Собрание сочинений. Том III

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Жан-Пьер СЕРР

СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИЙ

III

Под редакцией М. А. Цфасмана и С. М. Львовского

Электронное издание

Москва • МЦНМО • 2014

УДК 51
ББК 22.1
C 33

Серр Ж.-П.
Собрание сочинений. Т. 3
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
537 с.
ISBN 978-5-4439-2038-2

Жан-Пьер Серр — один из величайших математиков нашего времени, чьи работы
на протяжении последнего полувека преобразили современную математику, в особенности алгебраическую топологию, алгебраическую геометрию, теорию алгебр и групп
Ли, теорию чисел.
Собрание сочинений выпускается к 75-летию ученого. В 3-й том настоящего издания включены работы 1961–68 гг.

Подготовлено на основе книги: Ж.-П. Серр. Собрание сочинений. Т. 3. — М.:
НМУ: МЦНМО, 2007.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83

http://www.m

me.
ru

ISBN 978-5-4439-2038-2
⃝c МЦНМО, 2014.

СОДЕРЖАНИЕ

Примеры проективных многообразий в характеристике p,
не поднимаемых в характеристику нуль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
О локальных полях с алгебраически замкнутым полем вычетов . . . . .
9
Краткое содержание лекций 1960–1961 уч. г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Когомологии Галуа линейных алгебраических групп . . . . . . . . . . . . . . .
60
Дифферента с нечетным классом
(совместно с А. Фрёлихом и Дж. Тэйтом) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Вполне непрерывные эндоморфизмы в банаховых p-адических пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Алгебраическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Краткое содержание лекций 1961–1962 уч. г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
Строение некоторых про-p-групп (по С. Дёмушкину) . . . . . . . . . . . . . .
111
Краткое содержание лекций 1962–1963 уч. г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
Аналитические p-адические группы (по М. Лазару) . . . . . . . . . . . . . . .
125
Подгруппы конечного индекса в SL(n, Z) (совместно с X. Бассом и
М. Лазаром) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
О конгруэнц-подгруппах абелевых многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
Примеры проективно сопряженных негомеоморфных многообразий . .
164
Теоремы конечности для когомологий Галуа (совместно с А. Борелем)
167
Дзета-функции и L-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
Классификация компактных аналитических p-адических многообразий
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
О когомологической размерности проконечных групп . . . . . . . . . . . . .
229
Краткое содержание лекций 1964–1965 уч. г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
238
Зависимости между p-адическими экспонентами. . . . . . . . . . . . . . . . . .
244
Продолжение аналитических когерентных пучков . . . . . . . . . . . . . . . . .
255
Существование бесконечных башен полей классов по Голоду и Шафаревичу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
265
l-адические группы Ли, связанные с элиптическими кривыми . . . . . . .
272
Краткое содержание лекций 1965–1966 уч. г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
288
О группах Галуа, ассоциированных с p-делимыми группами . . . . . . . .
299
p-делимые группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312
Коммутативность формальных групп размерности 1 . . . . . . . . . . . . . . .
321
Решение конгруэнц-проблемы для SLn (n ⩾ 3) и Sp2n (n ⩾ 2) (совместно с X. Бассом и Дж. Милнором)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324
Локальная теория полей классов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
411
Комплексное умножение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
448

Содержание
5

Конгруэнц-подгруппы (по Бассу, Мацумото, Менике, Милнору и Муру)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
454
Краткое содержание лекций 1966–1967 уч. г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
465
Письмо П. Делиню от 24 июля 1967 г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
467
Хорошая редукция абелевых многообразий (совместно с Дж. Тэйтом)
472
Интерпретация сравнений, связанных с функцией
Рамануджана . . .
500
Группы Гротендика расщепленных редуктивных групповых схем . . . . .
516
Краткое содержание лекций 1967–1968 уч. г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
534

Примеры проективных многообразий
в характеристике p, не поднимаемых
в характеристику нуль

Представлено Оскаром Зариским 23 ноября 1960 г.

