Введение в пучки, расслоения и классы Черна
Покупка
Тематика:
Геометрия и топология
Автор:
Натанзон Сергей Миронович
Год издания: 2014
Кол-во страниц: 48
Дополнительно
Вид издания:
Курс лекций
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-4439-2029-0
Артикул: 682434.01.99
Пучки, расслоения и их инварианты | это фундаментальные по-
нятия современной геометрии, позволяющие исследовать глобальные
свойства многообразий.
Книга содержит основные определения и первые шаги этой тео-
рии. Подробно обсуждаются, в частности, когомологии со значения-
ми в пучках и классы Черна расслоений.
Книга является записью курса лекций, которые автор неодно-
кратно читал для студентов 2{4 курсов Независимого московского
университета.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- 01.00.00: МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ С. М. Натанзон Введение в пучки, расслоения и классы Черна Электронное издание Москва Издательство МЦНМО 2014
УДК 515.176.3 ББК 22.15 Н33 Натанзон С. М. Введение в пучки, расслоения и классы Черна Электронное издание М.: МЦНМО, 2014 46 с. ISBN 978-5-4439-2029-0 Пучки, расслоения и их инварианты | это фундаментальные понятия современной геометрии, позволяющие исследовать глобальные свойства многообразий. Книга содержит основные определения и первые шаги этой теории. Подробно обсуждаются, в частности, когомологии со значениями в пучках и классы Черна расслоений. Книга является записью курса лекций, которые автор неоднократно читал для студентов 2{4 курсов Независимого московского университета. Подготовлено на основе книги: С. М. Натанзон. Введение в пучки, расслоения и классы Черна. | М.: МЦНМО, 2010. Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11, тел. (499) 241 74 83. http://www.mccme.ru ISBN 978-5-4439-2029-0 c Натанзон С. М., 2010 c МЦНМО, 2014
Содержание § 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 § 2. Пучки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Накрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 § 3. Когомологии с коэффициентами в пучке . . . . . . . . . . . 8 3.1. Каноническая резольвента пучка . . . . . . . . . . . . 8 3.2. Когомологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 § 4. Точные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.1. Мягкие пучки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2. Длинная точная последовательность . . . . . . . . . . . 15 § 5. Аксиоматическая теория когомологий . . . . . . . . . . . . . 16 5.1. Ацикличные резольвенты . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.2. Аксиоматический подход . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 § 6. Когомологии Чеха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.1. Когомологии покрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.2. Теорема Лере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 § 7. Когомологии де Рама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7.1. Пучки модулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7.2. Теорема де Рама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 § 8. Векторные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8.1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8.2. Универсальные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . 27 § 9. Связности в расслоениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 9.1. Связности и метрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 9.2. Кривизна связности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 § 10. Классы Черна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 10.1. Инвариантные однородные формы . . . . . . . . . . . 33 10.2. Классы Черна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 § 11. Комплексные многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 11.1. Дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . 38 11.2. Когомологии Дольбо. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 § 12. Линейные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 12.1. Каноническая связность. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 12.2. Пучки и классы Черна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3
