Сопротивление материалов : в 3 ч. Ч. 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего 
профессионального образования 

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

Н.М.Атаров, Г.С.Варданян 
А.А.Горшков, А.Н.Леонтьев 

СОПРОТИВЛЕНИЕ  МАТЕРИАЛОВ  

Учебное пособие 

Часть 3 

Под общей редакцией профессора Н.М.Атарова 

Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов РФ по 
образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов, 
обучающихся по направлению 270800 «Строительство» 

М о с к в а  2017 

3-е издание (электронное)

УДК  539.3 
ББК   30.121 

С64 

   Сопротивление материалов. [В трех частях.] Ч. 3 [Электронный ресурс] : учебное 
пособие / Н. М. Атаров, Г. С. Варданян, А. А. Горшков и др. ; под ред. Н. М. Атарова ; 
М-во образования и науки Рос. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — 3-е изд. (эл.). — 
Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 75 c.). — М. : Издательство МИСИ—МГСУ, 
2017. — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10".

      Настоящая третья часть учебного пособия по курсу «Сопротивление материалов с основами 
строительной механики и теории упругости, пластичности и ползучести» посвящена разделам: 
«Напряженное и деформированное состояния в окрестности точки тела», «Плоская задача теории 
упругости», «Изгиб прямоугольных и кольцевых пластин», «Решение задач по теории упругости, 
термоупругости и изгибу пластин». 
       Для студентов, обучающимся по направлениям  08.03.01, 08.04.01 «Строительство», и студентов, обучающихся по программе специалитета по специальности 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений» (29.04.2013 г., № 102-15/774).

Р е ц е н з е н т ы: 
доктор технических наук, профессор С. Н. Кривошапко,  
заведующий кафедрой прочности материалов и конструкций  
Российского университета дружбы народов;  
член-корреспондент РААСН, доктор технических наук,  
профессор Н. Н. Шапошников 
 (Московский государственный университет путей сообщения) 

А в т о р ы:
Н. М. Атаров, Г. С. Варданян, А. А. Горшков, А. Н. Леонтьев

С64 

ISBN 978-5-7264-1759-2
ISBN 978-5-7264-1775-2 (Ч. 3) 

УДК  539.3 
ББК   30.121

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных  техническими 
средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения 
убытков или выплаты компенсации.

Деривативное электронное издание на основе печатного издания: Сопротивление материалов. 
[В трех частях.] Ч. 3 : учебное пособие / Н. М. Атаров, Г. С. Варданян, А. А. Горшков и др. ; под 
ред. Н. М. Атарова ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — М. : 
Издательство МИСИ—МГСУ, 2014. — 75 с. — ISBN 978-5-7264-0484-X.

ISBN 978-5-7264-1759-2
ISBN 978-5-7264-1775-2 (Ч. 3)

©  Национальный исследовательский

Московский государственный 
строительный университет, 2014

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Учебное пособие предназначено для оказания помощи студентам строительных специальностей вузов при выполнении расчётно-графических работ по 
сопротивлению материалов, основам строительной механики (для специальностей ВиВ, ТГВ и СТ) и теории упругости и пластичности. 
Пособие состоит из 3-х частей и 14 глав по темам расчетно-графических 
работ. Каждая глава содержит краткое изложение теории, где приведены основные формулы и уравнения, и примеры решения задач, аналогичных задачам 
в расчетно-графических работах. 
В конце каждой части пособия приведен сортамент стальных прокатных 
стержней – уголков, двутавров и швеллеров. 
В третьей части пособия приведены главы, соответствующие учебному материалу 3-го семестра изучения сопротивления материалов – напряженное и 
деформированное состояния в окрестности точки тела, плоская задача теории 
упругости, изгиб прямоугольных и кольцевых пластин, решение задач по теории упругости, термоупругости и изгибу пластин. 
Пособие написано профессорами кафедры сопротивления материалов 
МГСУ.  
В пособии использована система единиц СИ, а также традиционные для 
курса сопротивления материалов обозначения: сила – P, площадь поперечного 
сечения стержня – F. Соотношения между основными механическими величинами в единицах СИ и в технической системе приведены в следующей таблице: 

Наименование 
величины 
Е д и н и ц а 
Соотношение 
единиц 
Наименование 
Обозначение 

Сила, нагрузка, вес 
Ньютон 
Н 
1Н  0,1 кгс 
1кН  0,1тс 

Линейная нагрузка 
Ньютон на метр 
Н/м 
1Н/м  0,1кгс/м 
1кН/м  0,1тс/м 

Момент силы, момент  
пары сил 
Ньютон-метр 
Нм 
1Нм  0,1кгсм 
1кНм  0,1тсм 

Напряжение, давление 
Паскаль 
Па 
1Па  0,1кгс/м2

1МПа  10кгс/см2

При определении напряжений в качестве вспомогательной единицы измерения используется также кН/см2  (1 кН/см2 = 10 МПа).  

