Изометрические полиэдральные подграфы в гиперкубах и кубических решетках
Покупка
Тематика:
Геометрия и топология
Год издания: 2014
Кол-во страниц: 192
Дополнительно
Вид издания:
Монография
Уровень образования:
ВО - Магистратура
ISBN: 978-5-4439-2070-2
Артикул: 682462.01.99
Предмет этой монографии есть идентификация полиэдраль-
ных графов, которые могут быть вложены в некоторый гиперкуб
или кубическую решетку так, что графическое расстояние соответ-
ствует квадрату евклидова расстояния. Рассматриваются различ-
ные обобщения правильных многогранников (включая некоторые
4-многогранники) и разбиений пространства, а также многогран-
ников, возникающих в химических приложениях. Книга может
служить справочником по таким многогранникам.
Книга развивает материал, изложенный в ранее опублико-
ванной монографии М. Деза и М. Лоран ¾Геометрия разрезов и
метрик¿ (М.: МЦНМО, 2001)
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
М.Деза, В.П.Гришухин, М.И.Штогрин Изометрические полиэдральные подграфы в гиперкубахи кубических решетках Перевод с английского Н.А.Шиховой Электронное издание Москва Издательство МЦНМО 2014
УДК 519.1 ББК 22.176 Д26 Деза М., Гришухин В. П., Штогрин М. И. Изометрические полиэдральные подграфы в гиперкубах и кубических решетках Перевод с английского Электронное издание М.: МЦНМО, 2014 379 с. ISBN 978-5-4439-2070-2 Предмет этой монографии есть идентификация полиэдральных графов, которые могут быть вложены в некоторый гиперкуб или кубическую решетку так, что графическое расстояние соответствует квадрату евклидова расстояния. Рассматриваются различные обобщения правильных многогранников (включая некоторые 4-многогранники) и разбиений пространства, а также многогранников, возникающих в химических приложениях. Книга может служить справочником по таким многогранникам. Книга развивает материал, изложенный в ранее опубликованной монографии М. Деза и М. Лоран «Геометрия разрезов и метрик» (М.: МЦНМО, 2001) Подготовлено на основе книги: Деза М., Гришухин В. П., Штогрин М. И. Изометрические полиэдральные подграфы в гиперкубах и кубических решетках / Перевод с англ. Н. А. Шиховой. — М.: МЦНМО, 2008. — 192 с. Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11, тел. (499)241–74–83. http://www.mccme.ru ISBN 978-5-4439-2070-2 c⃝ М. Деза, В. П. Гришухин, М. И. Штогрин, 2008. c⃝ МЦНМО, 2014.
Оглавление Введение 7 Глава 1 Введение. Графы и их изометрические вложения со шкалой 9 1.1. Графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Вложения графов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Вложения плоских графов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4. Типы регулярности многогранников и паркетов . . . . . . . 25 1.5. Операции на многогранниках . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6. Разбиения Вороного и Делоне . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.7. Бесконечные графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Глава 2 Пример: вложение фуллеренов 36 2.1. Вложимость фуллеренов и двойственных им полиэдров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2. Бесконечные семейства ℓ1-невложимых фуллеренов . . . . 41 2.3. Модель Кацуры для пузырьковых клеток . . . . . . . . . . 43 Глава 3 Правильные паркеты и соты 45 3.1. Правильные паркеты и соты . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Планарный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3. Звездные соты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4. Случай размерности d ⩾ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Глава 4 Полуправильные полиэдры и многогранники, родственные призмам и антипризмам 55 4.1. Полуправильные полиэдры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2. Московский граф, графы глобуса и паутины . . . . . . . . 59
