Лекции по статистической физике

Ф. А. Березин

Лекции
по статистической физике

Под редакцией Д. А. Лейтеса

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 530.1
ББК 22.317
Б48

Березин Ф. А.
Лекции по статистической физике
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
196 с.
ISBN 978-5-4439-2151-8

Книга является обработанной записью лекций основателя «суперматематики» — Ф. А. Березина, прочитанных им на мехмате МГУ в 1966–68 гг.
Лекции содержат березинский единообразный подход к бозонам и фермионам, и березинский взгляд на квантование, которое в последнее время
с большим успехом было использовано при изучении физики твердого тела
и других разделах.
Книга рассчитана на математиков, начиная со студентов-второкурсников,
но будет интересна и физикам, как студентам так и профессионалам.

Подготовлено на основе книги: Березин Ф. А. Лекции по статистической
физике. — 2-е изд., испр. / под ред. Д. А. Лейтеса. — М.: МЦНМО, 2008.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499)-241-74-83.
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2151-8
© Карпель Е. Г., 2008
© МЦНМО, 2014.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
От автора . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Часть I.
Классическая статистическая физика
9

§ 1. Сведения из классической механики . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
9

Г л а в а
1. Ансамбль микроскопических подсистем. . . . . . . . . . . . . .
16

§ 2. Физические предположения. Дальнейшее обсуждение эргодической
гипотезы. Распределение Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
§ 3. Эвристический вывод распределения Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . .
21
§ 4. Полный вывод распределения Гиббса. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
24
§ 5. Связь с термодинамикой . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
32
§ 6. Свойства энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
43
§ 7. Аналитическое дополнение к главе I . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
48

Г л а в а
2. Реальный газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

§ 8. Физические предположения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
§ 9. Распределение Гиббса в малом каноническом ансамбле. . . . . . . . .
57
§ 10. Корреляционные функции в малом каноническом ансамбле . . . . . .
61
§ 11. Уравнения Боголюбова . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
66
§ 12. Распределение Гиббса в большом каноническом ансамбле . . . . . . .
70
§ 13. Уравнения Кирквуда—Зальцбурга. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
§ 14. Связь между корреляционными функциями в большом и малом каноническом ансамблях . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
84
§ 15. Существование термодинамического потенциала в большом ансамбле . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
§ 16. Существование термодинамического потенциала в большом ансамбле (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
87
§ 17. Свойства большой и малой статистических сумм . . . . .. . . . . . . . .
94
§ 18. Существование термодинамического потенциала в малом ансамбле
97
§ 19. Среднее по распределению числа частиц . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 100
§ 20. Оценки малой статистической суммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Оглавление

Часть II.
Квантовая статистическая физика
107

§ 21. Сведения из квантовой механики. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 107

Г л а в а
3. Ансамбль микроскопических подсистем. . . . . . . . . . . . . . 114

§ 22. Среднее по времени. Эргодическая гипотеза . . . . . .. . . . . . . . . . . 114
§ 23. Распределение Гиббса . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 117
§ 24. Связь с термодинамикой. Энтропия . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 122

Г л а в а
4. Квантовые газы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

§ 25. Метод вторичного квантования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
§ 26. Макроскопические подсистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
§ 27. Идеальный бозе-газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 145
§ 28. Идеальный ферми-газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 150
§ 29. Модель сверхпроводимости Бардина—Купера—Шриффера . . . . . . 154
§ 30. Связь между квантовой и классической статфизикой . . .. . . . . . . . 164

Д о п о л н е н и е 1. Семиинварианты в классической статфизике . .. . . . . . . 171
Д о п о л н е н и е 2. Континуальные интегралы и функции Грина . . .. . . . . . . 175
Д о п о л н е н и е 3. Обзор строгих результатов (Р. А. Милнос) . . .. . . . . . . . 187