§ 1. Введение Хорошо известно, что непостоянная функция, голоморфная на комплексной плоскости, неограничена. Другими словами, в некоторых случаях по локальным свойствам функций (например, голоморфности) можно судить о ее глобальных свойствах. Взаимосвязь локальных и глобальных свойств позволяет исследовать явление в целом начиная с его локальных, обычно проще контролируемых свойств. Необходимый для этого математический аппарат был создан в середине прошлого века. Он основан на теории пучков. Свойства пучков автоматизируют свойства тензорных полей на многообразиях. Пучкам отвечают коммутативные группы, называемые группами когомологий со значениями в пучке, и специальные элементы групп когомологий многообразия со значениями в постоянном пучке, называемые классами Черна. Группы когомологий и классы Черна определяют важнейшие фундаментальные свойства многообразия. Эти понятия являются основным языком всех разделов современной геометрии. Настоящий курс является введением в теорию пучков и связанных с ней структур. Первая часть курса (§ 1|7) посвящена когомологиям со значениями в пучках. Мы даем несколько по виду совершенно непохожих друг на друга конструкций когомологий: с помощью ацикличных резольвент, через семейства покрытий (когомологии Чеха) и, для гладких многообразий, с помощью дифференциальных форм (когомологии де Рама) и сингулярных коцепей (сингулярные когомологии). Мы доказываем, что все эти конструкции приводят к одинаковым группам когомологий (теоремы Лере и де Рама). Более того, мы показываем, что когомологии реализуют единственный естественный функтор из категории пучков абелевых групп в категорию абелевых групп, переводящий короткую точную последовательность пучков в длинную точную последовательность групп. Вторая часть курса посвящена самому «массовому» типу пучков | локально свободным пучкам, т. е. пучкам сечений локально тривиальных векторных расслоений. После описания категории таких пучков (§ 8) мы определяем и исследуем свойства эрмитовых связностей в расслоениях (§ 9). Далее (§ 10) мы определяем классы Черна как миноры матриц кривизны эрмитовых связностей, исследуем функториальные свойства классов Черна и обсуждаем другие определения классов Черна. В последних двух параграфах мы исследуем простейшие свойства пучков и расслоений на комплексных многообразиях. В § 11 мы определяем когомологии Дольбо и числа Ходжа. В § 12 мы доказываем, что первый класс Черна голоморфного расслоения ранга 1 описывается 4
оператором Бокштейна и, таким образом, двойствен классу линейной эквивалентности дивизора мероморфного сечения расслоения. Книга является записью курса, который автор неоднократно читал для студентов 2|4 курсов Независимого московского университета. § 2. Пучки 2.1. Основные определения. Напомним, что топологическим пространством называется множество X с такой системой подмножеств U, что 1) X; ∅ ∈ U; 2) объединение U произвольного числа подмножеств U ∈ U принадлежит U; 3) пересечение U конечного числа подмножеств U ∈ U принадлежит U. Подмножества из U называются открытыми множествами. Дополнение X \ U к отрытому множеству U ∈ U называется замкнутым множеством. Предпучком F над топологическом пространством (X; U) называется a) набор множеств {F(U) | U ∈ U}, называемых сечениями над U; б) набор отображений {rU V : F(U) → F(V ) | U; V ∈ U; V ⊂ U}, называемых ограничениями и удовлетворяющих следующим условиям: 1) rU U = 1U | тождественное отображение; 2) rU W = rV W rU V при W ⊂ V ⊂ U. Предпучок F называется предпучком групп (колец, модулей и т. п.), если все множества F(U) являются группами (соответственно кольцами, модулями и т. п.) и все отображения rU V являются гомоморфизмами соответствующих структур. Пучком называется предпучок F, в котором выполнены следующие аксиомы. 1. Пусть U = Ui, s; t ∈ F(U) и rU Ui(s) = rU Ui(t) для всех Ui. Тогда s = t. 2. Пусть U = Ui, si ∈ F(Ui) и rUi Ui∩Uj(si) = rUj Ui∩Uj(sj) для всех i; j. Тогда существует такое s ∈ F(U), что rU Ui(s) = si. Пример 2.1 (пучок отображений множества X в множество Y ). Здесь F(U) | множество всех отображений множества U в множество Y , а rU V |ограничение отображения на подмножество. Если все множество Y является группой (соответственно кольцом, модулем 5
и т. п.), то возникает пучок групп (соответственно колец, модулей и т. п.). Пример 2.2. Если в предыдущем примере в качестве F(U) рассматривать лишь множество локально постоянных отображений, то возникает пучок, называемый постоянным. Пример 2.3. Если в примере 2.1 считать, что Y | топологическое пространство и F(U) | множество непрерывных функций, то возникает пучок непрерывных отображений. Пример 2.4. Если в предыдущем примере считать, что X | гладкое (соответственно комплексное) многообразие, Y | поле вещественных (соответственно комплексных) чисел и F(U) | множество гладких (соответственно голоморфных) функций, то возникает пучок гладких (соответственно голоморфных) функций. Пример 2.5. Если, как и в предыдущем примере, считать, что X | гладкое или комплексное многообразие, а F(U) | множество тензорных полей на нем, то возникает пучок тензорных полей. Упражнение 2.1. Докажите, что конструкции, описанные в примерах, действительно порождают пучки. Упражнение 2.2. Придумайте предпучок, не являющийся пучком. Пусть F и G | предпучки на X. Их морфизмом h: F → G называется такой набор отображений {hU : F(U) → G(U) | U ∈ U}, что hV rU V = rU V hU. Ядра и образы этих отображений порождают подпучки Ker(h) ⊂ F и Im(h) ⊂ G. Если F и G являются предпучками групп, колец, модулей и т. п., то морфизмами таких предпучков считаются лишь морфизмы {hU}, порождающие гомоморфизмы соответствующих структур. Морфизм называется изоморфизмом, если все отображения взаимно однозначны. Упражнение 2.3. Будем считать, что в примере 2.5 множество F(U) состоит из гладких или голоморфных (когда X | комплексное многообразие) тензорных полей. Докажите, что такое множество F(U) также порождает пучок, называемый пучком гладких (соответственно голоморфных) тензорных полей. Докажите, что этот пучок мономорфно отображается в пучок всех тензорных полей из примера 2.5. 2.2. Накрытия. Сюръективный локальный гомеоморфизм топологических пространств : Y → X назовем накрытием (это определение отличается от стандартного, но удобно для изучения пучков). 6
Наша ближайшая цель | сопоставить произвольному предпучку F = {F(U); rU V } на X некоторое накрытие пространства X. Обозначим через Fx = lim x∈U F(U) индуктивный предел множеств F(U) относительно отображений ограничения rU V . По определению множество Fx состоит из классов эквивалентности Ux F(U)= ∼x, где s ∈ F(V ) ∼x t ∈ F(W), если существует такое открытое множество U ⊂ V ∩ W, что rV U (s) = rW U (t). Положим F = x∈X Fx. Пусть s ∈ F(U). Тогда каждой точке x ∈ U отвечает класс эквивалентности sx ∈ Fx сечения s. Объединение всех таких классов образует подмножество sU ⊂ F. Зададим на F топологию, считая, что открытыми являются все множества sU и все объединения таких множеств. Упражнение 2.4. Докажите, что описанная конструкция действительно задает структуру топологического пространства на F. Докажите, что отображение : F → X, где (Fx) = x, является накрытием. Сечением накрытия : Y → X на подмножестве U ⊂ X называется такое отображение s: U → Y , что s = 1U | тождественное отображение. Обозначим через F(U) множество непрерывных сечений на U ⊂ X. Упражнение 2.5. Докажите, что множества сечений {F(U) | U ∈ ∈ U} вместе с естественными отображениями ограничений сечений на подмножества образуют пучок. Он называется пучком сечений накрытия. Таким образом, всякий предпучок F порождает пучок — — F сечений накрытия : F → X. Если F является предпучком с алгебраической структурой (т. е. является предпучком групп, модулей и т. п.), то этой же структурой обладает и порожденный пучок. Сечению s ∈ F(U) отвечает множество sU, образующее сечение — s ∈ — — F(U). Соответствие s → — s порождает отображение U : F(U) → — — F(U). Упражнение 2.6. Докажите, что семейство отображений F(U) → → — — F(U) образует морфизм предпучков F : F → — — F. Более того, если F |пучок групп, то — — F тоже пучок групп и F |морфизм пучков групп. Упражнение 2.7. Докажите, что морфизм предпучков h: A → B естественно порождает непрерывное отображение ~ h: A → B, которое, в свою очередь, естественно порождает такой морфизм предпучков — h: — — A → B, что Ah = — hB: Теорема 2.1. Если F |пучок, то : F → — — F |изоморфизм пучков. 7
Доказательство. 1. Докажем инъективность. Пусть s; s∈ F(U) и U(s) = U(s). Рассмотрим произвольную точку x ∈ U. Тогда rU x (s) = = rU x (s). Следовательно, существует такое содержащее точку x открытое множество V x ⊂ U, что rU V x(s) = rU V x(s). Таким образом, существует такое покрытие U = x∈X V x, что rU V x(s) = rU V x(s). Согласно первой аксиоме пучка отсюда следует, что s= s. 2. Докажем сюръективность. Пусть ∈ — — F(U). Рассмотрим произвольную точку x ∈ U. Тогда (x) представляет собой класс эквивалентности сечения sx ∈ F(V x), где x ∈ V x ⊂ U. Сечение sx порождает сечение накрытия x = V x(sx) ∈ — — F(V x). Сечения накрытия и x совпадают в точке x и, следовательно, совпадают в некоторой окрестности W x ⊂ V x. Таким образом, |W x = x|W x = rV x W x(V x(sx)) = W x(rV x W x(sx)) = W x(^ sx)) ; где ^ sx = rV x W x(sx). Взяв такую окрестность W x для каждой точки x ∈ U, получаем такое покрытие U = x∈U W x, что |W x = W x(^ sx). В частности, W x(^ sx) = W y(^ sy) на W x ∩ W y. Ввиду уже доказанной инъективности отсюда следует, что rW x W x∩W y(^ sx) = rW y W x∩W y(^ sy). Таким образом, согласно второй аксиоме пучка существует