ГЛАВА  11 

НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ 
В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ТЕЛА 

11.1. Основные понятия и формулы 

Под действием нагрузок, приложенных к телу, в нем возникают внутренние силы, которые определяются величинами нормальных и касательных 
напряжений в каждой точке тела. Совокупность напряжений, действующих на 
различных площадках, проведенных через точку тела, характеризует напряженное состояние в окрестности данной точки. 
На рис.11.1 показаны нормальные  σx, 
σy, σz  и касательные  τxy, τyz, τzx  напряжения, действующие на гранях бесконечно 
малого (элементарного) параллелепипеда, 
выделенного в окрестности произвольной 
точки тела. 
Совокупность этих величин представляет собой тензор напряжений 
































z
zy
zx

yz
y
yx

xz
xy
x
T
.             (11.1) 

В силу закона парности касательных 
напряжений  (τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz)  имеем шесть различных компонент тензора, которые полностью определяют напряженное состояние в окрестности 
точки тела. Это означает, что, зная эти шесть величин, можно определить 
напряжения на любой наклонной по отношению к осям  Ox, Oy, Oz  площадке, 
проходящей через данную точку. 

Полное напряжение  pν, действующее на наклонной площадке с нормалью 
ν, положение которой определяется направляющими косинусами  l = cos(x,), 
m= cos(y,),  n = cos(z,), можно разложить по осям координат (рис.11.2). Эти 
составляющие можно выразить через компоненты тензора напряжений по формулам: 

Рис.11.1 

y

z

x



px

py

pz

О

p

y

z

x



О

t

t

p



Рис.11.2 
Рис.11.3 




































,

;

;

n
m
l
p

n
m
l
p

n
m
l
p

z
zy
zx
z

yz
y
yx
y

xz
xy
x
x
             (11.2) 

где    
1
2
2
2



n
m
l
. 
Если точка, в окрестности которой рассматривается напряженное состояние, находится на поверхности тела, то величины  

x
p
, 

y
p
, 

z
p
  представляют 
собой компоненты распределенной поверхностной нагрузки. В этом случае 
формулы (11.2) можно использовать в качестве статических граничных условий. 
Нормальное напряжение на наклонной площадке    и касательное напряжение  τt, действующее в плоскости площадки по направлению  t  с направляющими косинусами  l1, m1, n1 (рис.11.3), определяются по формулам 













































.

;
2
2
2

1
1
1
1
1
1
1
1
1

2
2
2

l
n
nl
n
m
mn
m
l
lm
nn
mm
ll

nl
mn
lm
n
m
l

zx
yz
xy
z
y
x
t

zx
yz
xy
z
y
x
   (11.3) 

Напряжения  pν, ν  и  τt  действуют в одной плоскости. Величина  τt  является полным касательным напряжением в плоскости наклонной площадки, и 
она может быть определена по формуле 

.
p
p
p
p
z
y
x
t
2
2
2
2
2
2
















            (11.4) 

При изменении положения наклонной площадки, то есть при изменении 
углов между нормалью  ν  и осями координат, напряжения  ν  и  τt  также изменяются. В любой точке нагруженного тела всегда существуют три взаимно 
перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Такие площадки называются главными площадками, а действующие на 
них нормальные напряжения – главными напряжениями. Они обозначаются через  σ1, σ2, σ3, при этом принимается, что  σ1  σ2  σ3. Главные напряжения являются экстремальными величинами по отношению к углам наклона площадок. 
На рис.11.4,а  показан элементарный параллелепипед, грани которого являются главными площадками, а нормали к ним – главными осями напряженного состояния  1, 2, 3. 

Рис.11.4

Существуют три основных вида напряженного состояния: трехосное, при 
котором все три главных напряжения отличны от нуля (рис.11.4,а), двухосное, 
при котором одно из главных напряжений равно нулю (рис.11.4,б), и одноосное, при котором только одно из главных напряжений отлично от нуля 
(рис.11.4,в). 
Величины главных напряжений определяются из кубического уравнения 
.0
3
2
2
1
3







I
I
I
(11.5) 
Коэффициенты этого уравнения называются инвариантами тензора напряжений и выражаются через компоненты последнего по формулам 


















































.
zx
yz
xy
xy
z
zx
y
yz
x
z
y
x

zx
yz
xy
x
z
z
y
y
x

z
y
x

I

I

I

2

;

