Математика и информатика

Москва
Издательскоторговая корпорация «Дашков и К°»
2018

¬. ¡. ”ÚÍËÌ,  . ¬. ¡‡Î‰ËÌ, ¿. ¬. –ÛÍÓÒÛ‚

ÿ“≈ÿ“» ¿
» »Õ‘Œ–ÿ“» ¿

Учебное пособие

4е издание

Под общей редакцией
профессора В. Б. Уткина

Рекомендовано уполномоченным учреждением
Министерства образования и науки РФ —
Государственным университетом управления
в качестве учебного пособия для студентов
экономических вузов, обучающихся
по направлению подготовки «Экономика»

Регистрационный номер рецензии 540 от 29.12.2008 г.
(Федеральный институт развития образования)

УДК 517; 681
ББК 22.16; 32.96
         У84

ISBN 9785394019258
©  Колл. авторов, 2006

Рецензенты:
Кафедра “Проектирование вычислительных комплексов”
“МАТИ” — РГТУ им. К. Э. Циолковского (заведующий кафедрой доктор физикоматематических наук, профессор В. А. Зотов);
В. И. Бусов — доктор экономических наук, профессор.

Уткин В. Б.
Математика и информатика: Учебное пособие /
В. Б. Уткин, К. В. Балдин, А. В. Рукосуев. —  4е изд. — М.:
Издательскоторговая корпорация «Дашков и К°», 2018. —
468 с.

ISBN 9785394019258

Учебное пособие содержит основы высшей математики и информатики. В него включены прикладные наработки авторов, примеры использования классических методов и заданий для самостоятельной
работы обучаемых, вопросы для самопроверки. Материал учебника
может послужить базой применения формальных методов для решения практических задач.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Экономика» и «Менеджмент».

У84

Подписано в печать  10.09.2017. Формат 60×84 1/16.
Печать офсетная. Бумага газетная.
Печ. л. 29,25. Тираж 100 экз.

Издательскоторговая корпорация «Дашков и К°»
129347, Москва, Ярославское шоссе, д. 142, к. 732.
Email: sales@dashkov.ru — отдел продаж;
office@dashkov.ru — офис;
http://www.dashkov.ru

Ñîäåðæàíèå

Ââåäåíèå .................................................................................................... 7

Ðàçäåë I. ÎÑÍÎÂÛ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ
È ÂÛÑØÅÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ

1. Îñíîâû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè.................................................... 14
1.1. Îñíîâû òåîðèè ìíîæåñòâ.................................................................. 14
1.2. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè ................................................................ 26
1.3. Îñíîâû òåîðèè ãðàôîâ ..................................................................... 29
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè .................................................................. 48

2. Ýëåìåíòû ëèíåéíîé è âåêòîðíîé àëãåáðû .................................. 49
2.1. Ìàòðèöû, îïðåäåëèòåëè è èõ ñâîéñòâà ............................................ 49
2.2. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé .............................. 66
2.3. Ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèö ...................... 73
2.4. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î âåêòîðàõ ..................................................... 79
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè .................................................................. 85

3. Ôóíêöèè è ïðåäåëû ......................................................................... 87
3.1. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î ôóíêöèÿõ .................................................... 87
3.2. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïðåäåë ôóíêöèè. Âû÷èñëåíèå
ïðåäåëîâ ............................................................................................. 90
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè .................................................................105

4. Îñíîâû äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ..................................106
4.1. Ïðîèçâîäíàÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Äèôôåðåíöèàë. Ïðîèçâîäíàÿ
âòîðîãî ïîðÿäêà ................................................................................106
4.2. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î ôóíêöèÿõ ìíîãèõ ïåðåìåííûõ.
Ïîíÿòèå î ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ...................................................... 114
4.3. Íåêîòîðûå ïðèëîæåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ...........120
4.3.1. Ôîðìóëà Òåéëîðà .........................................................................120
4.3.2. Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ ........................................................................122
4.3.3. Àñèìïòîòû ....................................................................................126
4.3.4. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî
è âòîðîãî ïîðÿäêîâ è ïîñòðîåíèå èõ ãðàôèêîâ .............................. 131
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè .................................................................143

5. Îñíîâû èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ .............................................144
5.1. Ïåðâîîáðàçíàÿ è íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë .................................144
5.2. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë .................................................................159
5.3. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëàõ .......................168
5.4. Íåêîòîðûå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ....................... 174
5.4.1. Âû÷èñëåíèå ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð ........................................ 174
5.4.2. Âû÷èñëåíèå äëèíû äóãè ............................................................... 178
5.5. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ ................182
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................. 191

6. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ....................................................192
6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ ..................................................192
6.2. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà .........................193
6.2.1. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ
ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè .......................................................194
6.2.2. Îäíîðîäíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ .............................198
6.2.3. Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà .... 202
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................ 207

7. Ðÿäû .................................................................................................. 208
7.1. ×èñëîâûå ðÿäû ................................................................................ 208
7.2. Ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû ....................................................................213
7.3. Ñòåïåííûå ðÿäû ..............................................................................215
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................ 220

Ðàçäåë II. ÎÑÍÎÂÛ ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÈ
8. Ìåòîäîëîãè÷åñêèå îñíîâû èíôîðìàòèêè ...................................221
8.1. Îáúåêò è ïðåäìåò èíôîðìàòèêè .....................................................221
8.1.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ ................................................221
8.1.2. Êëàññèôèêàöèÿ àâòîìàòèçèðîâàííûõ èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì ... 224
8.1.3. Ìåñòî èíôîðìàöèîííûõ è ðàñ÷åòíûõ çàäà÷ â ñîñòàâå
ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ ÝÂÌ..................................................... 234
8.1.4. Êëàññèôèêàöèÿ èíôîðìàöèîííûõ è ðàñ÷åòíûõ çàäà÷................241
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................ 244
8.2. Îðãàíèçàöèîííûå îñíîâû ïðîåêòèðîâàíèÿ ýëåìåíòîâ
ñïåöèàëüíîãî ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ ...................................... 245
8.2.1. Îñíîâíûå òðåáîâàíèÿ ê èíôîðìàöèîííûì, ðàñ÷åòíûì
çàäà÷àì è èõ êîìïëåêñàì ................................................................ 245
8.2.2. Ïðèíöèïû ðàçðàáîòêè ñïåöèàëüíîãî ïðîãðàììíîãî
îáåñïå÷åíèÿ...................................................................................... 250

8.2.3. Îñíîâû àëãîðèòìèçàöèè çàäà÷ ................................................... 255
8.2.4. Ñîäåðæàíèå ðàáîò íà ýòàïàõ ñîçäàíèÿ èíôîðìàöèîííûõ,
ðàñ÷åòíûõ çàäà÷ è èõ êîìïëåêñîâ .................................................. 266
8.2.5. Ïîðÿäîê âíåäðåíèÿ èíôîðìàöèîííûõ, ðàñ÷åòíûõ çàäà÷
è èõ êîìïëåêñîâ ................................................................................ 271
8.2.6. Ïîðÿäîê èñïîëüçîâàíèÿ èíôîðìàöèîííûõ, ðàñ÷åòíûõ çàäà÷
è èõ êîìïëåêñîâ â ïðàêòèêå ðàáîòû àïïàðàòà óïðàâëåíèÿ ........... 274
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................ 276
8.3. Ïîíÿòèå î CASE-òåõíîëîãèÿõ ....................................................... 276
8.3.1. Æèçíåííûé öèêë ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ
èíôîðìàöèîííîé ñèñòåìû ............................................................... 280
8.3.2. RAD-òåõíîëîãèè ñîçäàíèÿ ïðèëîæåíèé ..................................... 283
8.3.3. Ñòðóêòóðíûé ìåòîä ðàçðàáîòêè ïðîãðàììíîãî
îáåñïå÷åíèÿ...................................................................................... 287
8.3.4. Ìåòîäîëîãèè ïðîåêòèðîâàíèÿ ïðîãðàììíîãî
îáåñïå÷åíèÿ...................................................................................... 303
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................ 322

9. Öåíòðàëèçîâàííàÿ è ðàñïðåäåëåííàÿ îáðàáîòêà äàííûõ ...... 323
9.1. Ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ è ýòàïû ïðîåêòèðîâàíèÿ áàçû äàííûõ ..... 323
9.1.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ............................................... 323
9.1.2. Îïèñàòåëüíàÿ ìîäåëü ïðåäìåòíîé îáëàñòè ................................331
9.1.3. Êîíöåïòóàëüíûå ìîäåëè äàííûõ................................................. 340
9.1.4. Ðåëÿöèîííàÿ ìîäåëü äàííûõ ...................................................... 350
9.1.5. Îïåðàöèè ðåëÿöèîííîé àëãåáðû................................................. 355
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................ 363
9.2. Íîðìàëèçàöèÿ ôàéëîâ áàçû äàííûõ ............................................ 363
9.2.1. Ïîëíàÿ äåêîìïîçèöèÿ ôàéëà ...................................................... 364
9.2.2. Ïðîáëåìà äóáëèðîâàíèÿ èíôîðìàöèè ....................................... 366
9.2.3. Ïðîáëåìà ïðèñîåäèíåííûõ çàïèñåé .......................................... 368
9.2.4. Ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü ïîëåé ôàéëà ............................... 371
9.2.5. Íîðìàëüíûå ôîðìû ôàéëà ........................................................ 374
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................ 376
9.3. Ñîâðåìåííûå èíôîðìàöèîííûå ñåòè............................................ 377
9.3.1. Ëîêàëüíûå âû÷èñëèòåëüíûå ñåòè ................................................ 380
9.3.2. Âñåìèðíàÿ èíôîðìàöèîííàÿ ñåòü Èíòåðíåò.............................. 383
9.3.3. Êîðïîðàòèâíàÿ ñåòü ÈÍÒÐÀÍÅÒ ................................................. 394
9.3.4. Ñåòè ýëåêòðîííûõ äîñîê îáúÿâëåíèé ........................................ 397
9.3.5. Êîìïüþòåðíûå ñåòè íà îñíîâå FTN-òåõíîëîãèé ........................ 399
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................ 404

10. Îñíîâû ïîñòðîåíèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ èíòåëëåêòóàëüíûõ
èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì ............................................................. 406
10.1. Ìåòîäîëîãè÷åñêèå îñíîâû òåîðèè èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà .. 406
10.1.1. Êðàòêàÿ èñòîðè÷åñêàÿ ñïðàâêà ................................................... 406
10.1.2. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ òåîðèè èíòåëëåêòóàëüíûõ
èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì ................................................................. 409
10.1.3. Êëàññèôèêàöèÿ èíòåëëåêòóàëüíûõ èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì .....414
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................ 420
10.2. Ìåòîäû ìîäåëèðîâàíèÿ çíàíèé ................................................... 420
10.2.1. Çíàíèÿ è èõ ñâîéñòâà ..................................................................421
10.2.2. Êëàññèôèêàöèÿ ìåòîäîâ ìîäåëèðîâàíèÿ çíàíèé..................... 425
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................ 436
10.3. Ýòàïû ïðîåêòèðîâàíèÿ ýêñïåðòíûõ ñèñòåì ................................. 436
10.3.1. Ñòðóêòóðà è íàçíà÷åíèå ýêñïåðòíûõ ñèñòåì ............................. 436
10.3.2. Êëàññèôèêàöèÿ, ýòàïû è ñðåäñòâà ðàçðàáîòêè ýêñïåðòíûõ
ñèñòåì ............................................................................................... 442
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................ 448
10.4. Îñíîâû ïîñòðîåíèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ ìåõàíèçìîâ
ëîãè÷åñêîãî âûâîäà ......................................................................... 449
10.4.1. Ìåõàíèçì ëîãè÷åñêîãî âûâîäà â ïðîäóêöèîííûõ ñèñòåìàõ ..... 449
10.4.2. Ïîíÿòèå î ìåõàíèçìå ëîãè÷åñêîãî âûâîäà â ñåòåâûõ
ñèñòåìàõ ........................................................................................... 452
10.4.3. Ïîíÿòèå î ìåõàíèçìå ëîãè÷åñêîãî âûâîäà âî ôðåéìîâûõ
ñèñòåìàõ ........................................................................................... 454
10.4.4. Ìåõàíèçì ëîãè÷åñêîãî âûâîäà â äèàãíîñòè÷åñêèõ
ñèñòåìàõ áàéåñîâñêîãî òèïà............................................................ 458
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................ 463

Ëèòåðàòóðà............................................................................................. 464

Ââåäåíèå

Настоящее учебное пособие содержит материал по двум
различным, хотя и тесно связанным научным дисциплинам — математике и информатике. Математика — одна из древнейших
наук — имеет широчайшее применение во всех сферах деятельности людей. Можно сказать, что без достижений математики не
было бы современной цивилизации. В свою очередь, информатика сегодня — едва ли не самая развивающаяся наука, находящаяся на передовых рубежах общественного прогресса.
Название “математика” происходит от греческого слова “матема” (µα θη µα) — знание, наука. Математика относится к числу
наиболее старых наук. В Вавилоне и Египте во втором тысячелетии до н. э. были известны многие сведения из арифметики и геометрии.
Академик А. Н. Колмогоров выделил четыре основных периода развития математики:
1. Период зарождения математики, который продолжался до
VI–V вв. до н. э. Были известны разрозненные факты и формулы,
которые использовались для решения сугубо практических задач:
составление календарей, обмер земельных участков и т. д.
2. Период элементарной математики с VI–V вв. до н. э. до XVI в.
н. э. Были заложены начала дедуктивного, аксиоматического методов. Развитие дедуктивной теории связано с именем Аристотеля, а первое систематизированное изложение геометрии было сделано Евклидом. Начало современной алгебры было положено в
трудах итальянского ученого эпохи Возрождения Леонардо Пизанского (Фибоначчи).
3. Период создания математики переменных величин включает период с XVII в. по середину XIX в., который характеризуется созданием аналитической геометрии Р. Декартом, дифференциального и интегрального исчислений в работах И. Ньютона

и Г. Лейбница, а также современной алгебраической символики
француза Вьета.
4. Современный период развития математики с середины XIX в.
по наше время. Была создана теория действительных чисел, которая позволила строго выстроить математический анализ. В конце
XIX вв. в работах Г. Кантора появилась теория множеств. В XIX
и XX в. были заложены основы математической логики. В XX в.
под влиянием успехов абстрактной алгебры появилось понимание математической структуры. Построению и исследованию математических структур были посвящены работы группы французских математиков, которые писали под псевдонимом Н. Бурбаки.
Бурно развивались в XX в. теория вероятностей, математическая
статистика, теория случайных функций. Здесь велик вклад российских и советских математиков П. Л. Чебышева, А. А. Маркова,
А. Н. Колмогорова, Е. С. Вентцель.
В середине XIX в. Ф. Энгельс в своей работе “Анти-Дюринг”
дал определение предмета математики: “Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные
отношения действительного мира” [30]. Это определение отражает развитие математики от ее рождения до середины XIX в.
Второе определение предмета математики было дано Н. Бурбаки в первой половине XX в. Оно было обусловлено современным периодом развития математики и новым подходом к аксиоматическому методу. По Н. Бурбаки, математика “скопление математических структур, не имеющих к действительности никакого отношения” [8].
Н. Бурбаки выделяет три основных типа структур: алгебраические, порядка, топологические. Многие ученые считали, что
определение Ф. Энгельса устарело, но подход Н. Бурбаки встретил и негативное отношение, так как они не выяснили отношения
рассматриваемых ими структур к действительному миру. Определение Ф. Энгельса не надо отбрасывать, его необходимо дополнить. Современное определение можно сформулировать, например, так [18]: математика — наука, которая исследует пространственные формы, количественные отношения, аксиоматические

