Собрание трудов. Т. 2

А. И. Ларкин

Собрание трудов
Том 2

МЦНМО

А. И. Ларкин

СОБРАНИЕ ТРУДОВ

II

Электронное издание

Москва • МЦНМО • 2014

УДК 53
ББК 22.3
Л 25

Ларкин А. И.
Собрание трудов. Т. 2
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
832 с.
ISBN 978-5-4439-2021-4

Настоящая книга представляет собой второй том полного собрания научных трудов академика Анатолия Ивановича Ларкина (1932–2005). Его труды относятся к
различным областям теоретической физики: теории плазмы, физики ядра, квантовой
теории поля, теории фазовых переходов, сверхпроводимости и другим разделам теории
конденсированного состояния.
Во втором томе собраны статьи, опубликованные с 1977 по 1992 гг. Первый том
был опубликован в 2009 г.
Книга предназначена научным работникам, аспирантам и студентам старших курсов, специализирующихся в области теоретической физики.

Подготовлено на основе книги: А. И. Ларкин. Собрание трудов. Т. 2. — М.:
МЦНМО, 2011.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2021-4
⃝c МЦНМО, 2014.

Cодержание

П. Б. Вигман, А. И. Ларкин (1977). Масса частиц в одномерной модели с четырехфермионным взаимодействием . . . . . . . . . . . . . . .
7
К. Б. Ефетов, А. И. Ларкин (1977). Волна зарядовой плотности в
случайном потенциале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников (1977). Нелинейные эффекты при
движении вихрей в сверхпроводниках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
A. I. Larkin, J. Sak (1977). Boundary conditions for renormalizationgroup equations in one-dimensional Fermi gas . . . . . . . . . . . . . . . .
44
А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников (1978). Пик-эффект в зависимости
критического тока сверхпроводника от магнитного поля . . . . . . .
49
A. I. Larkin, P. A. Lee (1978). Tunneling of solitons and charge-density
waves through impurities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
L. G. Aslamazov, A. I. Larkin (1978). The critical current of superconducting contacts in a microwave field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
А. И. Ларкин, В. И. Мельников (1978). Энергетическое распределение рентгеновских фотоэлектронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
A. I. Larkin, J. Sak (1978). Transition temperature for superconductivity
in quasi-one-dimensional metals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Л. Г. Асламазов, А. И. Ларкин (1978). Влияние СВЧ поля на критический ток сверхпроводящих контактов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
A. I. Larkin, Yu. N. Ovchinnikov (1979). Pinning in type II superconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
R. A. Klemm, A. I. Larkin (1979). 4kF response function in the Tomonaga
model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
B. L. Altshuler, D. E. Khmel’nitzkii, A. I. Larkin, P. A. Lee (1980).
Magnetoresistance and Hall effect in a disordered two-dimensional
electron gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
Л. П. Горьков, А. И. Ларкин, Д. Е. Хмельницкий (1979). Проводимость частицы в двумерном случайном потенциале . . . . . . . . . . .
137
S. Hikami, A. I. Larkin, Y. Nagaoka (1980). Spin-orbit interaction and
magnetoresistance in the two dimensional random system . . . . . . . .
142