;

2
2
2
3

2
2
2
2

1
         (11.6) 

Эти величины являются постоянными для данной точки и не зависят от углов наклона площадок. В силу этого инварианты тензора напряжений можно 
выразить через главные напряжения: 





























.
I

I

I

3
2
1
3

1
3
3
2
2
1
2

3
2
1
1
;

;

             (11.7) 

После определения из уравнения (11.5) главных напряжений  σi (i=1,2,3) 
можно найти положение каждой из трех главных площадок, т. е. определить 
направляющие косинусы  li, mi, ni  нормалей к главным площадкам по формулам 

i

i
i
D
l
1


,     

i

i
i
D
m
2


,     
,
D
n

i

i
i



               
           (11.8) 

где 





















































.

;
)
)(
(

;
)
(

;
)
(

2
2
2
2
1

2

2

1

i
i
i
i

xy
i
y
i
x
i

zx
xy
yz
i
x
i

yz
xy
zx
i
y
i

D

    (11.9) 

Наибольшее по абсолютной величине касательное напряжение действует 
на площадках, наклоненных под углами 
45 к главным осям 1 и 3 и равно 

.
2

3
1
нб





             (11.10) 

Рассмотрим двухосное или плоское напряженное состояние, которое возникает, например, в тонкой пластине, нагруженной по внешнему контуру силами, параллельными плоскости  Oxy и равномерно распределенными по толщине 
h (рис.11.5). На внешних ненагруженных плоскостях пластины при  
2
/
h
z


  
нормальные и касательные напряжения равны нулю  (σz = τyz = τzx = 0). Так как 

x

y

О

x

y

xy

yx

z
O

h/2
h/2

y

  Рис.11.5   

толщина пластины мала, можно считать, что и во внутренних точках пластины 
на площадках, параллельных плоскости  Oxy, эти напряжения отсутствуют, и 
указанные площадки являются главными. 

На рис.11.6,а показаны нормальные и касательные напряжения  σx, σy, τxy = 
= τyx, действующие на гранях элементарного параллелепипеда со сторонами  dx, 
dy  и толщиной, равной единице, выделенного в окрестности произвольной 
точки пластины. На рис.11.6,б показаны напряжения, действующие на двух 
взаимно перпендикулярных наклонных площадках, выделенных в окрестности 
той же точки. Эти напряжения определяются по формулам 





















































.
2
cos
2
sin
2

;
2
sin
cos
sin

;
2
sin
sin
cos

2
2

2
2

xy
y
x
t
t

xy
y
x
t

xy
y
x
     (11.11) 

Величины главных напряжений при двухосном напряженном состоянии в 
плоскости  Oxy  определяются по формуле 

2

2

2
,1
2
2
xy
y
x
y
x



















,
(11.12) 

а углы наклона нормалей 1 и 2 к главным площадкам (рис.11.7) – по формулам 

y

xy








1
1
tg
,           
.

2
2
y

xy







tg
 (11.13) 

y
t

x



О







t

t

t
t

t
t
y

y
а)
б)

z

O

 Рис.11.6   

Рис.11.7
            Рис.11.8   

Третье главное напряжение равно нулю:  
0
3




z
. 
Наибольшие касательные напряжения действуют на площадках, наклоненных под углами 45º к главным площадкам (рис.11.8). При этом величина 
наибольшего касательного напряжения в плоскости  Oxy  равна 

.
2

2
1
нб






      (11.14) 

Нормальные напряжения на этих площадках равны 

.
2

2
1





          (11.15) 

Под действием внешних сил происходит деформирование тела и перемещение его точек в пространстве. При этом рассматриваются только те перемещения, которые связаны с деформированием тела. В большинстве задач перемещения точек тела считаются малыми величинами по сравнению с его размерами. 

Обозначим составляющие вектора полного перемещения  АА'  произвольной точки  А (рис.11.9) по осям  Ox, Oy, Oz  соответственно через  u, v, w. В соответствии с положением о сплошности тела перемещения его точек являются 
непрерывными функциями координат  x, y, z. 
Для исследования деформаций в окрестности точки тела рассматривается 
элементарный параллелепипед со сторонами  dx, dy, dz (рис.11.10). В результате 
различия перемещений точек параллелепипеда его ребра удлиняются или укорачиваются, а первоначально прямые углы между ребрами искажаются. В соответствии с этим различают два основные вида деформаций – линейные и угловые. 
Линейные деформации  εx, εy, εz  представляют собой относительные удлинения или укорочения ребер элементарного параллелепипеда (рис.11.10). 

dx
dx
dx

x



1
,     
dy
dy
dy

y




1
,     
.
dz
dz
dz
z




1
             
 (11.16) 

Деформации удлинения считаются положительными, а укорочения – отрицательными. 
Угловые деформации или деформации сдвига  γxy, γyz, γzx  характеризуют 
искажения прямых углов между ребрами элементарного параллелепипеда 

О

x

y

z

u
v

w

z

x

y
dx dx1

dz dz1

dy
dy1

О

A
A

Рис.11.9
Рис.11.10     

(рис.11.11). При этом индексы показывают, в какой плоскости происходит угловая деформация. 
Совокупность линейных и угловых деформаций в окрестности точки тела 
называется тензором деформаций 

.

