных систем. Частотные методы базируются на методе спектрального представления сигналов с помощью 
частотных характеристик системы. Теоретическую базу для спектральных представлений составляют теория рядов Фурье и интеграла Фурье, базирующихся на знаниях, получаемых студентами 
в данном курсе и входящих в курс математического обеспечения 
системного анализа.

Исследование САР с помощью частотных методов предпола
гает построение ряда характеристик, являющихся функциями 
комплексного переменного, в комплексной плоскости. Поэтому 
изучение ряда разделов теории автоматического управления, например теории устойчивости, включающей и частотные критерии, 
невозможно без тщательного изучения аппарата теории функции 
комплексного переменного. 

Методы операционного исчисления являются одним из важ
нейших математических инструментов, используемых в теории 
управления. Использование методов операционного исчисления 
при интегрировании многих типов дифференциальных, интегродифференциальных и разностных уравнений приводит к упрощениям процесса решения.

Следующим важным компонентом дисциплины является 

изучение возможностей системы математических вычислений 
Mathcad для решения основных задач анализа и синтеза САР. 
Применение данной системы позволяет в удобной для аналитика 

Введение

11

форме, аналогичной традиционной записи математических операций, представлять описания систем, определять их основные 
характеристики, исследовать режимы работы компонентов и всей 
системы, производить расчеты корректирующих звеньев и т. п., 
а также приводить динамические характеристики в графическом 
виде. Использование Mathcad существенно сокращает время вычислений и ошибки в расчетах, повышает качество представления результатов и общий уровень компетенций бакалавра в области информационных технологий.

Перечень разделов и тем

Трудоемкость дисциплины составляет 5
зачетных единиц,

180  часов

Форма отчетности: экзамен

№
п/п

Раздел 

дисциплины/темы

Семестр

Неделя семестра

Виды учебной 
работы, включая самостоятельную работу обучающихся и трудоемкость (в часах)

Формы текущего 
контроля успеваемости (по неделям 

семестра)

Форма промежуточной аттестации (по 

семестрам)

Лекции

Практические 

занятия

Самостоятель
ная работа

1
Введение в математическое обеспечение теории управления

4
1
1
–
–

Опрос

2
Теория функций 
комплексного переменного
4
1–6
11
10
7

Работа на практических занятиях, 
проверка домашних
заданий, опрос

Введение

12

Продолжение табл.

№
п/п

Раздел 

дисциплины/темы

Семестр

Неделя семестра

Виды учебной 
работы, включая самостоятельную работу обучающихся и трудоем
кость (ч)

Формы текущего 
контроля успеваемости (по неделям 

семестра)

Форма промежуточной аттестации (по 

семестрам)

Лекции

Практические 

занятия

Самостоятель
ная работа

3
Теория вычетов

4
6–7
2
4
8

Работа на практических занятиях, проверка домашних заданий, опрос

4
Приложения теории вычетов
4
8
2
2
10
Работа на практических занятиях, опрос

5
Методы комплексного анализа систем управления

4
9
–
2
10

Индивидуальное домашнее задание, 
контрольная работа

6
Преобразование 
Лапласа
4
9–11
5
4
7

Работа на практических занятиях, проверка домашних заданий, опрос

7
Приложения операционного исчисления к решению 
линейных дифференциальных уравнений и их систем

4 11–15
8
8
8

Работа на практических занятиях, проверка домашних заданий

8
Z-преобразование и 
преобразование 
Фурье
4 15–16
3
2
6

Работа на практических занятиях, проверка домашних заданий