Оглавление 5 4.3. Звездные k-угольники, куполы и антипаутины . . . . . . . 61 4.4. Каппингованные антипризмы и колонки из антипризм . . 63 Глава 5 Усечение, каппинг и шамферинг 66 5.1. Усечения правильных разбиений . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2. Частичные усечения и каппинги платоновых тел . . . . . . 68 5.3. Шамферинг платоновых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Глава 6 92 правильногранных полиэдра (не полуправильных) 76 Глава 7 Полуправильные и правильногранные n-многогранники (n ⩾ 4) 83 7.1. Полуправильные (но не правильные) n-многогранники . . 83 7.2. Правильногранные n-многогранники (но не полуправильные) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.3. Архимедовы 4-многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.4. Вложимость снаб-24-ячейки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Глава 8 Полициклы и другие графы, имеющие химические приложения 87 8.1. (r, q)-полициклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.2. Квази-(r, 3)-полициклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8.3. Координационные полиэдры и металлополиэдры . . . . . . 92 Глава 9 Плоские паркеты 96 9.1. 58 вложимых мозаик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 9.2. Другие специальные плоские паркеты . . . . . . . . . . . . 107 9.3. Правильногранные двугранные плоские паркеты . . . . . . 110 Глава 10 Однородные разбиения 3-пространства и родственные им 112 10.1. 28 однородных разбиений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.2. Другие специальные разбиения . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Глава 11 Решетки, бирешетки и паркеты 121 11.1. Неприводимые решетки корней . . . . . . . . . . . . . . . . 121 11.2. Случай размерности 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Оглавление 11.3. Дайсинги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 11.4. Паркетины решетчатых разбиений . . . . . . . . . . . . . . 125 Глава 12 Малые полиэдры 130 12.1. Полиэдры, у которых не больше семи граней . . . . . . . 130 12.2. Простые полиэдры, у которых не больше восьми граней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Глава 13 Полиэдры с двумя типами граней 134 13.1. Медиальные полиэдры Гольдберга . . . . . . . . . . . . . . 137 13.2. Правильногранные полиэдры с двумя типами граней . . . 140 13.3. Операции над полиэдрами с двумя типами граней . . . . 143 13.4. Полиэдры 3n и 4n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 13.5. Еще раз о полиэдрах 5n (фуллеренах) . . . . . . . . . . . . 149 13.6. Полиэдры ocn (октаэдриты) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Глава 14 Специальные ℓ1-графы 153 14.1. Эквиразрезные ℓ1-графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 14.2. Вложения со шкалой один . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Глава 15 Некоторые обобщения ℓ1-вложимости 171 15.1. Квазивложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 15.2. Липшицево вложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 15.3. Полиэдральные гиперметрики . . . . . . . . . . . . . . . . 175 15.4. Симплициальные n-многообразия . . . . . . . . . . . . . . 178 Литература 180 Предметный указатель 188
Введение Эта монография служит продолжением книги М.Деза и М.Лоран «Геометрия разрезов и метрик», опубликованной в 1997 году издательством Springer-Verlag, Берлин (русский перевод появился в 2001 году, издательство МЦНМО, Москва). Предметом изучения той книги были ℓ1-метрики, то есть такие метрики, которые изометрически вложимы со шкалой в некоторый гиперкуб Hm, а если они бесконечны — то в некоторую кубическую решетку Zm. За последние шесть лет большой успех был достигнут в изучении специального случая ℓ1-метрики: расстояния на графе остова многогранника (конечного или бесконечного). Эта монография посвящена в основном выяснению вопроса, являются ли такие многогранники комбинаторно ℓ1-вложимыми для интересных примеров графов многогранников. Это такие графы, что соответствующие им многогранники либо хорошо известны в математике (регулярные разбиения, решетки корней, правильные многогранники и т. д.), либо имеют химические приложения (фуллерены, полициклы и т. п.). Вложимость, если она имеет место, применима к химическим графам и приводит к новым комбинаторным перспективам для аффинных многогранных объектов с известным ℓ2-вложением. Примеры графов многогранников в этой книге возникли из самых разных областей геометрии, кристаллографии и теории графов. Только для того, чтобы ввести их, требуется много определений. В книге уделяется особое внимание таким точным и по возможности независимым определениям. Изометрическая вложимость со шкалой — главный вопрос, объединяющий их; все изученные примеры графов рассматривались с этой точки зрения. Эта вложимость будет представлена с минимальными техническими подробностями. Основные семейства рассмотренных графов возникли из разнообразных обобщений правильных многогранников (или паркетов), из (точечных) решеток и из химических приложений.