1. Постановка задачи. Теория схем Гротендика [2] позволяет точно определить термин «поднятие»:
пусть X0 — неособое проективное многообразие, определенное над полем k;
пусть A — полное нётерово локальное кольцо с полем вычетов k. Поднятие X0
на A — это схема X, собственная и плоская над A, для которой X ⊗A k изоморфно
X0 (см. Гротендик [3]). Интересующий нас здесь случай, когда k — характеристики p, а A — характеристики нуль. Мы ставим следующий вопрос:
1. Всегда ли можно поднять X0 на A?
Согласно Гротендику [3], ответ положителен, если X0 — кривая или, в большей
общности, если некоторые группы когомологии X0 равны нулю.
Можно также поставить более слабый вопрос:
2. Всегда ли для данного многообразия X0 существует кольцо A характеристики нуль, на которое X0 поднимается?
Сейчас мы покажем, что ответ на эти два вопроса отрицателен, даже
если k алгебраически замкнуто.

2. Построение контрпримера. Пусть n — целое ⩾ 1. Если R — локальное
кольцо, мы обозначим GLn(R) группу обратимых матриц порядка n с элементами
из R, а PGLn(R) — факторгруппу GLn(R) по подгруппе R∗ скалярных матриц.
Пусть G — конечная группа, и пусть r0 — гомоморфизм G в группу PGLn(k).
Группа G действует на проективном пространстве Pn−1(k) посредством r0. Мы
сделаем следующее предположение:
(D)
Для всех
∈ G,
̸= 1, множество F

-инвариантных точек
в Pn−1(k) имеет коразмерность ⩾ 4.
Классическое рассуждение, по существу принадлежащее Годо 1), показывает,
что существует неособое G-инвариантное подмногообразие Y0 в Pn−1(k), которое

Serre J.-P. Exemples de vari ´et ´es projectives en caract ´eristique p non relevables en caract ´eristique
z ´ero // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 1961. V. 47. P. 108–109. Перев. О. Н. Попова.
1) См., например, [5].

Примеры проективных многообразий в характеристике p
7

является полным пересечением и не пересекает ни одно из F

,
̸= 1; условие (D)
позволяет вдобавок считать, что dim(Y0) ⩾ 3. Группа G действует на Y0 свободно
(т. е. «без неподвижных точек»), и фактор X0

= Y0/G — неособое проективное
многообразие.

Лемма.
Если X0 поднимается на A, то гомоморфизм r0 : G → PGLn(k)
поднимается до гомоморфизма r: G → PGLn(A).

Временно примем эту лемму. Тогда для получения контрпримера к вопросам 1
и 2 из п. 1 достаточно построить группу G и гомоморфизм r0 : G → PGLn(k), который удовлетворяет (D) и не поднимается ни на какое кольцо характеристики нуль.
Это задача из чистой теории групп, которая не представляет никаких трудностей.
Предположим, например, что p ⩾ 7, и пусть G — группа типа (p,
:
:
: , p). Возьмем
n
= 5. Пусть N
= (uij) — нильпотентная матрица порядка 5 с элементами uij

= 1
при j
= i
+ 1, uij

= 0 в противном случае; пусть h — изоморфизм G на подгруппу
аддитивной группы k и пусть s(
)
= exp(h(
)N). Отображение
→ s(
) — гомоморфизм G в GL5(k). Если r0(
) обозначает образ s(
) в PGL5(k), то отображение
r0 : G → PGL5(k) — гомоморфизм. Если
̸= 1, то множество F

сводится к одной
точке, что показывает, что (D) выполнено. Наконец, если бы r0 поднималось до
r: G → PGL5(A), можно было бы считать A целостным (с точностью до замены
его на A/p, где p — простой идеал, не содержащий числа p); отсюда бы вытекало существование поля K характеристики нуль, для которого PGL5(K) содержит
подгруппу, изоморфную G, невозможность чего легко видеть, если порядок G ⩾ p5.