Литература . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

От редактора

Мне давно хотелось издать эти лекции: они мне понятнее других известных мне книг на эту тему, и при этом много короче. Единственное исключение — недавние зажигательные лекции Р. А. Минлоса [M1]. И, что
неожиданно и приятно для читателя, эти две книги практически не пересекаются и обе актуальны.
В оригинале (препринте [B1] 1972) ссылки на литературу практически
отсутствовали. Я привел необходимый (по-моему) минимум, в том числе,
на работы (в основном, книги) последних лет.
В недавней книге В. В. Козлова [Koz], в которой очень живо и доступно
обсуждаются некоторые идеи Гиббса и Пуанкаре, не очень понятые (или
совсем не понятые) за те 100 лет, что прошли с момента их опубликования, этим запискам Березина воздано должное, в частности, приведен
полученный (30 лет спустя) ответ на один из его вопросов. (Соответствующую ссылку я приведу в нужном месте.)
В те годы, когда этот курс лекций читался, Ф. А. Березин был близко
связан с Я. Г. Синаем и у них была совместная работа [BS]. Как видно даже из предисловия обычно сдержанного автора, Березин довольно
пренебрежительно относился к математической деятельности по построению строгой статистической физики и всегда настаивал на доказательстве
теорем, которые могли бы иметь прямые приложения в физике. Это было
нереально тогда, и эксперты считают, что это и сейчас нереально. Математическая часть науки пошла по пути введения основного понятия —
предельного распределения Гиббса (Добрушин, Гриффитс) и изучения фазовых переходов на его основе, см. [DLS]. Все это, похоже, прошло мимо
Березина, хотя и при его жизни (см. [DRL, PS]).
Березин нашел изящный подход к выводу формулы Онзагера для двумерной модели Изинга. Он потратил много усилий на обобщение этого
подхода на другие модели, но без какого-либо (известного) успеха. Трехмерный случай также остался недоступен [DP].
В том виде, в котором лекции написаны, они содержат достаточно стандартный материал, а некоторые замечания не вполне правильны, советуют мне эксперты. Однако, заблуждения Березина, если он действительно
ошибался, очень поучительны.

Предисловие

Однако, кроме стандартного материала, лекции содержат и березинский единообразный подход к бозонам и фермионам, и березинский взгляд
на квантование, позже развитый в [B4, B5, B6]. Березинское квантование настолько не похоже ни на какое другое из математических описаний
этого физического термина, что лет 10 оставалось невостребованным, зато
последнее время идет нарасхват в связи с разнообразными приложениями. Эта часть лекций — по объему значительная — не отражена (судя по
Math. Reviews) ни в одном из учебников по статфизике, опубликованных
за последние 40 лет. Некоторые из близких по духу идей использованы
недавно с громадным успехом при изучении твердого тела [Ef].
Реферат из Math. Reviews1) на [DLS] хорошо иллюстрирует, что исследователю осталось немало открытых проблем.
Добавление Минлоса написано очень давно и слишком кратко; сегодня
его заменяют лекции Минлоса [M1].

Об обозначениях.
Хотя некоторые обозначения Березина сейчас
непривычны (англо-язычное сокращение tr (trace) для следа давно смени
1)MR0496246 (58 #14819): До 1976 г. единственным общим методом для установления
существования фазового перехода был метод, развитый Добрушиным [Теор. Вероятность
и Примен. 10 (1965), 209–230] и Гриффитсом [Phys. Rev. (2) 136 (1964), A437-A439] на
основе оригинальных идей Р. Пайерлса [Proc. Cambridge Philos. Soc. 32 (1936), 477–481].
В 1976 г. Фрёлих, Либ и Т. Спенсер [Comm. Math. Phys. 50 (1976), no. 1, 79–95] опубликовали независимый метод и применили его к разным моделям Изинга и классическим
моделям Гейзенберга. Реферируемая работа распространяет этот метод на несколько квантово-механических моделей и доказывает, например, что фазовый переход возникает в квантовом гейзенберговом антиферромагнетике со спином 1 на кубической решетке с взаимодействием лишь ближайших соседей в размерностях ⩾ 3. (Ранее Н. Д. Мермин и Х. Вагнер
[Phys. Rev. Lett. 17 (1966), 1133–1136] доказали отсутствие таких переходов в размерностях 1 и 2.) Для моделей ферромагнетиков получено меньше результатов, однако показано,

что фазовые переходы возникают в XY моделях со спином 1

2 с взаимодействием лишь ближайших соседей в размерностях ⩾ 3.