Введение В частности, были получены такие результаты: 1. Все вложимые правильные паркеты и соты размерностей d > 2, за исключением гипер-симплексов и гипер-октаэдров, — это в точности такие разбиения и соты, у которых двудольный остов: гиперкубы, кубические решетки и 11 специального вида паркетов в гиперболическом пространстве. 2. Если P — архимедов полиэдр или плоское разбиение, отличное от треугольной призмы, тогда в точности один из двух — либо P, либо двойственный к нему — вложим. 3. Для правильного 4-мерного многогранника 24-ячейки его обыкновенное и золотое усечение (полуправильный 4-многогранник Госсета) вложены в куб H12 и полукуб 1 2H12, соответственно. 4. Остовы паркета Вороного для решетки An и двойственной ей решетки A∗ n вложимы в Zn+1 и Z( n+1 2 ), соответственно. Книга организована следующим образом. В довольно длинном введении (глава 1) приведены основные обозначения, а также методы вложений. Ознакомившись с ним, остальные главы можно читать в независимом порядке. Главы 14 и 15 рассматривают соответственно частные случаи и обобщения понятия вложимости. Каждая из глав 2—15 посвящена вложимости определенных видов графов. Мы попытались дать точное и по возможности независимое описание этих видов; так что у читателей с различной подготовкой будет возможность читать по отдельности те главы, предмет которых им знаком и которые им интересны. Главы 2, 4, 5, 6, 12, 13 имеют дело с разными видами трехмерных многогранников. В главах 9, 10 и 11 рассматриваются бесконечные графы, к которым приводят паркеты R2, R3 и решетки. В главах 3, 7, 11 рассматриваются графы в Rn. И наконец, главы 2, 8 и 11 могут быть интересны для тех, кто работает в области математической химии и кристаллографии. Авторы благодарны Марии Гриндель, Жаку Бейгбедеру и в особенности Матьё Дютуру за разнообразную помощь по созданию иллюстраций и редактированию, а также за поддержку.
Глава 1 Введение. Графы и их изометрические вложения со шкалой В этой главе мы введем некоторые основные определения, относящиеся к графам, вложениям и многогранникам. Здесь мы представим только базовые понятия, дальнейшие определения будут приведены позднее. За более детальной информацией читатель может обратиться к книгам [Gr¨un67], [Coxe73], [CoSl88], [DeLa97], [Crom97]. 1.1. Графы Простой граф G = (V , E) состоит из множества V вершин и множества E ребер. Каждое ребро e ∈ E представляет собой пару вершин u и v, которые мы называем его концами, при этом мы полагаем e = (u, v). Такие две вершины называются смежными, и каждая из них инцидентна ребру e. Степень вершины v ∈ V — это число ребер, содержащих v. Если любые две вершины G смежны, то такой граф называется полным. Полный граф с n вершинами обозначается Kn. Если у графа нет ребер, то он называется пустым. Для U ⊆ V обозначим EU множество ребер, оба конца которых принадлежат U. Тогда граф GU := (U, EU) называется подграфом графа G, индуцированным U. Граф G называется двудольным, если его вершины можно разбить на две непустые части, V = V1 ∪ V2, таким образом, что оба графа, индуцированные V1 и V2, пусты. Если граф G — двудольный с биразбиением (V1, V2) и если каждая вершина V1 смежна каждой вершине V2, то G называется полным двудольным графом. Обозначим Km,n полный двудольный граф, если |V1| = n и |V2| = m. Полный двудольный граф K1,m (m ⩾ 1) называется звездой. Множество E′ ребер называется паросочетанием, если ни у какой пары ребер из E′ нет общих вершин. Паросочетание называется совершенным, если каждая вершина является концом этого паросочетания. (Только у графов с четным числом вершин могут быть совершенные паросочетания.)