Содержание

К. Б. Ефетов, А. И. Ларкин, Д. Е. Хмельницкий (1980). Взаимодействие диффузионных мод в теории локализации. . . . . . . . . . . . . .
147
А. И. Ларкин (1980). Магнетосопротивление двумерных систем . . . . .
162
А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников (1981). Вольт-амперная характеристика сверхпроводников с дефектами большого размера . . . . .
166
Б. Л. Альтшулер, А. Г. Аронов, А. И. Ларкин, Д. Е. Хмельницкий
(1981). Об аномальном магнитосопротивлении в полупроводниках 179
Л. Б. Иоффе, А. И. Ларкин (1981). Свойства сверхпроводников с
размытой температурой перехода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196
Л. Б. Иоффе, А. И. Ларкин (1981). Флуктуационные уровни и циклотронный резонанс в случайном потенциале . . . . . . . . . . . . . . . .
209
D. E. Khmel’nitskii, A. I. Larkin (1981). Mobility edge shift in external
magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
А. И. Ларкин, Д. Е. Хмельницкий (1982). Андерсоновская локализация и аномальное магнетосопротивление при низких температурах 223
А. И. Ларкин, Д. Е. Хмельницкий (1982). Активационная проводимость в неупорядоченных системах с большой длиной локализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников (1983). Квантовое туннелирование
с диссипацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
A. I. Larkin, Yu. N. Ovchinnikov (1983). Decay of the supercurrent in
tunnel junctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244
К. Б. Ефетов, А. И. Ларкин (1983). Кинетика квантовой частицы в
длинных металлических проволоках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников (1983). Затухание сверхпроводящего тока в туннельных контактах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270
А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников (1984). Квантовомеханическое туннелирование с диссипацией. Предэкспоненциальный множитель
282
А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников (1984). Неустойчивость в неравновесном сверхпроводящем контакте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292
A. I. Larkin, K. K. Likharev, Yu. N. Ovchinnikov (1984). Secondary
quantum macroscopic effects in weak superconductivity . . . . . . . . .
296
A. I. Larkin, Yu. N. Ovchinnikov (1984). Collective pinning . . . . . . . . . . .
314
А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников (1984). Затухание тока в сверхпроводящих контактах при неравновесной функции распределения
электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
320
A. I. Larkin, Yu. N. Ovchinnikov (1985). The crossover from classical to
quantum regime in the problem of the decay of the metastable state .
336
A. I. Larkin, Yu. N. Ovchinnikov (1986). Vortex motion in superconductors 351
A. I. Larkin, Yu. N. Ovchinnikov (1986). Resonance reduction of the lifetime of the metastable state of tunnel junctions . . . . . . . . . . . . . . . .
393

Содержание
5

В. Б. Гешкенбейн, А. И. Ларкин (1986). Эффект Джозефсона в сверхпроводниках с тяжелыми фермионами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
404
А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников (1986). Влияние квантования уровней на время жизни метастабильных состояний . . . . . . . . . . . . . .
409
А. И. Ларкин, Д. Е. Хмельницкий (1986). Мезоскопические флуктуации вольт-амперной характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
418
M. V. Feigel’man, L. B. Ioffe, A. I. Larkin, V. M. Vinokur (1987). Random Josephson networks and spin glasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
424
V. B. Geshkenbein, A. I. Larkin, A. Barone (1987). Vortices with half
magnetic flux quanta in «heavy-fermion»superconductors . . . . . . . .
434
В. М. Винокур, Л. Б. Иоффе, А. И. Ларкин, М. В. Фейгельман
(1987). Система джозефсоновских контактов как модель спинового стекла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
442
А. И. Ларкин, К. А. Матвеев (1987). Вольт-амперная характеристика мезоскопических полупроводниковых контактов . . . . . . . . . . .
469
L. B. Ioffe, A. I. Larkin (1988). Two-dimensional Hubbard model with
strong electron repulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
480
S. Hikami, A. I. Larkin (1988). Magnetoresistance of high temperature
superconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
493
L. B. Ioffe, A. I. Larkin (1988). Effective action of a two-dimensional
antiferromagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
499
A. I. Larkin, Yu. N. Ovchinnikov, A. Schmid (1988). Quantum creep of
vortices in granular superconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
513
A. G. Aronov, S. Hikami, A. I. Larkin (1989). Zeeman effect on magnetoresistance in high-temperature superconductors . . . . . . . . . . . . . .
527
A. I. Larkin (1989). Electromagnetic properties of high-Tc superconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
534
L. B. Ioffe, A. I. Larkin (1989). Gapless fermions and gauge fields in dielectrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
543
A. I. Larkin (1989). Effective action of two-dimensional dielectrics and
spinons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
565
В. Б. Гешкенбейн, А. И. Ларкин (1989). Временная зависимость магнитного момента высокотемпературных сверхпроводников . . . . .
568
L. B. Ioffe, A. I. Larkin (1989). Mott transition: low-energy excitations
and superconductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
575
M. V. Feigel’man, V. B. Geshkenbein, A. I. Larkin, V. M. Vinokur
(1989). Theory of collective flux creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
586
L. B. Ioffe, A. I. Larkin (1989). Superconductivity in the liquid-dimer
valence-bond state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
593
L. Ioffe, A. I. Larkin, Yu. N. Ovchinnikov, L. Yu (1989). Superconductivity in mixed Boson-Fermion systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
606