3. Доказательство леммы. Пусть X — схема над A, поднимающая X0. По результату Гротендика [3] фундаментальная группа X отождествляется с таковой
для X0. Так как Y0 — этальное («неразветвленное» в старой терминологии) накрытие Галуа над X0 с группой Галуа G, отсюда мы заключаем, что существует
этальное накрытие Y над X с теми же свойствами, для которого Y ⊗A k
= Y0.
Пусть O — пучок колец Y, O0 — Y0. По [6], п. 78, H0(Y0, O0)
= k, а H1(Y0, O0)
= 0.
Отсюда вытекает 2), что H0(Y, O)
= A.
Пусть E0

= O0(1) — локально свободный пучок ранга 1 на Y0, заданный проективным вложением Y0 → Pn−1(k). Так как dim(Y0) ⩾ 3, то H2(Y0, O0)
= 0 ([6], там
же), и одна теорема Гротендика [3] показывает, что на Y есть локально свободный
пучок E ранга 1, для которого E ⊗A k
= E0; так как H1(Y0, O0)
= 0, этот пучок единствен с точностью до изоморфизма [3]. С другой стороны, по [6], H0(Y0, E0)
= kn,
а H1(Y0, E0)
= 0. Отсюда вытекает 2), что H0(Y, E) — свободный A-модуль ранга
n и что H0(Y, E) ⊗A k отождествляется с H0(Y0, E0)
= kn. Если
— элемент G, то
единственность E показывает существование изоморфизма a(
) : E → E, согласованного с
: Y → Y; этот изоморфизм задает автоморфизм модуля H0(Y, E)
= An;
кроме того, a(
) с точностью до умножения определено автоморфизмом E, т. е.
элементом A∗. Таким образом получается корректно определенный элемент r(
)
в PGLn(A), и ясно, что отображение r: G → PGLn(A) — это гомоморфизм, поднимающий r0,
ч. т. д.

2)
Когда A — кольцо дискретного нормирования, достаточно применить формулу Кюннета (см.
[1]). В общем случае следует прибегнуть к теореме о голоморфных функциях в когомологической
форме, приданной ей Гротендиком (см. [2], гл. III).

Примеры проективных многообразий в характеристике p

4. Дополнения. а) Если X0 — определенное выше многообразие, то можно
показать, что существует такое целое n, что любое кольцо, на которое X0 поднимается, аннулируется pn. Другими словами, локальное кольцо формального
многообразия модулей [4] X0 аннулируется pn.
б) Можно рассматривать X0 как цикл в некотором проективном пространстве.
Тот факт, что X0 не поднимается как схема, показывает, что оно не поднимается
и как цикл (в смысле редукции циклов Шимуры [7]).

Список литературы

[1] Chow W. L., Igusa J. I. Cohomology theory of varieties over local rings // Proc. Natl. Acad.
Sci. U.S.A. 1958. V. 44. P. 1244–1248.

[2] Grothendieck A., Dieudonn ´e J. El ´ements de G ´eom ´etrie Alg ´ebrique. Publ. Math. I.H.E.S.
Paris.

[3] Grothendieck A. G ´eom ´etrie formelle et g ´eom ´etrie alg ´ebrique // S ´em. Bourbaki, 1958/59.
Exp. 182.

[4] Grothendieck A. Technique de descente et th ´eor `emes d’existence en g´eom´etrie
alg ´ebrique. II: Le th ´eor `eme d’existence en th ´eorie formelle des modules // S ´em. Bourbaki, 1959/60. Exp. 195.

[5] Serre J.-P. Sur la topologie des vari ´et ´es alg ´ebriques en caract ´eristique p // Symp. Top.
Mexico. 1958. P. 24–53. [См. перев. «О топологии алгебраических многообразий в характеристике p» во 2-м томе настоящего издания.]

[6] Serre J.-P. Faisceaux alg ´ebriques coh ´erents // Ann. of Math. 1955. V. 61. P. 197–278. [См.
перев. «Когерентные алгебраические пучки» во 2-м томе настоящего издания.]

