Стабильные гомотопии и обобщенные гомологии

Дж. Ф. Адамс

Стабильные
гомотопии
и обобщённые
гомологии

ДЖ. Ф. АДАМС • СТАБИЛЬНЫЕ ГОМОТОПИИ И ОБОБЩЁННЫЕ ГОМОЛОГИИ

Эта книга – классический, стандартный 
в англоязычном мире учебник алгебраической топологии, наконец-то переведенный 
на русский язык. Тема книги – стабильная 
гомотопическая теория, обобщенные теории 
когомологий, техника спектров, формальные 
группы, связанные со ориентированными 
теориями гомологий; иными словами, все то, 
что идет сразу после таких базовых понятий 
алгебраической топологии, как группы гомологий и гомотопические группы.

Книга писалась по горячим следам, в начале 
1970-х годов, но нисколько не утратила своей 
актуальности: то, что в момент написания 
было передним краем науки, блестяще выдержало проверку временем, и теперь составляет 
необходимую часть математического багажа 
любого работающего математика.  Педагогическое мастерство и оригинальный стиль 
автора также хорошо известны, в том числе и 
русскоязычному читателю. Мы уверены, что 
книга будет интересна и полезна как математикам, работающим в других областях, так 
и студентам и аспирантам, да и просто людям, 
интересующимся современной математикой 
и ценящим ее красоту.

ISBN 978-5-4439-0207-4

9 785443 902074 >

Дж. Ф. Адамс

Стабильные гомотопии
и обобщенные гомологии

Перевод с английского
под редакцией Д. Каледина
с добавлениями А. Хаттори
и В. М. Бухштабера

Электронное издание

Издательство МЦНМО
Москва, 

УДК .
ББК .
А

Адамс Дж. Ф.
Стабильные гомотопии и обобщенные гомологии
Пер. с англ. под ред. Д. Каледина, с добавлениями А. Хаттори
и В. М. Бухштабера
Электронное издание
М.: Изд-во МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

Эта книга –– классический, стандартный в англоязычном мире учебник алгебраической топологии, наконец-то переведенный на русский язык. Тема книги –– стабильная гомотопическая теория, обобщенные теории когомологий, техника спектров, формальные группы, связанные со ориентированными теориями гомологий;
иными словами, все то, что идет сразу после таких базовых понятий алгебраической
топологии, как группы гомологий и гомотопические группы.
Книга писалась по горячим следам, в начале -х годов, но нисколько не
утратила своей актуальности: то, что в момент написания было передним краем
науки, блестяще выдержало проверку временем, и теперь составляет необходимую
часть математического багажа любого работающего математика. Педагогическое
мастерство и оригинальный стиль автора также хорошо известны, в том числе и
русскоязычному читателю. Мы уверены, что книга будет интересна и полезна как
математикам, работающим в других областях, так и студентам и аспирантам, да и
просто людям, интересующимся современной математикой и ценящим ее красоту.

Перевод выполнен по изданию
Adams J. F. Stable Homotopy and Generalised Homology.
Chicago, The University of Chicago Press, .

Подготовлено на основе книги: Адамс Дж. Ф. Стабильные гомотопии
и обобщенные гомологии / Пер. с англ. под ред. Д. Каледина, с
добавлениями А. Хаттори и В. М. Бухштабера. –– М.: Изд-во МЦНМО,
. ––  с. –– ISBN ----.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., .
Тел. () --
www.mccme.ru

ISBN ----
© Издательство МЦНМО, .

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

ЧАСТЬ I. О РАБОТАХ С. П. НОВИКОВА ОБ ОПЕРАЦИЯХ В ТЕОРИИ
КОМПЛЕКСНЫХ КОБОРДИЗМОВ

§ 1.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
§ 2.
Группы кобордизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
§ 3.
Гомологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
§ 4.
Классы Чженя Коннера––Флойда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
§ 5.
Операции Новикова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
§ 6.
Алгебра всех операций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
§ 7.
Комментарий к докладу Новикова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
§ 8.
Комплексные многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

ЧАСТЬ II. О РАБОТАХ КВИЛЛЕНА О ФОРМАЛЬНЫХ ГРУППАХ
И КОМПЛЕКСНОМ КОБОРДИЗМЕ

§ 0.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
§ 1.
Формальные группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
§ 2.
Примеры из алгебраической топологии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
§ 3.
Переформулировки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
§ 4.
Вычисления в E-гомологиях и когомологиях. . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
§ 5.
Универсальное кольцо Лазара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
§ 6.
Дальнейшие вычисления в E-гомологиях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
§ 7.
Структура кольца Лазара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
§ 8.
Теорема Квиллена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
§ 9.
Следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
§ 10. Различные формулы в кольце π∗(MU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
§ 11. MU∗(MU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
§ 12. Свойства отображения Ботта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
§ 13. K∗(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
§ 14. Теорема Хаттори––Стонга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
§ 15. Проекторы Квиллена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
§ 16. Спектр Брауна––Петерсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
§ 17. KO∗(KO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

