Простейшие задачи вариационного исчисления
Покупка
Тематика:
Основы высшей математики
Издательство:
ФЛИНТА
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 41
Дополнительно
Вид издания:
Учебно-методическая литература
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-9765-3510-7
Артикул: 683795.01.99
Доступ онлайн
В корзину
В издании введено понятие простейшей задачи вариационного исчисления. Рассмотрен случай закрепленных концов и случай свободного правого конца. Для обеих задач приведено необходимое условие
первого порядка. Для простейшей задачи вариационного исчисления в
скалярном случае указано необходимое условие второго порядка. Также для этой же задачи в общем случае приведены достаточные условия.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- 01.00.00: МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.04: Прикладная математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина Ю. В. Авербух, Т. И. Сережникова ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебно-методического пособия для студентов, обучающихся по направлениям подготовки: 230401 — Прикладная математика (специалитет), 220300 — Автоматизированные технологии и производства (специалитет), 231300 — Прикладная математика (бакалавриат) Москва Издательство «ФЛИНТА» Издательство Уральского университета 2018 2-е издание, стереотипное
УДК 517.972(075.8) ББК 22.161.8я73 A19 Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. Г. А. Тимофеева, зав. кафедрой «Высшая и прикладная математика» УрГУПС; канд. физ.-мат. наук А. А. Усова, науч. сотр. отдела динамических систем ИММ УрО РАН Научный редактор — д-р физ.-мат. наук, проф. А. Н. Сесекин Авербух, Ю. В. Простейшие задачи вариационного исчисления [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пособие / Ю. В. Авербух, Т. И. Сережникова. — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА : Изд-во Урал. ун-та, 2018. — 41 с. ISBN 978-5-9765-3510-7 (ФЛИНТА) ISBN 978-5-7996-1250-4 (Изд-во Урал. ун-та) В издании введено понятие простейшей задачи вариационного исчисления. Рассмотрен случай закрепленных концов и случай свободного правого конца. Для обеих задач приведено необходимое условие первого порядка. Для простейшей задачи вариационного исчисления в скалярном случае указано необходимое условие второго порядка. Также для этой же задачи в общем случае приведены достаточные условия. Библиогр.: 7 назв. УДК 517.972(075.8) ББК 22.161.8я73 c⃝ Уральский федеральный университет, 2014 A19 ISBN 978-5-9765-3510-7 (ФЛИНТА) ISBN 978-5-7996-1250-4 (Изд-во Урал. ун-та)
Содержание 1. Введение 4 2. Постановка задачи 4 3. Необходимые условия первого порядка для задачи с закрепленными концами 8 4. Интегралы решения уравнения Эйлера–Лагранжа 13 4.1. Вырожденный случай F = F(t, x) . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2. F зависит лишь от t и ˙x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.3. F не зависит от t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5. Примеры 14 6. Необходимые условия первого порядка в простейшей задаче вариационного исчисления со свободным правым концом 17 7. Необходимые условия второго порядка в задаче с закрепленными концами 20 8. Достаточные условия в задаче с закрепленным правым концом в скалярном случае 28 9. Элементы теории поля 32 10.Достаточные условия в векторном случае 34 3
1. Введение Настоящее пособие посвящено изучению простейших задач вариационного исчисления. Нами будет рассмотрены задачи с фиксированным и со свободным правыми концами. Для задачи с фиксированным правым концом кроме необходимого условия первого порядка будут рассмотрены необходимые условия второго порядка и достаточные условия. Отметим, что вариационному исчислению посвящено множество работ. Некоторые из них указаны в списке литературы. Материал параграфов 2–6 следует книге [1]. Материал параграфов 7, 8 изложен в соответствии с [5]. Параграфы 9 и 10 следуют учебнику [7]. Также отметим учебники [4], [6], они содержат необходимые условия. Важная, но трудная в освоении монография [3] может быть рекомендована студентам специальности «Прикладная математика». Отметим, что для закрепления материала полезно прорешать задания из сборника задач [2]. 2. Постановка задачи Пусть x ∈ Rn, это вектор-столбец, то есть x = x1 x2... xn . В дальнейшем вектор-столбцы будем называть просто векторами. Множество n-мерных вектор-столбцов будем обозначать через Rn. Вектор-строка есть s = (s1, s2, . . . , sn). Вектор-строки будем называть ковекторами. Множество всех ковекторов будем обозначать через Rn∗. Операцию транспонирования будем обозначать через T, эта операция переводит строку в столбец и наоборот. Если s ∈ Rn∗, x ∈ Rn, то sx = n ∑ i=1 sixi 4