[7] Shimura G. Reduction of algebraic varieties with respect to a discrete valuation of the
basic field // Amer. J. Math. 1955. V. 77. P. 134–176.

О локальных полях с алгебраически
замкнутым полем вычетов

Введение. Пусть K — локальное поле, т. е. поле, снабженное дискретным
нормированием и полное относительно топологии, определяемой этим нормированием. Пусть AK — группа Галуа максимального абелевого расширения поля K.
В том случае, когда поле вычетов k поля K конечно (или, более общим образом,
квази-Галуа в смысле Уэйплза [27]) можно явно определить группу AK средствами
локальной теории полей классов: эта группа является пополнением мультпликативной группы K∗ относительно некоторой топологии (ср. Уэйплз [25]). Целью настоящей статьи является построение аналогичной теории в случае, когда поле вычетов k алгебраически замкнуто. Прежде всего необходимо снабдить группу
UK единиц поля K структурой проалгебраической группы над k, в смысле [21];
это возможно в силу общих результатов Гринберга [7], примененных к мультпликативной группе Gm. Имеет смысл говорить поэтому о фундаментальной группе

1(UK) группы UK (ср. [21], п. 6.I). Отыскание группы AK сводится к построению
изоморфизма

:
1(UK) −→ AK.

Пользуясь выразительным языком, можно сказать, что абелевы расширения
поля K взаимно однозначно соответствуют изогениям группы UK.
Содержание параграфов следующее:
В 1 напоминается определение структуры проалгебраической группы на UK
и устанавливаются ее основные свойства. В 2 даются два эквивалентных определения гомоморфизма
; один из которых — непосредственный, а другой основан на
формации классов в смысле Артина – Тэйта (эта формация образована группами

1(UL), где L пробегает множество конечных сепарабельных расширений поля K).
Эти два определения немедленно показывают, что гомоморфизм
сюръективен.
Его инъективность составляет теорему существования, доказываемую в
4.
Как и в классическом случае, доказательство состоит в построении «достаточного» количества абелевых расширений поля K посредством подходяще выбранных
уравнений; мы в основном используем «уравнения Артина – Шрайера» (ср. Маккензи – Уэйплз [14]). В 3 доказательством того факта, что гомоморфизм
пере
Serre J.-P. Sur les corps locaux `a corps r ´esiduel alg ´ebriquement clos // Bull. Soc. Math. de France.
1961. V. 89. P. 105–154. Перев. А. В. Самохина.

О локальных полях с алгебраически замкнутым полем вычетов

водит естественную фильтрацию на группе
1(UK) в фильтрацию на группе AK,
определяемую подгруппами ветвления (занумерованными `a la Эрбран), завершается аналогия с локальной теорией полей классов; тем самым, имеется теория
кондуктора, показывающая, в частности, что кондуктор Артина является целым;
доказательства близко следуют доказательствам Хассе в классическом случае
(ср. [8]). В 5 показывается, как результаты пп. 2, 3, 4 связаны с их аналогами
в теории алгебраических кривых.
Как мы указали в начале, изложенное выше касается лишь случая алгебраически замкнутого поля вычетов [1]. В некоторой степени возможно перейти к общему случаю методом, аналогичным использованному Ленгом для поля функций
(ср. [18]), гл. VI, а также [19], 7). Мы не излагаем здесь этот метод; это было бы
возможно лишь при довольно существенном изменении рамок нашего изложения.

1. Проалгебраическая структура на группе единиц

Существованием и общим свойствам этой структуры мы обязаны Гринбергу [7]; пункты с 1.1 по 1.6 воспроизводят его доказательства без существенных
изменений. Два последних пункта содержат теоремы об относительной структуре
в случае колец нормирования.
Всюду в этом параграфе символ k обозначает алгебраически замкнутое
поле произвольной характеристики.