ЧАСТЬ III. СТАБИЛЬНЫЕ ГОМОТОПИИ И ОБОБЩЕННЫЕ
ГОМОЛОГИИ

§ 1.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
§ 2.
Спектры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122



Оглавление

§ 3.
Элементарные свойства категории клеточных спектров. . . . . . . . 135
§ 4.
Смэш-произведение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
§ 5.
Двойственность Спеньера––Уайтхеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
§ 6.
Гомологии и когомологии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
§ 7.
Спектральная последовательность Атьи––Хирцебруха . . . . . . . . . . 200
§ 8.
Обратный предел и его производные функторы . . . . . . . . . . . . . . . 205
§ 9.
Произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
§ 10. Двойственность для многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
§ 11. Приложения в K-теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
§ 12. Алгебра Стинрода и двойственная к ней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
§ 13. Теорема об универсальных коэффициентах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
§ 14. Категория частных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
§ 15. Спектральная последовательность Адамса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
§ 16. Приложения: π∗(bu∧ X); модули над K[x, y] . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
§ 17. Структура π∗(bu∧ bu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

ДОБАВЛЕНИЯ

А. Хаттори. Целые характеристические числа стабильно комплексных
многообразий

§ 1.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
§ 2.
Замечания о K-теории. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
§ 3.
Доказательство теоремы II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
§ 4.
Доказательство теоремы I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

В. М. Бухштабер. Комплексные кобордизмы и формальные группы

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
§ 1.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
§ 2.
Алгебра операций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
§ 3.
Классы Тома и гомоморфизмы Гизина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
§ 4.
Мультипликативные преобразования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
§ 5.
Формальная группа геометрических кобордизмов . . . . . . . . . . . . . 392
§ 6.
Операции Адамса––Новикова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
§ 7.
Универсальная формальная группа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
§ 8.
Степенные системы и двузначные формальные группы . . . . . . . . 400
§ 9.
Квантовая группа когомологических операций в кобордизмах . . 406
§ 10. Кобордизмы в задачах о действиях групп на многообразиях . . . . 408
§ 11. Характер Чженя––Дольда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
§ 12. Роды Хирцебруха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
§ 13. Эллиптические формальные группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
§ 14. Общая проблема Милнора––Хирцебруха. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426



ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Предлагаемая читателю книга Дж.Ф.Адамса была написана более 
лет назад. По жанру это второй учебник алгебраической топологии.
Предполагается, что читатель уже освоил основные понятия теории
гомотопий и гомологий –– для чего читателю русскоязычному можно
порекомендовать, например, замечательный классический учебник
[] –– и хочет теперь изучить базовые понятия стабильной теории
гомотопий, основанной на понятиях спектра и обобщенной теории
гомологий.
Книга Адамса представляет собой запись лекций, которые он
читал в Чикагском Университете в конце -х и начале -х годов.
В то время стабильная теория гомотопий была еще очень новой
наукой –– самому определению спектра было едва ли  лет от роду.
За прошедшие с тех пор годы стало понятно, что, как и элементарная
теория гомотопий и гомологий, весь этот материал представляет
собой необходимую часть общематематической культуры, и знакомство с ним полезно математикам самого широкого профиля ––
например, специалистам по алгебраической геометрии, а пожалуй,
и по теории представлений. При этом в англоязычном мире книга
Адамса остается стандартным введением в предмет. Причина тому,
по-видимому, в большом педагогическом мастерстве автора, внятном и живом языке, и идеальном вкусе в отборе тем: хотя книга
писалась «по горячим следам», читатель найдет в ней все то, что по
современным представлениям составляет основы стабильной теории
гомотопий, и очень мало того, что выглядит устаревшим. Можно
сказать, что проверку временем книга выдержала блестяще.
Другие учебники Адамса –– например, знаменитая книга [] ––
были еще в -е и -е годы переведены на русский язык и заслужили
любовь нескольких поколений читателей. Однако предлагаемой
читателю книге по каким-то причинам не повезло. Из-за этого в
русскоязычной учебной литературе образовался пробел –– ниша «второго» учебника по алгебраической топологии пустует. Этот пробел
восполняется переведенной в -е годы книгой [], но лишь до
некоторой степени –– книга Свитцера написана в жанре добротной
немецкой докторской диссертации (каковой она, собственно, и является), и хотя большая часть материала в ней есть, извлечь его оттуда
не так-то легко. Нет у Свитцера и ясной общей картины связи ориен


Предисловие редактора перевода

тированных теорий гомологий и одномерных формальных групп ––
этого замечательного открытия конца -х –– начала -х годов, которое в значительной степени определило дальнейшее развитие
алгебраической топологии (у Адамса этому посвящена часть II).
Поэтому мы считаем, что даже теперь, через  лет после появления, книга Адамса окажется весьма полезна русскоязычному
читателю-математику –– как работающим математикам из других
областей нашей науки, так и студентам-старшекурсникам и аспирантам.
Возможно, будет небесполезно, ни в коей мере не претендуя на
полноту, перечислить некоторые направления развития алгебраической топологии после появления книги Адамса, и дать библиографические ссылки.
K-теории Моравы и хроматическая фильтрация. У коммутативных формальных групп размерности  над конечным полем есть
только один алгебраический инвариант –– положительное целое число, называемое высотой. Топологическая K-теория при локализации
в любом простом p дает формальную группу высоты . Группу
высоты  дают обобщенные теории когомологий, известные как
эллиптические когомологии. Группы б´ольших высот получаются из
теорий, которые существуют отдельно в каждом p. Такие теории
известны как K-теории Моравы. Оказывается, что K-теории Моравы
в некотором смысле образуют иерархию: для любого n ⩾ 1 можно
рассмотреть локализацию стабильной гомотопической категории
в K-теориях Моравы высоты ⩽ n –– иными словами, обратить все
морфизмы, которые первые n K-теорий Моравы переводят в изоморфизм –– и получить категорию более простую, чем вся стабильная
гомотопическая категория. Проводя эту конструкцию при всех n,
получают некоторую фильтрацию на стабильной гомотопической
категории, локализованной в p, и на группах морфизмов в ней ––
например, на стабильных гомотопических группах сфер. Эта фильтрация известна как хроматическая фильтрация; выяснилось, что
она доставляет важное техническое средство в изучении разного
рода вопросов о стабильной категории. Введение в эту тему можно
найти, например, в книгах Д. Равенеля [], [].
Основания –– замкнутые модельные категории. Поскольку главный объект изучения в стабильной теории гомотопий –– одна и та же
стабильная гомотопическая категория, топологи с самого начала мало уделяли внимания аксиоматике –– нет смысла аксиоматизировать



Предисловие редактора перевода

понятие, для которого есть ровно один пример. В частности, когда
Пуппе, основываясь на категории спектров, попробовал прописать
общую аксиоматику «триангулированных категорий», он пропустил
важную аксиому октаэдра –– ошибку исправил Вердье, который занимался гомологической алгеброй, и с тех пор топологи называют эту
аксиому аксиомой Вердье (как введение в гомологическую алгебру
мы рекомендуем читателю блестящий учебник []). Однако при
прочтении части III настоящей книги создается ощущение, что и
многие вещи, не встречающиеся в гомологической алгебре и не
покрываемые определением Вердье, заслуживают аксиоматизации
и абстрактного изучения. Такое изучение действительно было проведено, в основном в последние  лет. Стандартной техникой здесь
является введенная Д. Квилленом техника замкнутых модельных
категорий; кое-что об этом есть в последней части упомянутой
книги [], а современное состояние предмета отражено в книге [].
Основания –– симметрические спектры. Другое неприятное свойство оснований стабильной теории гомотопий –– это сложная и
не вполне естественная конструкция смэш-произведения спектров
(читатель, освоивший соответствующие разделы части III, сразу
поймет, о чем речь). В частности, в рамках стандартного подхода вообще нельзя определить произведение спектров так, чтобы
оно было коммутативно –– оно коммутативно лишь с точностью до
гомотопии. Во многих приложениях это оказывается неудобным.
Недавно было предложено несколько альтернативных построений
стабильной гомотопической категории, лишенных этого недостатка;
из них наиболее полезным является, по-видимому, построение через
так называемые «симметрическое спектры», данное Дж. Смитом
и соавторами в статье []. Эта конструкция, хотя и несколько
неуклюжая –– по-видимому, последнее слово в этом вопросе еще не
сказано –– позволяет, тем не менее, гораздо более естественно развивать теорию кольцевых спектров. В самое последнее время это даже
породило деятельность по созданию «алгебраической геометрии над
спектром сфер», иногда называемой «храброй новой алгебраической
геометрией» –– под лозунгом «коммутативные кольца надо везде
заменять на коммутативные кольцевые спектры». Эта область сейчас
бурно развивается, и подводить какие-либо итоги здесь пока рано.
Эквивариантная теория гомотопий. Как отмечено выше, в отличие от алгебраической геометрии, где триангулированные категории возникают массово и в больших количествах, в топологии



Предисловие редактора перевода

триангулированная категория на первый взгляд только одна –– категория спектров, она же –– стабильная гомотопическая категория.
Однако это не вполне верно –– есть и важные другие примеры. Один
из них –– это так называемая эквивариантная стабильная гомотопическая категория спектров с действием некоторой фиксированной
топологической группы G. Аккуратное построение такой категории ––
стандартная ссылка здесь книга [] –– оказалось весьма деликатным
делом. В то время как изучение G-эквивариантных когомологий
по большому счету сводится к изучению когомологий пространств,
расслоенных над классифицирующим пространством BG, для обобщенных когомологий ситуация совершенно другая –– переход к пространствам над BG возможен только после некоторого пополнения
категории, которое сильно упрощает ее структуру. Общая конструкция эквивариантной категории дает новые нетривиальные результаты даже на уровне гомологий; так, отметим, что естественная
структура, возникающая в эквивариантных гомологиях G-эквивариантного спектра, это не структура G-модуля, а существенно более
богатая структура так называемого «функтора Макки».
Топологические циклические гомологии. В заключение упомянем
одно «внешнее» приложение алгебраической топологии –– алгебраическую K-теорию, введенную также Квилленом (хотя он и исходил
при этом из некоторой конкретной проблемы алгебраической топологии, основные приложения K-теории все же лежат вовне, например, в алгебраической геометрии). Конструкция Квиллена сопоставляет любому кольцу A некоторый спектр, гомотопические группы
которого называются высшими K-группами K∗(A) кольца A. Как
правило, и к великому сожалению, вычислить высшие K-группы в
нетривиальных случаях нельзя –– к некоторым вопросам о K-группах
сводятся, например, широко разрекламированные и весьма трудные
гипотеза Ходжа и гипотеза Берча––Свиннертон-Дайера. Тем не менее,
исследования в этой области продолжаются, и алгебраическими топологами в последнее время был достигнут значительный прогресс.
Самое важное достижение здесь –– это, по-видимому, техника так
называемых «топологических хохшильдовских» и «топологических
циклических» гомологий, введенная в начале -х годов Бокстедтом,
Сяном и Мадсеном; хорошее изложение читатель может найти,
например, в статьях [], []. Отметим, что здесь серьезно используется и техника эквивариантной теории гомотопий, и современные
подходы к кольцевым спектрам.



Предисловие редактора перевода

Специалист по алгебраической топологии легко заметит, что
приведенный список отражает прежде всего личные вкусы редактора, и ориентирован прежде всего на те области, которые находят
применение и вне рамок этой дисциплины. Еще раз подчеркнем, что
мы ни в какой мере не претендуем на полноту.

Подробную информацию о структуре предлагаемой книги читатель найдет в предисловии автора и в предисловиях к отдельным частям. Отметим лишь то, что части расположены в хронологическом
порядке, который по историческим причинам обратен логическому.
Собственно введение в предмет читатель найдет в части III, которая
занимает две трети книги; часть II, предполагая этот материал известным, дает сжатое и прозрачное введение в работы Д. Квиллена о
связях комплексных кобордизмов, ориентированных теорий гомологий и формальных групп; часть I, в которой еще большее количество
материала предполагается известным, дает краткий обзор работ
С. П. Новикова по комплексным кобордизмам, которые в некотором
смысле и породили все последующее. Мы рекомендуем читателю
начать с части III, но обязательно прочитать и часть II. Часть I в
настоящее время представляет скорее исторический интерес; заинтересованному читателю мы предлагаем также заглядывать и в
оригинальные статьи –– к счастью, большинство из них были недавно
перепечатаны в замечательных сборниках [], [] и легко доступны.
Части I, II и § ,  части III перевел В. Жгун, §  и ,  части III ––
С. Рыбаков, а § –– и –– части III –– С. Львовский. К переводу книги приложен перевод небольшой оригинальной статьи А. Хаттори ,
результаты которой в §  части II используются Адамсом без доказательства; эту статью также перевел В. Жгун. В редактуре перевода
огромную помощь оказали В. М. Бухштабер и С. П. Малыгин.
Кроме того, В. М. Бухштабер любезно согласился написать для
данной книги добавление и краткий исторический очерк: обзор того
удивительного и яркого времени в конце -х –– начале -х годов,
когда в творческом взаимодействии московской и американской
школ и был создан изложенный в книге материал.