есть произведение ковектора s на вектор x. Если x ∈ Rn, то длина вектора x есть ∥x∥ = √ xTx = n ∑ i=1 x2 i. Основное внимание в данном пособии уделяется вектор-функциям, то есть функциям t → x(t). Мы будем предполагать достаточную гладкость функций. Вектор-функцию t → x(t) как целое мы будем обозначать x(·). Если x(t) = x1(t) x2(t) ... xn(t) , то производная по времени функции x(t) есть вектор, составленный из производных ˙x = ˙x1(t) ˙x2(t) ... ˙xn(t) . Кроме вектор-функций времени, мы будем рассматривать скалярные функции одного или нескольких векторных аргументов. То есть функции (t, x, u) → F(t, x, u). Здесь t – время (скалярный аргумент), x и u – nмерные векторы. Частные производные будем обозначать через Ft, Fx и Fu соответственно. При этом мы считаем, что Fx и Fu – ковекторы Fx(t, x, u) = (∂F(t, x, v) ∂x1 , ∂F(t, x, u) ∂x2 , . . . , ∂F(t, x, u) ∂xn ) , Fu(t, x, u) = (∂F(t, x, u) ∂u1 , ∂F(t, x, u) ∂u2 , . . . , ∂F(t, x, u) ∂un ) . Напомним, что если заданы функции некоторого аргумента α x(α) и u(α), то полная производная функции F(t, x(α), u(α)) равна d dαF(t, x(α), u(α)) = Fx(t, x(α), u(α))dx(α) dα + Fu(t, x(α), u(α))du(α) dα . (1) 5
Принято называть функцию, которая сопоставляет функции x(·) число J[x(·)] , функционалом. Простейшая задача вариационного исчисления формулируется следующим образом. Среди всех функций x(·) таких, что x(t0) = x0, x(t1) = x1, найти функцию, минимизирующую функционал J1[x(·)] = ∫ t1 t0 F(t, x(t), ˙x(t))dt. (2) Аналогично формулируется простейшая задача вариационного исчисления со свободным правым концом (задача Больца). Среди всех функций x(·) таких, что x(t0) = x0, найти функцию, минимизирующую функционал J2[x(·)] = ∫ t1 t0 F(t, x(t), ˙x(t))dt + σ(x(t1)). (3) Значения t0, t1, x0 и x1 считаем фиксированными параметрами задачи. В дальнейшем будем называть непрерывно дифференцируемые функции x(·) такие, что x(t0) = x0, x(t1 = x1) (для задачи с закрепленными концами) и x(t0) = x0 (для задачи со свободным правым концом) допустимыми. В дальнейшем будем использовать понятие метрики. Метрикой на множестве X называется функция ρ(x, y) такая, что 1) ρ(x, y) ≥ 0 и ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y; 2) ρ(x, y) = ρ(y, x); 3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y). Для того чтобы найти расстояние между двумя функциями, мы используем две метрики. Первая метрика использует лишь значение функций, вторая использует значение самих функций и их производных. Положим, ρ0(x(·), y(·)) ≜ max t∈[t0,t1] ∥x(t) − y(t)∥, ρ1(x(·), y(·)) ≜ max t∈[t0,t1] ∥x(t) − y(t)∥ + max t∈[t0,t1] ∥ ˙x(t) − ˙y(t)∥. Определение 1. Будем говорить, что x∗(·) является сильным локальным минимумом в задаче с закрепленными концами (со свободным правым концом), если существует такое ε > 0, что для любой функции x(·) такой, что ρ0(x∗(·), x(·)) < ε, выполнено неравенство J1[x∗(·)] ≤ J1[x(·)] (J2[x∗(·)] ≤ J2[x(·)]). 6
Отметим, что сильный минимум использует близость функций. Если учитывать и близость производных, то получается понятие слабого минимума. Определение 2. Будем говорить, что x∗(·) является слабым локальным минимумом в задаче с закрепленными концами (со свободным правым концом), если существует такое ε > 0, что для любой функции x(·) такой, что ρ1(x∗(·), x(·)) < ε, выполнено неравенство J1[x∗(·)] ≤ J1[x(·)] (J2[x∗(·)] ≤ J2[x(·)]). Аналогично вводятся понятия сильного и слабого локальных максимумов. Если функция x∗(·) доставляет либо локальный минимум, либо локальный максимум, то говорят, что она доставляет локальный экстремум. В некоторых задачах интерес представляет глобальный экстремум, в то же время глобальный экстремум обязательно является локальным экстремумом, и задача нахождения глобального экстремума может быть решена с использованием перебора всех локальных экстремумов. В заключение отметим связь сильного и слабого экстремума. Предложение 1. Если x∗(·) – сильный минимум (максимум), то x∗(·) – слабый минимум (максимум). Доказательство. Мы докажем это утверждение для задачи с закрепленными концами. В самом деле, пусть ε таково, что для любой допустимой функции x(·), удовлетворяющей условию ρ0(x∗, x(·)) < ε, верно неравенство J1[x∗(·)] ≤ J1[x(·)]. Так как ρ0(x∗(·), x(·)) ≤ ρ1(x∗(·), x(·)), то из неравенства ρ1(x∗(·), x(·)) < ε следует неравенство ρ0(x∗(·), x(·)) < ε. Откуда мы заключаем, что для любой допустимой функции такой, что ρ1(x∗(·), x(·)) < ε, верно неравенство J1[x∗(·)] ≤ J1[x(·)]. Это в точности определение слабого экстремума. Обратное утверждение неверно. Для того чтобы это показать, рассмотрим пример. Мы минимизируем функционал J1[x(·)] = ∫ 1 0 (2 ˙x2(t) − ˙x4(t))dt при условиях x(0) = x(1) = 0. Здесь предполагается, что x(t) является числом. Отметим, что функция x∗(t) ≡ 0 является слабым минимумом, но 7
не является сильным. В самом деле, у функции F(v) = 2v2−v4 число v = 0 является локальным, но не глобальным минимумом. Если | ˙x(t)| < √ 2, то ∫ 1 0 (2 ˙x2(t) − ˙x4(t))dt > 0. Однако, если мы рассмотрим функции xk(t) = sin(k2πt)/k, то ρ0(x∗(·), xk(·)) → 0, a J1[xk(·)] → −∞ при k → ∞. Основное внимание далее уделяется условиям слабого минимума. 3. Необходимые условия первого порядка для задачи с закрепленными концами Теорема 1. Пусть x∗(·) доставляет функционалу J1 слабый локальный экстремум в классе функций с закрепленными концами. Тогда вдоль этой функции выполнено соотношение (уравнение Эйлера–Лагранжа) Fx(t, x∗(t), ˙x∗(t)) − d dtF ˙x(t, x∗(t), ˙x∗(t)) = 0. (4) Доказательство. Основная идея доказательства состоит в том, чтобы отступить от x∗(·) вдоль некоторого функционального направления. