Семейства прямых и гауссовы отображения.

С. М. Львовский

Семейства прямых
и гауссовы отображения

МЦНМО

Летняя школа «Современная математика»
Дубна, июль 

С. М. Львовский

Семейства прямых и гауссовы
отображения

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


УДК ..+..
ББК .
Л

Львовский С. М.
Семейства прямых и гауссовы отображения
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

Всякое одномерное семейство прямых на плоскости (кроме вырожденных случаев) является семейством касательных к некоторой кривой.
В пространстве, однако, это уже совершенно не так; в брошюре объясняется, как, глядя на одномерное семейство прямых в пространстве, определить, является ли оно «касательным». По ходу дела читатель знакомится с такими важными понятиями современной математики, как внешняя
алгебра и грассмановы многообразия.
Брошюра написана по материалам цикла лекций на Летней школе
«Современная математика» в Дубне в  г. Она доступна студентам
младших курсов и школьникам старших классов.

Подготовлено на основе книги: С. М. Львовский. Семейства прямых и
гауссовы отображения. — М.: МЦНМО, .

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., . Тел. () --
http://www.mccme.ru

ISBN ----
© Львовский С. М., .
© МЦНМО, .

Предисловие

Эта брошюра представляет собой расширенные записки миникурса, прочитанного автором в июле  года на Летней школе «Современная математика» в Дубне. Автор не уверен, что десять лет назад
он излагал материал точно так же, как сейчас в книжке, а некоторые
из тем на школе заведомо затронуты не были, но в общем и целом
брошюра курсу соответствует.
Серьезных познаний для понимания книги не требуется: помимо
школьной программы, достаточно знать, что такое производная, и не
бояться слов «векторное пространство» и «базис» (в самом последнем
параграфе, который можно благополучно опустить, от читателя требуется чуть больше).
Я благодарен Татьяне Коробковой и Григорию Мерзону за тщательное и вдумчивое редактирование. Все оставшиеся недостатки текста —
целиком на моей совести.



§ . О чем эта книжка

Представим себе, что в пространстве движется прямая (по ходу дела
она может и смещаться, и поворачиваться) — см. рис. . В таких случаях говорят, что в пространстве задано семейство прямых (точнее говоря, одномерное семейство прямых). Разумеется, двигать прямую можно по-всякому, и семейства прямых при этом будут получаться самые

ℓ

Рис. . Семейство прямых, полученное вращением одной из скрещивающихся
прямых относительно другой (ℓ). Мы встретимся с этим семейством в п. ..

разные. Один из возможных способов задать семейство, в частности,
таков. Рассмотрим произвольную кривую C в пространстве и в каждой
ее точке проведем касательную прямую. Получится семейство прямых
(см. рис. ). Такие семейства мы будем называть касательными.
Зададимся вопросом: всякое ли семейство прямых в пространстве
можно получить как семейство касательных к какой-нибудь кривой?
Если понимать этот вопрос совсем буквально, то нетрудно заметить, что ответ на вопрос отрицателен: если все прямые из нашего
семейства проходят через одну точку (иными словами, если все наши
прямые суть образующие некоторого конуса), то ясно, что предъявить
кривую, которой все они касаются, никак невозможно (рис. ). Но этот
ответ, хоть формально он и верен, порождает только следующий вопрос: ну хорошо, такие семейства прямых касательными действительно не являются; а все остальные являются или тоже не всегда? Можно еще сказать так: семейства прямых, проходящих через одну точ