Содержание

V. B. Geshkenbein, A. I. Larkin, M. V. Feigel’man, V. M. Vinokur
(1989). Flux pinning and creep in high-Tc superconductors . . . . . . .
612
P. Coleman, P. Chandra, A. I. Larkin (1990). Ising transition in frustrated Heisenberg models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
616
M. V. Feigel’man, V. B. Geshkenbein, A. I. Larkin (1990). Pinning and
creep in layered superconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
624
V. M. Vinokur, M. V. Feigel’man, V. B. Geshkenbein, A. I. Larkin
(1990). Resistivity of high-Tc superconductors in a vortex-liquid
state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
640
A. Barone, A. I. Larkin, Yu. N. Ovchinnikov (1990). Vortices in layered
superconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
647
P. Chandra, P. Coleman, A. I. Larkin (1990). A quantum fluids approach
to frustrated Heisenberg models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
656
A. I. Larkin (1991). Fluctuations at low temperatures . . . . . . . . . . . . . . . .
696
A. I. Larkin, Yu. N. Ovchinnikov (1991). Dissipative quantum mechanics
of the Josephson junctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
701
S. Hikami, A. Fujita, A. I. Larkin (1991). Magnetic-flux-lattice melting
in a strong magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
704
В. М. Винокур, В. Б. Гешкенбейн, А. И. Ларкин, М. В. Фейгельман
(1991). Пиннинг вихревой жидкости в ВТСП . . . . . . . . . . . . . . . .
711
L. B. Ioffe, S. Kivelson, A. I. Larkin (1991). Spin correlations and NMR
relaxation rates in strongly correlated electron systems . . . . . . . . . .
728
V. M. Vinokur, G. Blatter, M. V. Feigel’man, V. B. Geshkenbein,
A. I. Larkin (1991). Flux dynamics in high-Tc superconductors . . .
741
A. Fujita, S. Hikami, A. I. Larkin (1991). Disorder effect on flux lattice
melting near Hc2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
749
G. Blatter, V. B. Geshkenbein, A. I. Larkin (1992). From isotropic to
anisotropic superconductors: a scaling approach . . . . . . . . . . . . . . .
755
A. I. Larkin, Yu. N. Ovchinnikov (1992). Dissipative quantum mechanics
of Josephson junctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
762
Y. Chen, D. F ¨orster, A. I. Larkin (1992). Electrons in the t-J model as
bound states of spinons and holons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
791
S. E. Korshunov, A. I. Larkin (1992).
Problem of Josephson-vortexlattice melting in layered superconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
805
K. A. Matveev, A. I. Larkin (1992). Interaction-induced threshold singularities in tunneling via localized levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
814

Масса частиц в одномерной модели
с четырехфермионным взаимодействием

П. Б. Вигман, А. И. Ларкин

Исследуется инфракрасная асимптотика одночастичной функции
Грина одномерной модели с 4-фермионным взаимодействием в приближении большого числа фермионных полей. Показано, что в результате взаимодействия фермионы становятся массивными. Функция
Грина имеет точку ветвления при p2 = m2. При этом не происходит
спонтанного нарушения симметрии и среднего поля не возникает.

Введение

Появление массы у фермионов в результате спонтанного нарушения γ5-инвариантности обычно связывают с возникновением бозе-конденсата пар фермионов
[1, 2]. Однако существование такого среднего поля приводит к неприятным космологическим следствиям [3].
Ниже рассматривается γ5-инвариантная модель, в которой конденсата не возникает, но тем не менее возникает масса у фермионов. Это одномерная (одна
пространственная координата) модель, в которой есть несколько ферми-полей.
Такая модель с двумя полями была предложена Ансельмом [4] как пример модели, имеющей асимптотическую свободу на малых расстояниях и не имеющей
нуль-заряда на больших расстояниях. В работе Вакса и одного из авторов [5]
эта модель использовалась как пример, в котором масса фермионов возникала в результате спонтанного нарушения γ5-инвариантности. Однако приведенное
в этой работе доказательство не являлось строгим. Дело в том, что при импульсах
порядка массы взаимодействие становится сильным, и не применимо паркетное
приближение, эквивалентное первому порядку в уравнениях ренормализационной
группы.
Гросс и Невью [6] рассмотрели аналогичную модель с большим числом полей
(N ≫ 1). В этом случае взаимодействие всегда остается слабым (порядка N−1)
и возможны количественные оценки. В главном по N−1 приближении возникает
бозе-конденсат (среднее поле) и, как следствие, — масса фермионов. В модели, где существует только дискретная группа симметрии (инвариантность относительно ψ → γ5ψ), следующие приближения по N−1 не меняют качественного

Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1977. — Т. 72, № 3. — С. 857–864.

П. Б. Вигман, А. И. Ларкин (1977)

результата. Однако в модели с непрерывной группой симметрии (инвариантность
относительно ψ → exp (iαγ5)ψ) учет следующего приближения по N−1 приводит
к исчезновению среднего поля [7].
В аналогичной нерелятивистской модели [8] были вычислены парные корреляционные функции, которые на больших расстояниях убывают по степенному
закону. Аналогичная ситуация известна в двумерном бозе-газе [9]. Это означает, что в системе нет дальнего порядка, но существуют безмассовые возбуждения (аналог голдстоуновских частиц). Эти возбуждения приводят к инфракрасным
особенностям и уничтожают дальний порядок.
Ниже показано, что масса фермионов, тем не менее, не исчезает. Инфракрасные особенности, как и в квантовой электродинамике, приводят к тому,
что одночастичная функция Грина вместо полюса при p2 = m2 имеет точку ветвления.

Четырехфермионное взаимодействие и нелинейная σ-модель

Рассматривается модель с плотностью лагранжиана

L = iψk ˆ∂ψk + 1

2 g2(ψkψk)2 − (ψkγ5ψk)2,
(1)

где ψk — фермионное поле, k = 1, . . . , N — изотопический индекс, а ˆ∂ = γµ∂µ.
Наш выбор γ-матриц следующий:

γ0 = σx,
γ1 = −iσy,
γ5 = γ0γ1 = σz.

Такой выбор γ5-инвариантного взаимодействия удобен для разложения по N−1

и допускает изотопическую SU (N)-симметрию. Константа взаимодействия g связана с константами изоскалярного и изовекторного SU(N)-взаимодействия

Lint = g1(ψkγµψk)2 + g2(ψkγµτ a
knψn)2

соотношением g2 = g2 = 2Ng1. При N = 2 связь с обозначениями работы Вакса
и Ларкина [5] следующая:

g2 = λ1 = λ2 = λ3 = −2λ4.

Лагранжиан (1) можно переписать, вводя промежуточные бозонные поля σ
и π, в виде

L = ψk
i ˆ∂ − g(σ + iπγ5)
ψk − 1

2
σ2 + π2(2)

или, обозначая σ + iπγ5 = ρ exp (iγ5θ), в форме, напоминающей нелинейную
σ-модель:

L = −1

2ρ2 +

N
k=1

ψk
i ˆ∂ − gρ exp (iγ5θ)
ψk = −1

2ρ2 +

N
k=1
Lk.
(3)

Масса частиц в одномерной модели с четырехфермионным взаимодействием
9

Так как в двумерной модели непрерывная SU(N)-симметрия не нарушается,
функция Грина имеет простую структуру:

Gik(x) = −i
ψi (x)ψk(0) exp
i
L d2x
l
Dψl Dψl Dσ Dπ
×

×
exp
i
L d2x
l
Dψl Dψl Dσ Dπ
−1
= G(x) δik.
(4)

В формуле (4), например, для G11 произведем усреднение по N−1-компоненте
мультиплета:

G(x) = −i
ψ1(x)ψ1(0)eiΓ Dψ1 Dψ1 Dσ Dπ
eiΓ Dψ1 Dψ1 Dσ Dπ
−1
.
(5)

Здесь

Γ =
L1 d2x −
V (σ, π) d2x

играет роль эффективного действия, а V (σ, π) — эффективный потенциал поля
ψ1, созданный N − 1-фермионными полями:

V (σ, π) d2x = i

ln

N−1
k=1

exp
i
Lk d2x
Dψk Dψk

− 1

2

ρ2 d2x

.
(6)

При больших N в формуле (5) функциональное интегрирование по π, σ можно произвести методом перевала. Для этого поле представим в виде ρ = ρ + ρ1,
где ρ — фурье-компонента ρ с нулевым импульсом, и разложим эффективный
потенциал до второго порядка по ρ1 и θ:

V = V (ρ) + N

2

d2k
Dρ(k)ρ2
1 + Dθ(k)θ2,

где при k2 ≪ (gρ)2 имеем

Dρ(k) ≈ g2

π
2gρ

(−k2)1/2 ln
1 + (−k2)1/2

2gρ

,

Dθ(k) ≈ − g2

π 2gρ (−k2)1/2 ln
1 + (−k2)1/2

2gρ

.
(7)

При интегрировании по ρ1 и θ существенны ρ1 ∼ (DρN)−1/2 и θ ∼ (DθN)−1/2. Поэтому ρ1 мал ´о по N−1 на любых k и им можно пренебречь. Поскольку Dθ ∼ k2

на малых k, то в инфракрасной области флуктуаций θ не малы и определяют
характер корреляций на больших расстояниях. Интегрирование по ρ методом перевала сводится к замене ρ на его значение в точке минимума V (ρ). Тогда для
эффективного действия имеем

Γ =
d2x
ψ
i ˆ∂ − gρ exp (iγ5θ)
ψ
+ N

2

Dθθ2 d2k.
(8)

П. Б. Вигман, А. И. Ларкин (1977)

Обозначив gρ = m и заменив θ на eθ при e = (π/g2N)1/2, приходим к нелинейной σ-модели [10]:

Lσ = ψ
i ˆ∂ − m exp (2ieγ5θ)
ψ + 1

2 (∂µθ)2.
(9)

В этой модели поле θ меняется в интервале (0, π/e), а γ5-симметрия соответствует преобразованиям

ψ → exp (iαγ5)ψ,
θ → θ − α

e

при α = const .
В инфракрасной области исходная модель с четырехфермионным взаимодействием эквивалентна σ-модели (9). В области k ≳ m эти модели различны. Однако
взаимодействие в этой области приводит лишь к перенормировке массы и функции Грина. Эти перенормировки малы по e2. Ниже мы рассматриваем нелинейную σ-модель во всей области импульсов, интересуясь поведением одночастичной
функции Грина (4) на больших расстояниях.
В нулевом порядке по e (сферическая модель) имеются свободные массивные
фермионы:

G0(p) =
ˆp + m

p2 − m2 .
(10)

В координатном представлении

G0(x) = −i m

2π

K0
m
−x21/2+ i
ˆx

(−x2)1/2 K1
m
−x21/2,
(11)

Kn — цилиндрические функции мнимого аргумента. В этом приближении нарушена непрерывная γ5-симметрия, что соответствует возникновению ненулевого
вакуумного среднего ⟨0|ψψ|0⟩, вычисленного Гроссом и Невью [6] в главном по
N−1 приближении. Следующие по e2 приближения существенно меняют вид функции Грина.