Замечания референта: в препринтной версии этой работы авторы заявили, что они решили
классическую проблему о единственности спонтанной магнетизации для 3-мерного ферромагнетика Гейзенберга, но Фрёлих, очевидно, обнаружил ошибку в доказательстве. К сожалению, опубликованная версия содержит следы имевшего место недоразумения, и жаль,
что статья не была более тщательно пересмотрена и более жестко отреферирована. Например, большая часть дискуссии о моделях ферромагнетиков остается спекулятивной и ее
ценность сомнительна. Главным достижением представляется сведение физически осмысленного свойства ненулевой спонтанной магнетизации к свойству, которое авторы назвали
«Гауссовым доминированием». Но не видно ни одного резона, эвристического или иного,
чтобы поверить, что ферромагнетики обладают этим свойством. В то же время результаты
для анти-ферромагнетиков очень интересны, так же, как и большая часть методов. Например,
критические феномены обсуждаются в терминах порядков дальнодействия для двухточечных
функций Дюамеля вместо обычных двухточечных функций.

Рецензент Д. У. Р ´обинсон (Derek W. Robinson)

Предисловие
7

ло немецкое sp (spur)), я все время помнил, редактируя, известный анекдот
про разговор Ф. М. Достоевского со своим редактором:
— Федор Михайлович! У Вас тут написано: «в комнате стоял круглый
стол овальной формы». Как-то это...
Достоевский, подумав:
— Да, Вы правы. Впрочем, оставьте, как есть.
Поэтому, например, хотя в современных текстах {fn} обозначает, как
правило, множество, состоящее из одного вектора fn, а не из всех базисных
векторов fn, а у Березина—наоборот, я и это оставил как есть: гении имеют
право настаивать на своем стиле. Немногие подобные двусмысленности
лекционного стиля, оставшиеся в записи лекций, не должны, по-моему,
вызвать затруднения у читателя.

Д. Лейтес, 2006

От автора

Этот курс лекций был прочитан мной на механико-математическом факультете в 1966–67 учебном году.
Статистическая физика до настоящего времени является наукой более
чем на 90% эвристической. Это означает, что устанавливаемые ею факты, как правило, не доказаны в математическом смысле этого слова, хотя
рассуждения, приводящие к ним, обладают большой убедительностью.
Немногие имеющиеся в настоящее время строгие результаты обычно
обосновывают эвристические рассуждения. Нет сомнения в том, что так
будет продолжаться до тех пор, пока строгие математические методы не
охватят единственного раздела статистической физики, о котором у физиков нет достаточно четкого представления, — теорию фазовых переходов.
Я считаю, что в настоящее время статистическая физика еще не нашла
своего адекватного математического языка. Поэтому с моей точки зрения
классические эвристические соображения, развитые со времен Максвелла
и Гиббса, не потеряли своей ценности. Что же касается имеющихся сейчас
строгих результатов, то они ценны, с моей точки зрения, лишь в случае,
если по своей простоте и естественности могут соперничать с теми эвристическими соображениями, которые призваны заменить. Такие результаты имеются в классической статистической физике. В первую очередь
это — теоремы Ван Хова и Ли Янга о существовании термодинамического потенциала и теорема Боголюбова—Хацета—Рюэлля о существовании
корреляционных функций. В квантовой статистической физике подобных
результатов пока нет.

Предисловие

Высказанная здесь точка зрения легла в основу построения курса.
Я стремился изложить его на основе классических эвристических соображений, обращая особое внимание на логическую последовательность.
Строгие результаты приведены там, где они получены достаточно естественными методами. Во всех случаях строгие теоремы даются в предположениях, максимально облегчающих доказательство. Предлагаемый курс
ни в коей мере не является исчерпывающим учебником статистической
физики. Я надеюсь,что он будет полезен для более сознательного чтения
журнальной и монографической литературы.
Первоначальная запись и обработка лекций была сделана В. Л. Ройтбурдом, которому я хочу здесь выразить свою искреннюю признательность.
Я хочу также поблагодарить Р. А. Минлоса, написавшего по моей
просьбе дополнение 3, содержащее обзор строгих результатов.