Глава 1. Введение. Графы и их изометрические вложения В этой книге мы часто будем использовать такие графы: Многодольный граф Kn1,n2,...,nk, множество вершин которого можно разбить на k частей, состоящих из n1, n2, . . . , nk вершин соответственно, причем концы каждого ребра принадлежат разным частям. Примером может служить полный двудольный граф Km,n (k = 2). Путь Pn = P{v1,v2,...,vn} с множеством вершин V = {v1, v2, . . . , vn} и с ребрами (vi, vi+1) при 1 ⩽ i ⩽ n − 1. Цикл Cn = C{v1,v2,...,vn} (или n-угольник) получается из пути Pn = = P{v1,v2,...,vn} добавлением ребра (v1, vn). Граф гиперкуба Hn с множеством вершин V = {0, 1}n, ребра которого — пары векторов (x1, . . . , xn) и (y1, . . . , yn) из {0, 1}n такие, что |{i : xi ̸= yi}| = 1. Граф полукуба (1/2)Hn с множеством вершин V = (x1, . . . , xn) ∈ {0, 1}n : n i=1 xi четна (в четных представлениях, и n i=1 xi нечетна в нечетных преставлениях), ребра которого — это такие пары x, y ∈ {0, 1}n, что |{i : xi ̸= yi}| = 2. Граф кубической решетки Zn — бесконечный граф с множеством вершин Zn = {(x1, x2, . . . , xn): xi ∈ Z} и с ребрами ((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) такими, что 1⩽i⩽n |xi − yi| = 1. Граф полукубической решетки 1 2Zn — бесконечный граф с множеством вершин V = (x1, . . . , xn) ∈ Zn : n i=1 xi четна , ребра которого — это пары векторов x, y ∈ V такие, что 1⩽i⩽n |xi − yi| = 2. (У графа 1 2Zn то же самое множество вершин, что и у решетки корней Dn; см. гл.11). Граф вечеринки Kn×2 получается из полного графа K2n удалением ребер совершенного паросочетания.
1.2. Вложения графов 11 Имеются изоморфизмы среди таких графов: K2,2 = C4 = H2 = K2×2, K2 = P2 = 1 2H2, 1 2H3 = K4, 1 2H4 = K3×2. В обозначениях Коксетера αn, βn, γn и 1 2γn обозначают соответственно следующие n-мерные выпуклые многогранники: правильный n-симплекс, n-ортаэдр, n-куб и n-полукуб. Им соответствуют графы 1-остовов (см. раздел 1.4 ниже) Kn+1, Kn×2, Hn и 1 2Hn. Граф G называется связным, если для любых двух вершин u, v из G имеется путь в G, связывающий u и v. Если это не так, то граф называется несвязным. Пусть заданы два графа G1 = (V1, E1) и G2 = (V2, E2). Их прямым произведением G1 ×G2 называется граф G := (V1 ×V2, E) с множеством вершин V1 × V2 = {(v1, v2) : v1 ∈ V1 и v2 ∈ V2}, ребра которого — это пары ((u1, u2), (v1, v2)), где u1, v1 ∈ V1 и u2, v2 ∈ ∈ V2, так что либо (u1, v1) ∈ E1 и u2 = v2 либо (u2, v2) ∈ E2 и u1 = v1. Надстройкой ▽G графа G называется граф, полученный из G добавлением новой вершины (называемой отмеченной точкой ▽G), соединенной со всеми вершинами G. Графы ▽Cn и Cn × K2 называются n-колесом и n-призмой, соответственно. Реберным графом L(G) графа G называется граф, вершинами которого служат ребра графа G. Причем две вершины L(G) смежны в L(G), если у соответствующих ребер в G есть общая вершина. Для L(Kn) мы используем обозначение T (n). Этот граф представляет собой специальный случай графа Джонсона J(n, k), соответствующий k = 2. Множеством вершин графа Джонсона J(n, k) служит семейство всех k-элементных подмножеств множества из n элементов. Две вершины графа J(n, k) смежны, если и только если мощность пересечения соответствующих k-элементных подмножеств равна k−1. В частности, J(n, 1) = Kn. 1.2. Вложения графов Прежде чем напомнить некоторые понятия метрик, связанных с графами, мы коротко обсудим важность такого вложения. Граф G может быть изометрически вложен в полукуб 1 2Hm, если мы можем
Глава 1. Введение. Графы и их изометрические вложения пометить или занумеровать вершины G строками длины m из нулей и единиц с четным числом единиц так, что квадрат евклидового расстояния между двумя такими строками вдвое больше длины пути, соединяющего вершины в графе G. Кроме того, вложение называется ℓ1-жестким, если такой способ нумерации единственный. Такое помечивание вершин может быть очень полезно в химии для перечисления фуллеренов (см. гл.2), а также для вычисления молекулярных параметров, зависящих только от расстояний в графах, таких как индексы Винера J и другие (см., например, [BLKBSSR95]). Полуметрикой на множестве V называется действительная симметрическая функция d(x, y), определенная на всех парах точек x, y ∈ V , удовлетворяющая уравнению d(x, x) = 0, а для всех упорядоченных троек (x, y, z) точек множества V — следующему неравенству треугольника: d(x, y) + d(y, z) − d(x, z) ⩾ 0. Просуммировав два таких неравенства для троек (x, y, z) и (x, z, y), мы получим неравенство 2d(y, z) ⩾ 0. Следовательно, любая полуметрика d неотрицательна, то есть принимает только неотрицательные значения. Метрикой называется положительная полуметрика, то есть такая, что d(x, y) = 0, если и только если x = y. Пусть G = (V , E) — связный граф (конечный или нет), а V и E — множества его вершин и ребер, соответственно. Определим метрику кратчайшего пути dG, ассоциированную с графом G, как метрику с целыми значениями на парах вершин графа G, такую, что для двух вершин v и u величина dG(v, u) равна длине кратчайшего пути в G, соединяющего v и u, где длина пути измеряется числом его ребер. Сумма всех n(n−1)/2 расстояний между вершинами n-вершинного графа G обозначается W(G). Химики называют его числом Винера. Связный подграф G1 графа G называется изометрическим подграфом G, если dG = dG1 на вершинах G1, то есть если расстояния из G сохраняются в G1. В таком случае записывают G1 ≺ G. Геодезической в G называется простой путь P (возможно, бесконечный в одном или двух направлениях), обладающий тем свойством, что dP (x, y) = dG(x, y) для всех x, y ∈ P. Длина максимальной геодезической в G называется его диаметром d(G). Метрика dG позволяет нам ввести выпуклые подмножества на V. Подмножество S ⊆ V называется выпуклым подмножеством, если для любых вершин u, v ∈ S все вершины каждого кратчайшего (u, v)-пути (то есть геодизической соединяющей u и v) принадлежат S.