C

Рис. . Семейство прямых, касающихся кривой C

Рис. . Это семейство касательным точно не является

ку, очень «специальны»: если такое семейство слегка «пошевелить»,
то свойство «все прямые проходят через одну точку» разрушится. Что
получится, если рассмотреть «случайно взятое» семейство — семейство
общего положения?
Собственно говоря, для начала стоит задать тот же вопрос про прямые не в пространстве, а на плоскости: пусть дано одномерное семейство прямых на плоскости; всегда ли оно является семейством касательных к некоторой плоской кривой?
Для плоскости ответ оказывается очень простым. Именно, семейства прямых, проходящих через одну и ту же точку (на плоскости такое
семейство, собственно говоря, для каждой точки только одно), касательными также не являются, но зато все остальные — являются: для
всякого одномерного семейства прямых на плоскости, не проходящих
через одну и ту же точку, найдется кривая, которой все эти кривые
касаются. Если нарисовать прямые в семействе погуще, то существо


вание такой кривой («огибающей», или «двойственной») не покажется
чем-то удивительным (рис. ).

Рис. . Огибающая, она же двойственная кривая на плоскости

Двойственные кривые на плоскости, несмотря на интуитивную очевидность их существования, — предмет также интересный, но в этом
курсе мы его развивать не будем, а сосредоточимся на прямых в пространстве. Оказывается, что для этого случая свойство семейства прямых «быть касательным» — не правило, а исключение. В этой книжке
мы получим необходимое и достаточное условие того, что данное семейство прямых в пространстве является касательным. Как вы увидите, его не так сложно записать на языке формул, но гораздо интереснее
сформулировать геометрически. Мы приведем три такие формулировки, в совершенно разных терминах. Начнем же с того, что разовьем
язык, на котором удобно описывать семейства прямых.



§ . Проективные пространства

При работе с семействами прямых (а также во многих других случаях) бывает удобно дополнить обычное пространство 3 до проективного пространства. Цель данного параграфа — кому-то напомнить, а
кому-то вкратце рассказать про проективные пространства. Читателю,
с этой темой знакомому, можно перейти сразу к изучению следующего
параграфа, а к этому параграфу возвращаться только при необходимости.
Две «случайно взятые» прямые на плоскости (две прямые в общем
положении) пересекаются, но возможен и исключительный случай, когда прямые параллельны. В проективной геометрии таких исключительных случаев не бывает: две различные прямые всегда пересекаются в одной точке. Так получается, потому что к каждой прямой добавляют «бесконечно удаленную точку» (у всех параллельных друг дружке
прямых бесконечно удаленная точка одна и та же), и в результате всякие две параллельные прямые также пересекаются в одной точке —
бесконечно удаленной точке, соответствующей данному направлению.
Эти точки добавляют следующим образом.
Будем считать, что наша плоскость π вложена в трехмерное пространство с координатами (x, y, z) как плоскость с уравнением z = 1.
Если O — начало координат, то всякой точке P ∈ π соответствует прямая OP. При этом получается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости π и прямыми в пространстве, содержащими начало координат и не параллельными плоскости π.
Будем теперь называть проективной плоскостью множество всех
прямых, проходящих через начало координат. Если эта прямая ℓ не
параллельна π, то ей соответствует обычная точка плоскости (точка
пересечения ℓ и π), если же она параллельна π, то будем говорить, что
этой прямой соответствует бесконечно удаленная точка.
Далее, пусть l — прямая в плоскости π. Рассмотрим плоскость Ol,
проходящую через O и l; при этом получится взаимно однозначное соответствие между прямыми в плоскости π и плоскостями, проходящими через O, — за исключением единственной плоскости, проходящей через O и параллельной плоскости π. Будем говорить, что прямая в проективной плоскости — это произвольная плоскость в 3, проходящая
через O. Всем прямым в проективной плоскости, кроме одной, соответствует прямая на π; единственную прямую в проективной плоскости, которая никакой прямой на π не соответствует (т. е. плоскость,
проходящую через O и параллельную плоскости π), будем называть
бесконечно удаленной прямой.



Прямая l ⊂π содержит точку P ∈π тогда и только тогда, когда плоскость Ol содержит прямую OP. Поэтому и в общем случае будем говорить, что прямая из проективной плоскости содержит точку из проективной плоскости тогда и только тогда, когда плоскость в 3, соответствующая прямой, содержит прямую в 3, соответствующую точке.
Все это проиллюстрировано рисунком .

1

x

y

z

λ

ℓ1
ℓ2

P
Q
π

O

Рис. . Прямые ℓ1 и ℓ2 соответствуют точкам P и Q. Прямая λ соответствует
одной из бесконечно удаленных точек. Плоскость, проходящая через прямые
ℓ1 и ℓ2, соответствует прямой PQ.

З. Проверьте, что на всякой прямой в π лежит ровно одна бесконечно удаленная точка, что на всех параллельных прямых эта
бесконечно удаленная точка одна и та же, а на непараллельных прямых
бесконечно удаленные точки разные, что две параллельные прямые пересекаются в одной бесконечно удаленной точке и что все бесконечно
удаленные точки лежат на бесконечно удаленной прямой.
Проективную плоскость часто обозначают 2.
Как ввести в проективной плоскости координаты? Поскольку точки
проективной плоскости — это прямые в 3, проходящие через начало
координат, для задания точки p ∈ 2 достаточно указать координаты
любой точки на соответствующей прямой (кроме, разумеется, самого
начала координат). Эти координаты называются однородными координатами точки p. Если выбрать на прямой в 3, соответствующей точке
p ∈ 2, другую точку, то все однородные координаты умножатся на
одно и то же ненулевое число. В знак того, что однородные координаты определены неоднозначно (однозначно определены только их отношения), их записывают через двоеточие. Например, (2 : −1 : 7) — это
однородные координаты точки в 2, соответствующей прямой в 3,



проходящей через точку с координатами (2; −1; 7). Итак, координаты
точки на проективной плоскости — это не два, а три числа, но зато
эти числа определены не однозначно, а с точностью до пропорциональности.
Вернемся к рис. , на котором изображено вложение «обычной»
плоскости в проективную плоскость. По традиции при таком вложении
координаты точек в 3 принято записывать в нестандартном порядке:
сначала z-координата, затем x, затем y. Имея в виду это соглашение,
можно сказать, что точки «обычной» плоскости — это точки, имеющие
однородные координаты (x0 : x1 : x2), где x0 ̸= 0; поскольку однородные
координаты можно умножать и делить на ненулевые числа, можно
все координаты такой точки поделить на x0 — тогда получится, что
все «обычные» точки имеют однородные координаты вида (1 : x : y).
Прямоугольная проекция задает биекцию между плоскостью π и координатной плоскостью Oxy; ввиду этой биекции можно сказать, что
точке плоскости с евклидовыми координатами (x; y) соответствует
точка проективной плоскости с однородными координатами (1: x : y).
Заметим, что все точки проективной плоскости совершенно равноправны и бесконечно удаленные среди них ничем не выделяются —
постольку, поскольку равноправны все одномерные векторные подпространства в 3; различие между «обычными» и «бесконечно удаленными» точками возникает лишь тогда, когда мы дополняем бесконечно
удаленными точками евклидову плоскость. В примере выше можно было бы, например, считать, что «обычная» плоскость — множество точек
с однородными координатами вида (x :1: y).
Определим теперь проективные пространства произвольной размерности. Пусть V — векторное пространство размерности n + 1. Тогда n-мерным проективным пространством называется множество одномерных векторных подпространств в V. Обычное обозначение для
n-мерного проективного пространства — n; если в процессе рассуждения важно не забывать о (n+1)-мерном пространстве V, из которого
оно получилось, то пишут еще (V).
Итак, точки в n — это одномерные векторные подпространства
в V. Прямые в n — это двумерные векторные подпространства в V
(как и в случае 2); точка лежит на прямой, если соответствующие
одномерное и двумерное подпространства содержатся одно в другом.
Аналогично, k-мерные линейные подпространства в n = (V) — не
что иное, как (k +1)-мерные векторные подпространства в V.

Мы будем рассматривать только векторные пространства над вещественными числами, хотя все в этом параграфе имеет смысл и для пространств над любым полем.