структуры и вопросы доказательства путем построения абстрактных моделей действительного мира.
Математика проникла практически во все области общественной деятельности. Это объясняется, во-первых, тем, что она способна создавать модели изучаемых явлений, а во-вторых, тем, что
математика используется для обработки числовых данных (как
средство расчета).
В настоящее время различные численные и аналитические
методы используются не только в естественных, но и в гуманитарных науках, например, в социологии, лингвистике, юриспруденции, экономике.
С помощью математических методов можно более глубоко
анализировать сложные экономические явления и процессы, а с
другой стороны, проблемы экономики стимулируют разработку
новых математических теорий. Например, необходимость решения задач экономического планирования привела к разработке
теории линейного программирования в 30-х годах XX в. [19]. Можно сделать вывод о том, что глубокое понимание экономических
процессов и управление этими процессами невозможны без знания современного математического аппарата. Математическая
подготовка современного специалиста в области экономики имеет свои специфические особенности, связанные со сложностью
проведения финансово-экономических операций и принятия рациональных управленческих решений по ним.
Как наука математика имеет определенное математическое
мировоззрение, однако для специалистов в области экономики,
менеджмента, психологии и юриспруденции математика является
прежде всего мощным инструментарием при проведении необходимых расчетов и исследований, а также фундаментом, на котором строится современное здание высшего профессионального
образования.
Современный этап развития человеческой цивилизации характеризуется переходом к так называемому информационному обществу, в котором в результате процессов информатизации и компьютеризации информационные технологии во всех сферах деятельности играют более важную роль, нежели индустриальные,

аграрные и др. Как отмечал академик А. П. Ершов, информатизация — всеобщий неизбежный период развития цивилизации, период освоения информационной картины мира, осознания единства законов функционирования информации в природе и обществе, практического их применения, создания индустрии производства и обработки информации.
В связи с этим решение проблем рационального использования современных и перспективных методов и средств обработки
информации в практической (профессиональной) деятельности
людей приобретают первостепенное значение. Это обусловлено
рядом причин. Во-первых, таковы актуальные потребности общества, связанные с необходимостью решения все более усложняющихся политических, экономических, военных и других проблем
различного масштаба (глобальных, региональных, государственных, национальных и т. п.). Во-вторых, это — единственный путь
значительного (а в ряде случаев — кардинального) повышения
эффективности профессиональной деятельности человека. В-третьих, широкое распространение получили технические и программные средства, позволяющие реализовать новые технологии
при приемлемом расходовании ресурсов. Наконец, пользователями этих технологий становится все большее число людей (по
некоторым оценкам, к пользователям компьютерных технологий
во многих странах может быть отнесено все трудоспособное население).
Естественно, что такой сложный и многообразный процесс,
как информатизация, нуждается в методологическом обосновании,
являющемся результатом исследований в рамках научно-технического направления и науки, получивших название “информатика”.
В широком смысле под информатикой понимается научнотехническое направление, охватывающее все аспекты разработки,
проектирования, создания и функционирования систем обработки информации на базе ЭВМ, их применения и воздействия на
различные области социальной практики.
Под информатикой в узком смысле понимается научная дисциплина, изучающая цели, способы и средства автоматизации человеческой деятельности на базе современных средств ЭВТ и свя

зи при решении практических задач, связанных с накоплением,
передачей, обработкой и представлением информации.
Предметом изучения информатики являются информационные технологии, которые реализуются на практике в автоматизированных информационных системах (АИС) различного назначения, выступающих в качестве объекта информатики. Таким образом, АИС позволяют автоматизировать ту или иную сферу профессиональной деятельности людей за счет использования компьютерных средств и технологий. Иными словами, в качестве основных средств (инструментария) автоматизации профессиональной деятельности людей сегодня выступают средства ЭВТ и связи.
В учебном пособии рассматриваются вопросы автоматизации
таких важных видов профессиональной деятельности экономиста, как управленческая и научно-исследовательская. Возможность
и необходимость применения именно в этих областях совершенных технических и программных средств, реализующих современные и перспективные математические методы, в том числе с
использованием достижений теории искусственного интеллекта,
позволяет в ряде случаев говорить об интеллектуализации профессиональной деятельности как важнейшем этапе ее автоматизации.
Содержание учебного пособия составляют два раздела — “Основы дискретной и высшей математики” и “Основы информатики”.
Первый раздел состоит из семи глав. В первой главе “Основы
дискретной математики” представлены основы теории множеств,
введены элементы комбинаторики и основы теории графов. Вторая глава “Элементы линейной и векторной алгебры” посвящена
матрицам, векторам, определителям и их свойствам, а также действиям над ними. Приведены методы решения систем линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ). В третьей главе “Функции и
пределы” дано определение функции, способы ее задания и основные свойства, а также числовой последовательности и предела.
Рассмотрены признаки существования предела, первый и второй
замечательные пределы. Четвертая глава “Основы дифференциального исчисления” содержит сведения о производных, приложениях дифференциального исчисления и методике исследования