Первый порядок теории возмущения

Функция Грина σ-модели (9) связана с массовым оператором Σ уравнением
Дайсона
G−1(p) = ˆp − m − Σ(p).
(12)

В первом порядке по e2 массовый оператор имеет вид

Σ(1) = 4im2e2γ5

G0(p − k)γ5D0(k) d2k

(2π)2 + 2ime2
D0(k) d2k

(2π)2 ,
(13)

D0(k) = k−2.
(14)

Интегралы (14) расходятся как на больших, так и на малых импульсах. Вводя
ультрафиолетовое и инфракрасное обрезания Λ и λ, получаем

Σ(1) = e2

π

m2 ˆp
( ˆp − m)2

p2(p2 − m2) ln p2 − m2

m2
− ( ˆp − m)2

p2 − m2 m ln m

λ − m ln Λ

m

.
(15)

Масса частиц в одномерной модели с четырехфермионным взаимодействием
11

Последнее слагаемое в этом выражении не зависит от импульса и означает перенормировку массы. В дальнейшем под буквой m будем понимать перенормированную массу. В первом порядке по e2 для функции Грина имеем, таким образом,

G(1) (p) =
ˆp

p2 − m2

1 − e2

π ln
m2

m2 − p2

+

+
m

p2 − m2

1 − e2

π ln m

λ

+ e2

π
ˆp

p2 ln
m2

m2 − p2 .
(16)

Поправка к диагональному элементу функции Грина логарифмически расходится при λ → 0. Поэтому необходимо суммировать весь ряд теории возмущений по e2. Как будет видно ниже, суммирование приведет к обращению в нуль
диагонального элемента функции Грина при λ → 0. При p2 = 0 функция Грина (16) не имеет особенностей. Это означает отсутствие в рассматриваемой модели безмассовых фермионов. Поправки к функции Грина велики лишь в области
|p2 − m2| ≪ m2. Как и в квантовой электродинамике, суммирование ряда главных
логарифмов приводит к тому, что в формуле (10) для функции Грина полюс при
p2 = m2 заменится ветвлением

G(p) = Z
ˆp

p2 − m2

p2 − m2

m2

e2/π
.
(17)

Функция Грина в инфракрасной области

Вывод формулы (17) удобно произвести в координатном представлении. Для
этого преобразуем фермионные операторы:

ψ(x) → exp (ieγ5θ(x))ψ(x),

ψ(x) → ψ(x) exp (ieγ5θ(x)).
(18)

В новых переменных

G(x − x′) = −i
exp (ieγ5θ(x))ψ(x)ψ(x′) exp (ieγ5θ(x′))
,
(19)

где ⟨. . .⟩ обозначают усреднение с лагранжианом

L = ψ(x)
i ˆ∂ − m − eγ5 ˆ∂θ(x)
ψ(x) + 1

2 (∂µθ)2,
(20)

⟨A⟩ =
A exp
i
L d2x
Dψ Dψ Dθ
·
exp
i
L d2x
Dψ Dψ Dθ
−1
. (21)

Формулу (19) удобно переписать в виде

G = G1 + G2,

G1(x − x′) = −i
exp (ieγ5θ(x)) · ⟨ψ(x)ψ(x′)⟩ · exp (ieγ5θ(x′))
.
(22)

Первое слагаемое есть произведение средних. Примеры входящих в него диаграмм
приведены на рис. 1. Второе слагаемое представляет совокупность диаграмм, в которых хотя бы одна бозонная линия соединяет конец фермионной линии с ее
средней точкой (рис. 2).

П. Б. Вигман, А. И. Ларкин (1977)

Рис. 1.

+
а
б

в
г

Рис. 2.

В первом слагаемом среднее g(x − x′) = −i⟨ψ(x)ψ(x′)⟩ можно выразить через
функцию Грина массивной модели Тирринга:

LМТ = ψ(i ˆ∂ − m)ψ + 1

2 e2(ψγµψ)2.
(23)

Для этого заменим четырехфермионное взаимодействие модели Тирринга на взаимодействие фермионов с промежуточными бозонными полями ϕ и θ:

LМТ → ψ(i ˆ∂ − m)ψ − ejµ∂µϕ + ej5
µ∂µθ − 1

2 (∂µϕ)2 + 1

2 (∂µθ)2,

jµ = ψγµψ,
j5
µ = ψγµγ5ψ.
(24)

В справедливости такой замены легко убедиться: усреднение в формуле (23) по
ϕ и θ приводит нас к четырехфермионному взаимодействию, так как в двумерном
пространстве
(j5
µ j5
ν − jµ jν)kµkν/k2 = jα jα.