1.1. Модули над векторами Витта. Предположим, что k имеет характеристику p, и пусть W — кольцо векторов Витта бесконечной длины с коэффициентами в k (обо всем, что касается векторов Витта, см. Витт [28] или Хассе [9],
10). Известно, что W — полное кольцо дискретного нормирования с полем вычетов k, максимальный идеал которого порожден p (более того, эти свойства
характеризуют это кольцо с точностью до изоморфизма). Для x ∈ k положим
r(x)
= (x, 0,
:
:
: , 0,
:
:
:); это мультипликативный представитель элемента x.
Если W
= (x0, x1,
:
:
:), то

W
=

∞
i=0
r (xp−i
i
)pi.

Если n — целое число, больше или равное нулю, то мы обозначаем через Wn
кольцо векторов Витта длины n, которое отождествляется с кольцом W/pnW;
координаты (xi) наделяют Wn структурой алгебраического многообразия над полем k. Поскольку сложение и умножение задаются полиномами, Wn является
также и алгебраическим кольцом 1). Если m ⩾ n, то алгебраическая структура
кольца Wn является факторструктурой кольца Wm.
Если E — конечное произведение колец Wni, то E будет наделено алгебраической структурой произведения Wni. Имеется

Лемма 1. Пусть E0, E1,
:
:
: , Ek — конечные произведения колец Wni и
пусть f: E1 ×
:
:
: × Ek −→ E0 является W-линейным отображением. Если
E0, E1,
:
:
: , Ek снабжены алгебраическими структурами произведения Wni,
то отображение f является морфизмом.

1) То есть кольцом с согласованной структурой алгебраического многообразия. —Прим. ред.

О локальных полях с алгебраически замкнутым полем вычетов
11

Полилинейность позволяет свести утверждение к случаю, когда каждое Ei изоморфно одному из Wni. В этом случае лемма проверяется немедленно.
При k
= 1 видно, в частности, что всякое линейное отображение f: E1 −→ E0
является морфизмом; если f биективно, то этот результат, примененный к f−1,
показывает, что f является изоморфизмом.
Пусть теперь E является W-модулем конечной длины. По структурной теореме
о модулях над кольцом главных идеалов существует изоморфизм g: E −→ E0, где
E0 — произведение Wni; перенесем на E алгебраическую структуру, имеющуюся
на E0 при помощи g−1. Поскольку g единственен с точностью до W-линейного
автоморфизма E0 и такой автоморфизм уважает алгебраическую структуру на E0,
то мы заключаем, что алгебраическая структура на E не зависит от выбора g.
Будем называть ее канонической структурой на E.

Предложение 1. Пусть E0, E1,
:
:
: , Ek суть W-модули конечной длины,
снабженные каноническими структурами алгебраических многообразий.

а) Всякое W-полилинейное отображение f: E1 ×
:
:
: × Ek −→ E0 есть морфизм.
б) Если f: E1 −→ E0 — сюръективное W-линейное отображение, то алгебраическая структура на E0 отождествляется с факторструктурой
E1/ Ker(f).
в) Если pnE0

= 0, то отображение (W, x) −→ W · x из Wn × E0 в E0 есть
морфизм.

Пункт а) следует из леммы 1, а п. в) является частным случаем а). В случае п. б), отображение f определяет биективный морфизм f0 из E1/ Ker(f) на E0,
и нам необходимо доказать, что этот морфизм является изоморфизмом. Можно
предполагать, что E0

= k
i=1 Wni. Выберем целое n, такое что pnE1

= 0; можно тем
самым рассматривать E1 и E0 как Wn-модули, и, в частности, полагать, что n ⩾ ni
для всех i. Пусть E′ — произведение k сомножителей, каждый из которых равен
Wn, и пусть g — отображение из E′ на E0, являющееся произведением канонических проекций Wn −→ Wni, 1 ⩽ i ⩽ k. Ясно, что алгебраическая структура на E0
отождествляется со структурой на E′/ Ker(g). Поскольку E′ — свободный Wnмодуль, существует W-гомоморфизм h: E′ −→ E1, такой что g
= f ◦ h. Отображение h — морфизм, отображающий Ker(g) в Ker(f); тем самым, после перехода
к факторам, h определяет морфизм h0 из E′/ Ker(g)
= E0 в E1/ Ker(f). Сразу проверяется, что f0 и h0 — морфизмы, взаимно обратные друг другу. Следовательно,
эти морфизмы являются изоморфизмами, что завершает доказательство б).