функций с помощью производных первого и второго порядков. В
пятой главе “Основы интегрального исчисления” раскрыто содержание интегрального исчисления, приведены определения и свойства неопределенного, определенного и несобственного интегралов, а также способы их вычисления. Рассматриваются приложения интегрального исчисления. Шестая глава “Дифференциальные уравнения” написана на основе знаний, изложенных в предыдущих главах. В ней представлены обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка основных типов, а также методы
их решения. Седьмая глава “Ряды” посвящена исследованию числовых, функциональных и степенных рядов.
Второй раздел “Основы информатики” содержит три главы.
В восьмой главе “Методологические основы информатики” изложены основы создания и применения современных компьютерных
систем и технологий в экономической практике: основные определения, классификация АИС, требования к специальному программному обеспечению и принципы его разработки, методика
проведения информационного обследования объекта автоматизации, основы информационной безопасности экономических систем, современные технологии разработки АИС (в частности,
CASE-технологии).
Девятая глава “Централизованная и распределенная обработка данных” посвящена вопросам автоматизации информационного
обеспечения деятельности должностных лиц и содержит методические основы проектирования и использования баз (банков) данных и современных компьютерных сетей, а также организации
процессов обработки информации в базе данных.
Десятая глава “Основы построения и использования систем
искусственного интеллекта” содержит методические основы применения в деятельности специалистов систем искусственного интеллекта, прежде всего — экспертных систем с различными методами представления знаний. Подробно рассмотрены механизмы
логического вывода в продукционных экспертных системах и диагностических экспертных системах байесовского типа.
Представленный в пособии материал по математике и информатике охватывает большинство разделов (не включены материалы

по теории вероятностей и математической статистике), изучаемых
студентами гуманитарных вузов. При написании книги авторы
придерживались современных точек зрения на понятия, о которых идет речь, и не отступали от общепринятых взглядов, стремились изложить материал в доступной для студентов форме. После
каждого пункта помещены вопросы для самопроверки уровня усвоения читателем соответствующих знаний. Авторы надеются, что
учебное пособие будет полезно студентам, изучающим психологию, менеджмент и юриспруденцию. Однако авторы издания не
претендуют на исчерпывающую полноту и глубину охвата учебного материала из-за ограничений на объем книги.
Вклад авторов в данное издание распределился следующим образом: В. Б. Уткин — Введение, раздел II; К. В. Балдин — главы 4–6,
подп. 8.1, 8.2, 9.1, 9.3, 10.1; А. В. Рукосуев — главы 1–3, 7.

Ð à ç ä å ë  I
ÎÑÍÎÂÛ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ

È ÂÛÑØÅÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ

1. Îñíîâû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè

1.1. Îñíîâû òåîðèè ìíîæåñòâ

Понятие множества не определяется через другие понятия
математики, т. е. оно является первичным. Появилось оно в конце
XIX века в работах Г. Кантора (о сравнении мощностей множеств),
который определил множество как “объединение в одно целое
объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью” [5, 8]. Разумеется, это определение не может рассматриваться как строго математическое, которого, впрочем, не существует,
так как понятие множества является исходным, на его основе строятся остальные понятия математики.
Множество состоит из каких-то объектов. Например, существует множество натуральных чисел (N), множество всех звезд
нашей Галактики, множество всех жителей РФ и т. д. Объекты,
входящие в данное конкретное множество, являются его элементами. Различают конечные (состоящие из конечного числа элементов) и бесконечные множества.
Множества будем обозначать заглавными буквами А, В, С, ...,
Х, Y, Z, а их элементы — малыми буквами а, b, с, ..., x, y, z. Тот
факт, что элемент х принадлежит множеству Х, обозначают так:
х ∈ Х, а не принадлежит — х ∉ Х.
Если все элементы множества Х являются также элементами
множества Y, то множество Х есть подмножество множества Y.
Это записывается следующим образом: Х ⊂ Y или Y ⊃ Х.