2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1






































z
zy
zx

yz
y
yx

xz
xy
x

T
               
            (11.17) 

Деформации сдвига, так же как и касательные напряжения, обладают 
свойством взаимности  γxy = γyx, γyz = γzy, γzx = γxz. Вследствие этого имеем шесть 
деформаций, которые полностью определяют деформированное состояние в 
окрестности рассматриваемой точки тела. Зная эти шесть величин, можно 
определить линейную деформацию  εν  в произвольном направлении ν и угловую деформацию  γt, определяющую изменение прямого угла между направлениями ν и t, по формулам 


















































.

)
(
)
(
2

;

1
1
1
1

1
1
1
1
1

2
2
2

l
n
nl
n
m
mn

m
l
lm
nn
mm
ll

nl
mn
lm
n
m
l

zx
yz

xy
z
y
x
t

zx
yz
xy
z
y
x
         (11.18) 

Тензоры напряжений и деформаций и выражения (11.3) и (11.18) имеют 
аналогичную структуру и могут быть получены одни из других с помощью 
следующих формальных замен: 

i
i



,     
ij
ij



2
1
  
).
,
,
,
,
,
(


t
z
y
x
j
i
               (11.19) 

Среди множества осей, проведенных через точку тела, существуют три 
взаимно перпендикулярные оси, в системе которых отсутствуют угловые деформации. Эти оси называются главными осями деформированного состояния, 
а соответствующие им линейные деформации – главными деформациями. 
Главные деформации обозначаются через  ε1, ε2, ε3, при этом принимается, что 
ε1  ε2  ε3. 

z

x

y
О

z

x

y
О

z

x

y
О

xy

yz

zx
xy
zy

xz

 Рис.11.11  

В изотропном теле главные оси напряженного и деформированного состояний совпадают. 
Относительная объемная деформация в окрестности точки (относительное 
изменение объема элементарного параллелепипеда) с точностью до величин 
второго и третьего порядков малости равна сумме трех линейных деформаций 

.
e
z
y
x






                                                         (11.20) 

Для линейно упругих и изотропных тел связь между напряжениями и деформациями в окрестности точки тела называется обобщенным законом Гука. 
Обобщенный закон Гука может быть записан в прямой форме 































































,
)
2(1
)],
(
[
1

;
)
2(1
)],
(
[
1

;
)
2(1
)],
(
[
1

zx
zx
zx
y
x
z
z

yz
yz
yz
x
z
y
y

xy
xy
xy
z
y
x
x

E
G
E

E
G
E

E
G
E

                 (11.21) 

и в обратной форме 


































.
,e

,e

,e

zx
zx
z
z

yz
yz
y
y

xy
xy
x
x

2

;
2

;
2

                              (11.22) 

Последние три формулы в (11.21) и (11.22) выражают закон Гука при сдвиге, а величины    и  λ  называются постоянными Ляме. Они связаны с модулем 
упругости  Е  и коэффициентом Пуассона    формулами 


 ,
E
G





1
2
     


,
2
1
1








E
                               (11.23) 

где G – модуль сдвига. 
В случае двухосного напряженного состояния в формулах (11.21) и (11.22) 
необходимо положить  σz = τyz = τzx = 0. В результате прямые и обратные формулы закона Гука преобразуются соответственно к виду 

.
)
1(
2
),
(
1
),
(
1

xy
xy
xy
x
y
y
y
x
x
E
G
E
E

















            (11.24) 

.
)
1(
2
),
(
1
),
(
1
2
2
xy
xy
xy
x
y
y
y
x
x
E
G
E
E





















   (11.25) 

При деформировании тела в нем происходит накопление потенциальной 
энергии деформации. Энергия, накапливаемая в единице объема тела, называется удельной энергией. 
Удельную потенциальную энергию можно выразить через напряжения по 
формуле 






.
E
E
U
zx
yz
xy
x
z
z
y
y
x
z
y
x
2
2
2
2
2
2
0
1
2
2
1
























     (11.26)