Hattori A. Integral characteristic numbers for weakly almost complex manifolds //
Topology. . Vol. , № . P. –.



Предисловие редактора перевода

ЛИТЕРАТУРА

. Адамс Дж. Ф. Бесконечнократные пространства петель. М.: Мир, .
. Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. М.: Наука,
.

. Топологическая библиотека: В -х т. Т. . Кобордизмы и их приложения
/ Под ред. C. П. Новикова и И. А. Тайманова. Ижевск: Институт компьютерных исследований, .

. Топологическая библиотека: В -х т. Т. . Характеристические классы
и гладкие структуры на многообразиях / Под ред. C. П. Новикова и
И. А. Тайманова. Ижевск: Институт компьютерных исследований, .

. Свитцер Р. М. Алгебраическая топология –– гомотопии и гомологии. М.:
Наука, .

. Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука,
.

. Hesselholt L. K-theory of truncated polynomial algebras // Handbook of Ktheory. Vol. . Berlin: Springer-Verlag, . P. –.

. Hesselholt L., Madsen I. On the K-theory of finite algebras over Witt verctors
of perfect rings // Topology. . Vol. , № . P. –.

. Hovey M. Model categories. Providence, RI: Amer. Math. Soc., . (Mathematical Surveys and Monographs, ).

. Hovey M., Shipley B., Smith J. Symmetric spectra // J. Amer. Math. Soc. .
Vol. , № . P. –.

. Lewis L. G., May J. P., Steinberger M. Equivariant stable homotopy theory, with
contributions by J. McClure. Berlin: Springer-Verlag, . (Lecture Notes in
Mathematics, ).

. Ravenel D. Nilpotence and periodicity in stable homotopy theory, with
Appendix C by Jeff Smith. Princeton, NJ: Princeton University Press, .
(Annals of Mathematics Studies, ).

. Ravenel D. Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres.
Orlando, FL: Academic Press, . (Pure and Applied Mathematics, ).



ПРЕДИСЛОВИЕ

Три части этой книги –– это записки трех курсов, которые я прочитал
в Чикагском университете в ,  и  годах. Части имеют
несколько разный характер. Лекции  года посвящены некоторым
аспектам работ Новикова о комплексных кобордизмах, в тот момент
только появившихся –– когда я готовил записки, у меня еще не было
перевода полномасштабной статьи Новикова в Известиях АН СССР,
сер. мат., том , вып.  (), c. –. Курс читался в формате
семинара, причем слушателям, знакомым с алгебраической топологией. Лекции  года также предполагают некоторое знакомство
с предметом, но этот курс был длиннее, и я попытался сделать
изложение более полным; предмет курса –– работы Квиллена о комплексных кобордизмах и формальных группах. Наконец, лекции 
года –– это полноценный десятинедельный курс; я начинаю с самого
начала и рассказываю многое из того, что должен знать аспирант о
стабильной теории гомотопий и обобщенных теориях когомологий.
Эти записки занимают две трети настоящей книги.
Я вообще не пытался переписать три части более единообразно,
ни в том, что касается обозначений, ни в чем-либо еще. Каждая из
частей снабжена собственным предисловием, в котором читатель
найдет более подробное описание рассматриваемых тем. Система
библиографических ссылок в каждой части также своя –– в части I
ссылки даны в тексте по мере необходимости, в части II они собраны
в конце, причем часть I появляется как ссылка [], в части III ссылки
опять же в конце, а часть II появляется как ссылка []. Впрочем –– как
я надеюсь –– номера страниц в ссылках на [] соответствуют номерам
страниц настоящей книги.
Хотя я и не пытался достичь единообразия редактурой, некоторая
общность темы все равно присутствует. Из понятий, которые считаются известными в части I, упомяну следующие: спектры, произведения,
производный функтор обратного предела. Все это изложено в части III,
а именно в § –,  и . Аналогичным образом, почти с самого начала
части II я предполагаю известным, что спектр задает обобщенную
теорию когомологий и гомологий; это объяснено в §  части III.
Кроме того, в конце §  части I я отсылаю читателя к литературе
за информацией о π∗(MU); с тем же успехом эту информацию можно
найти в §  части II. Отсюда можно заключить, что при выборе