Усреднение по ϕ можно выполнить, делая калибровочное преобразование ψ →
→ ψe−ieϕ. В результате получаем

GМТ = g(x)
exp
−ie[ϕ(x) − ϕ(0)]
= g(x)(−x2)e2/4π.
(25)

Теория возмущений для функции Грина массивной модели Тирринга не имеет
инфракрасных особенностей, и малое взаимодействие приводит лишь к перенормировке массы, равной последнему слагаемому в формуле (15). Поэтому

g(x) = − i

2πm(−x2Λ2)−e2/4πK0
m(−x2)1/2+ i
ˆx

(−x2)1/2 K1
m(−x2)1/2.
(26)

Масса частиц в одномерной модели с четырехфермионным взаимодействием
13

Теперь можно вычислить

G1 = −im

2π (−x2Λ2)−e2/4πK0
m(−x2)1/2exp [ieγ5(θ(x) + θ(0))]
+

+ i
ˆx

(−x2)1/2 K1
m(−x2)1/2exp [ieγ5(θ(x) − θ(0))]
.
(27)

Последнее усреднение проводится с лагранжианом (20). Взаимодействие
θ-бозонов через виртуальные фермионы мало на малых импульсах. Оно пропорционально импульсам участвующих во взаимодействии бозонов. Поэтому
в формуле (27) усреднение можно проводить по свободному θ-полю с функцией
Грина
D−1(k) = k2 − e2Π(k),
(28)

где Π(k) — поляризационный оператор, который пропорционален k2.
Перенормировка функции Грина сводится к перенормировке заряда в σ-модели. В исходной модели с четырехфермионным взаимодействием учет поляризации
вакуума в формуле (28) означал бы превышение точности по N−1. Таким образом,
в выражении (27) усреднение можно проводить по свободным полям:
exp {ieγ5[θ(x) − θ(0)]}
= exp
ie2 [D(0) − D(x)]
=
−x2Λ2−e2/4π,
(29)
exp {ieγ5[θ(x) + θ(0)]}
= exp
ie2 [D(0) + D(x)]
=
−x2Λ−2λ4e2/4π.
(30)

Диагональная часть G1 степенн ´ым образом стремится к нулю при λ → 0. Обращение в нуль диагональных элементов произошло в соответствии с общей теоремой о невозможности спонтанного нарушения непрерывной симметрии в двумерной теории. Итак,

G1 = m

2π
ˆx

(−x2)1/2
−x2Λ2−e2/2πK1
m(−x2)1/2.
(31)

Фурье-образ G1(x) имеет вид

G1(p) ∼ ˆp F
2 − e2

2π ; 1 − e2

2π; 2; − p2

m2

,
(32)

где F — гипергеометрическая функция. В области |p2 − m2| ≪ m2 это выражение
переходит в формулу (17).
Теперь оценим G2. В первом порядке теории возмущения по e2 (рис. 2, а)

G(1)
2
= e2

π

ˆp

2p2 ln
m2

m2 − p2 −
1

ˆp − m ln m

Λ

.
(33)

Второе слагаемое в последнем выражении приводит к перенормировке функции
Грина, так что в формуле (31) Λ заменяется на m. Что касается первого слагаемого, то оно при p2 = m2 имеет лишь логарифмическую особенность и на
больших расстояниях убывает быстрее, чем G1(x). Диаграммы более высокого
порядка, например б и в на рис. 2, приводят либо к перенормировке функции Грина, либо к членам, имеющим более слабую по сравнению с G1 особенность при
p2 = m2. На рис. 2, г изображена диаграмма a, одетая бозонными линиями, представленными на рис. 1. В результате такого одевания, как и при вычислении G1,