1.2. Вложения графов 13 Множество Zn естественным образом снабжено ℓ1-метрикой. А именно, для x = (x1, . . . , xn) и y = (y1, . . . , yn) из Zn, ℓ1-расстояние между x и y выражается как d(x, y) = n i=1 |xi − yi|. Zn — это граф множества Zn, метрика кратчайшего пути которого совпадает с ℓ1-метрикой d. Аналогично, граф гиперкуба Hn — это подграф Zn, индуцированный {0, 1}n. (Метрика кратчайшего пути dHn является также квадратом евклидовой l2-метрики.) ℓ1-граф — это такой граф G, метрика кратчайшего пути dG которого с точностью до шкалы λ изометрически вложима в гиперкуб Hm, или, если G бесконечен, — в Zm. Другими словами, для некоторых λ, m ∈ N существует отображение φ: V → Hm или Zm такое, что λ · dG(vi, vj) = ∥φ(vi) − φ(vj)∥ℓ1 = m k=1 |φk(vi) − φk(vj)|, где vi ∈ V и φ(vi) = (φ1(vi), . . . , φm(vi)) ∈ Hm или Zm. Наименьшее целое λ называется минимальной шкалой вложения. Например, граф полукуба 1 2Hn и граф полукубической решетки естественно вкладываются соответственно в Hn и Zn со шкалой λ = 2. Следовательно, 1 2Hn и 1 2Zn суть ℓ1-графы. Напомним, что 2m вершин m-куба Hm можно пометить с помощью всех 2m подмножеств множества {1, 2 . . . , m}, так что две вершины с метками A и B смежны, если и только если |A△B| = 1, где A△B — симметрическая разность множеств A и B. Следовательно, существование вложения φ : V → Hm со шкалой λ эквивалентно помечиванию каждой вершины v ∈ V (G) с помощью множества φ(v) таким образом, что вершины v и u смежны, если и только если |φ(v)△φ(u)| = λ. С другой стороны, такой способ помечивания порождает помечивание ребер (v, u) с помощью множеств φ(v)△φ(u). Для i ∈ {1, 2, . . . , m} назовем i-зоной или просто зоной множество ребер, метки которых содержат i. Оба такие помечивания вершин и ребер G используются, например, в рисунках гл.2. Если G вложен в гиперкуб, то любое разбиение Hm на противоположные фасеты порождает разбиение S ∪S = V множества вершин G. Такое разбиение S ∪ S = V называется разрезом {S, S}. Множество ребер E(S, S) разреза {S, S} состоит из ребер, один конец которых принадлежит S, а другой — S. Очевидно, что удалив E(S, S) из G, мы получим граф по крайней мере с двумя связными компонентами;
Глава 1. Введение. Графы и их изометрические вложения другими словами, E(S, S) — разрезное множество ребер. Ребра множества E(S, S) разрезаны разрезом {S, S}. Разрез {S, S} определяет разрезную полуметрику δ(S) на множестве V : δ(S)(i, j) = δ{S,S}(i, j) = 0, если i, j ∈ S или i, j ∈ S, 1 в противном случае. Спроектируем гиперкуб Hm с вложенным графом G вдоль ребер, соединяющих две противоположные фасеты. Тогда мы получим вложение G в Hm−1, причем некоторые расстояния из G уменьшатся на единицу. Другими словами, мы вкладываем G с новой полуметрикой dG − δ(S). Таким образом мы получаем разложение метрики кратчайшего пути dG некоторого ℓ1-вложимого графа G (на самом деле, любой ℓ1-метрики) в неотрицательную линейную комбинацию разрезных полуметрик. Все ℓ1-полуметрики на n вершинах (т. е. все ℓ1-полуметрические пространства (Vn, d), для которых |Vn| = n), рассматриваемые как точки некоторого n 2 -мерного пространства, образуют n 2 -мер ный конус, который называется разрезным конусом. Он порождается 2n−1−1 крайними лучами. Каждый такой луч — это ненулевая разрезная полуметрика δ(S) для некоторого собственного подмножества S множества Vn = {1, 2, . . . , n}. Другими словами, граф G (или произвольная метрика) ℓ1-вложим, если и только если метрика кратчайшего пути является линейной комбинацией с неотрицательными коэффициентами разрезных полуметрик dG = S⊂Vn aSδ(S), где aS ⩾ 0 для всех S. Если G вложим в Hm со шкалой λ, то тогда описанное выше разложение можно переписать следующим образом: λdG = S⊂Vn aSδ(S), где aS ⩾ 0 целые для всех S. (1.1) У формулы (1.1) есть то преимущество, что она позволяет классифицировать ℓ1-вложения G с точностью до эквивалентности: разные решения (1.1) с целыми неотрицательными aS такими, что НОД(λ, aS) = 1,