Ф. Березин, 1972

Ч А С Т Ь
I

КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

§ 1. Сведения из классической механики

1.1. Свойства траекторий механической
системы.
Напомним
некоторые сведения из классической механики. Мы будем рассматривать
лишь так называемые консервативные системы, т. е. такие, у которых
энергия не зависит от времени. Каждое состояние механической динамической системы с n степенями свободы описывается точкой 2n-мерного фазового пространства. Координаты в фазовом пространстве принято обозначать через p = (p1, ... , pn) (обобщенные импульсы), и q =
= (q1, ... , qn) (обобщенные координаты). Каждой физической величине
(точнее — каждой физической величине, не зависящей от времени) соответствует функция f(p, q) в фазовом пространстве. В дальнейшем, когда
мы говорим о физической величине, мы всегда имеем в виду соответствующую функцию. Особую роль играет энергия, соответствующую функцию
принято обозначать H(p, q). Эта функция называется также гамильтоновой функцией или гамильтонианом. Эволюция системы со временем
определяется дифференциальными уравнениями

dp
dt = −∂H

∂q ,
dq
dt = ∂H

∂p .
(1.1)

Всегда в дальнейшем предполагается, что для системы (1.1) справедлива
теорема существования и единственности при любых начальных данных
и любом t. Отметим свойства системы (1.1), которые нам понадобятся
в дальнейшем.
1) Пусть p(t, p0, q0), q(t, p0, q0) —решение системы (1.1) с начальными
условиями
p(0, p0, q0) = p0,
q(0, p0, q0) = q0.
(1.2)

Пусть далее f(p, q) — функция, постоянная вдоль траекторий системы:

f(p(t, p0, q0), q(t, p0, q0)) = f(p0, q0).
(1.3)

Физические величины, обладающие этим свойством, называются сохраняющимися или интегралами движения.
Если функция f дифференцируема, то дифференцируя равенство (1.3)
по t и учитывая (1.1), находим, что функция f удовлетворяет уравнению

Часть I. Классическая статистическая физика

с частными производными

i

∂f

∂pi
∂H
∂qi − ∂f

∂qi
∂H
∂pi

= 0.
(1.4)

Стоящее в левой части этого равенства выражение называется скобкой
Пуассона и обозначается [f, H], или чаще {f, H}. Функции, удовлетворяющие условию (1.4), т. е. такие, что [f, H] = 0, называются коммутирующими с H. Легко проверить, что условие (1.4) не только необходимо, но
и достаточно для того, чтобы дифференцируемая функция f была интегралом движения.
Очевидно, что если f является интегралом движения, то траектория системы, имеющая хотя бы одну общую точку с поверхностью f(p, q) = const,
целиком лежит на этой поверхности. Каждая консервативная динамическая система имеет хотя бы один интеграл движения. Этим интегралом
служит энергия H(p, q). Для доказательства достаточно проверить, согласно предыдущему, что равна нулю скобка Пуассона: [H, H] = 0. Таким
образом, каждая траектория системы лежит на некоторой поверхности постоянной энергии H(p, q) = E. Эти поверхности играют важнейшую роль
в статистической физике.
2) Решения системы (1.1) образуют однопараметрическое семейство
отображений фазового пространства на себя:

(p0, q0) → (p(t, p0, q0), q(t, p0, q0)).
(1.5)

Из теоремы существования и единственности следует,что при каждом t
отображение (1.5) взаимно однозначно. Из того обстоятельства, что функ
ция H не зависит от t и, следовательно, функции ∂H

∂q , ∂H

∂p , стоящие в правой

части (1.1), обладают тем же свойством, вытекает, что отображения (1.5)
образуют однопараметрическую группу:

p(t, p(
t, p0, q0), q(
t, p0, q0)) = p(t +
t, p0, q0),

q(t, p(
t, p0, q0), q(
t, p0, q0)) = q(t +
t, p0, q0).

3) Якобиан отображения (1.5) равен 1:

D(p(t, p0, q0), q(t, p0, q0))

D(p0, q0)
= 1.
(1.6)

Это равенство означает сохранение объема при отображении (1.5):

dp dq = dp0 dq0,