Замечание. Если E1 — подмодуль E0, то в общем случае неверно, что каноническая алгебраическая структура на E1 индуцирована такой же структурой
на E0 (разумеется, за исключением случая, когда E1 является прямым слагаемым
в E0). Пример: E1

= W1, E0

= W2, где модуль E1 отождествляется с подмодулем
в E0 посредством W-линейного отображения x −→ (0, xp), определенного переходом к фактору относительно умножения на p в W; если через E′
1 обозначить
алгебраическую структуру на E1, индуцированную структурой на E0, то тождественное отображение E1 −→ E′
1 будет радикальной изогенией степени p.

О локальных полях с алгебраически замкнутым полем вычетов

1.2. Локальные артиновы кольца. Пусть A — локальное артиново кольцо с полем вычетов k; обозначим через s канонический гомоморфизм из A в k.
Мы снабдим A структурой алгебраического k-многообразия, которая превратит
A в алгебраическое кольцо. Выделим два случая:

(i) Характеристика поля k равна нулю.

Известно (ср., например, Коэн [5], 4), что тогда существует поле представителей поля k, т. е. гомоморфизм r: k −→ A, такой что s ◦ r
= 1. Мы раз и навсегда
зафиксируем такой гомоморфизм. Кольцо A станет тогда k-алгеброй конечной
размерности (равной длине кольца A) с очевидной алгебраической структурой.

(ii) Характеристика поля k равна p ̸= 0.

Тогда существует и единственно отображение r: k −→ A, удовлетворяющее
следующим двум условиям:
а) s ◦ r
= 1
б) r(xp)
= r(x)p для всех x ∈ k.

Если x ∈ k, то элемент r(x) кольца A называется мультипликативным представителем элемента x; эта терминология оправдывается формулой:
в) r(xy)
= r(x) · r(y) (ср. Коэн [5], 5).

Отображение r позволяет корректно определить гомоморфизм
: W −→ A
формулой

(x0, x1,
:
:
:)
=

∞
i=0
r(xp−i
i
) · pi,

ср. Витт [28], где рассматривается случай колец дискретного нормирования (общий случай рассматривается аналогично). Заметим, что в предыдущей формуле
все члены, за исключением конечного числа, равны нулю.
Оказывается, что кольцо A снабжено структурой W-алгебры и, в частности,
структурой W-модуля конечной длины. Введем на A каноническую структуру алгебраического многообразия, соответствующего этой структуре модуля (ср. п. 1.1).
Поскольку умножение является W-билинейным отображением из A × A в A, то
предложение 1 показывает, что A — алгебраическое кольцо.
В обоих случаях (i) и (ii) отображения r: k −→ A и s: A −→ k являются морфизмами; поскольку s ◦ r
= 1, мы заключаем, что r — изоморфизм поля k на
замкнутое подмногообразие (в топологии Зариского) кольца A. Отметим также,
что если длина кольца A равна n, то как алгебраическое многообразие оно изоморфно аффинному пространству размерности n.

1.3. Группа единиц локального артинового кольца. Сохраним обозначения
предыдущего пункта. Пусть m — максимальный идеал A, и пусть U
= A − m —
группа единиц кольца A. Пусть U1 — подгруппа группы U, образованная элементами x ∈ A, такими что x ≡ 1 mod m, и пусть Gm — подгруппа, образованная
r(x), x ∈ k∗. Ясно, что U является прямым произведением подгрупп Gm и U1.
Поскольку s: A −→ k — морфизм, то m
= s−1(0) и U1

= s−1(1) замкнуты
в топологии Зариского кольца A, а U открыто. Что касается Gm

= U ∩ r(k), то
оно замкнуто в U. Таким образом, структура алгебраического многообразия на A