такое сечение ^ s ∈ F(U), что ^ sx = rU W x(^ s). Следовательно, U(^ s)|W x = W x(rU W x(^ s)) = W x(^ sx) = = |W x. Следствие 2.1. Каждый пучок изоморфен пучку непрерывных сечений некоторого накрытия. § 3. Когомологии с коэффициентами в пучке 3.1. Каноническая резольвента пучка. Далее мы считаем, что все рассматриваемые пучки являются пучками коммутативных групп. Говорят, что пучок A является подпучком пучка B (и пишут A ⊂ B), если A(U) ⊂ B(U) для любого открытого множества U. Упражнение 3.1. Докажите, что в этом случае соответствие U → → B(U)=A(U) порождает предпучок. Пучок C, порожденный предпучком U → B(U)=A(U), называется факторпучком. Говорят, что последовательность гомоморфизмов групп A g − → B h − → h − → C точна в B, если Im(g) = Ker(h). Говорят, что последовательность 8
морфизмов A g − → B h − → C пучков групп над X точна в B, если для любого x ∈ X последовательность групп Ax g − → Bx h − → Cx точна в Bx. Упражнение 3.2. Докажите, что естественное вложение подпучка в пучок вместе с естественной проекцией пучка на факторпучок порождают точную последовательность пучков 0 → A → B → C → 0. Упражнение 3.3. Пусть O | пучок голоморфных функций на C \ 0, рассматриваемый как группа по сложению, Z | подпучок постоянных целочисленных функций и O∗ | пучок не обращающихся в 0 голоморфных функций на C \ 0, рассматриваемый как группа по умножению. Докажите, что тогда последовательность пучков 0 → Z i − → O exp − − → O∗ → 0, где exp(f)(z) = e2if(z), точна, а последовательность гомоморфизмов групп 0 → Z(C \ 0) i − → O(C \ 0) exp − − → O∗(C \ 0) → 0 не точна. Предыдущее упражнение дает пример точной последовательности пучков, порождающей последовательность сечений, которая не является точной. Неточности такого типа характеризуют пучок и являются, по существу, предметом теории когомологий. Точная (во всех членах) последовательность пучков вида 0 → F − → F0 0 − → F1 1 − → F2 2 − → : : : называется резольвентой пучка F. Упражнение 3.4. Докажите, что последовательность групп 0 → F(X) ~ − → F0(X) ~ 0 − → F1(X) ~ 1 − → F2(X) ~ 2 − → : : : ; индуцированная резольвентой 0 → F − → F0 0 − → F1 1 − → F2 2 − → : : : ; удовлетворяет условиям ~ 0~ = ~ n+1~ n = 0 и Ker(~ 0) = Im(~ ) Рассмотрим пучок F и изоморфный ему пучок — — F непрерывных сечений накрытия : Y → X. Рассмотрим пучок E(U) = {s : U → Y | s = 1} всех сечений накрытия . Естественное вложение непрерывных сечений в произвольные порождает точную в F последовательность пучков 0 → F − → E(F). Положим F0 = E(F), F1 = E(F0=Im()) и обозначим через 0 : F0 → → F0=Im() → E(F0=Im()) = F1 композицию естественных гомоморфизмов пучков. Мы получили последовательность гомоморфизмов 0 → → F − → F0 0 − → F1. Далее положим Fn+1 = E(Fn=Im(n−1)) и обозначим через n : Fn → Fn=Im(n−1) → E(Fn=Im(n−1)) = Fn+1 композицию естественных гомоморфизмов пучков. 9
Упражнение 3.5. Докажите, что последовательность пучков 0 → F − → F0 0 − → F1 1 − → F2 2 − → : : : является резольвентой. Построенная резольвента 0 → F − → F0 0 − → F1 1 − → F2 2 − → : : : называется канонической резольвентой пучка F. 3.2. Когомологии. Пусть F |пучок над X, 0→F − →F0 0 − →F1 1 − → 1 − → F2 2 − → : : : | его каноническая резольвента и 0 → F(X) ~ − → F0(X) ~ 0 − → F1(X) ~ 1 − → F2(X) ~ 2 − → : : : | индуцированная последовательность групп. Тогда группы H0(X; F) = Ker(~ 0) = F(X); Hn(X; F) = Ker(~ n)=Im(~ n−1) называются n-ми группами когомологий пространства X с коэффициентами в пучке F. Их прямая сумма H∗(X; F) называется (полной) группой когомологий пространства X с коэффициентами в пучке F. Это понятие позволяет сопоставить группу произвольному пучку и использовать методы алгебры для изучения геометрических объектов. Для простейших (и важнейших) пространств и пучков это соответствие (другими методами) было впервые построено А. Пуанкаре. Следующая теорема показывает, что соответствие является функториальным. Теорема 3.1. Морфизм A h − → B пучков над X порождает такие гомоморфизмы групп когомологий hn : Hn(X; A) → Hn(X; B), что 1) h0 = hX : A(X) → B(X) | гомоморфизм глобальных сечений; 2) если h | тождественный морфизм, то hn | тождественный гомоморфизм для любого n; 3) если A h − → B l − → C | последовательность морфизмов пучков, то (lh)n = lnhn. Доказательство. Рассмотрим накрытия f : Y → X и g: Z → X, пучки непрерывных сечений которых изоморфны пучкам A и B соответственно. Морфизм h порождает гомеоморфизм, замыкающий коммутативную диаграмму Y f h Z g X X 10
Диаграмма порождает морфизм h0(s) = hs пучков всех сечений накрытий. Этот морфизм замыкает коммутативную диаграмму 0 A h A0 h0 0 B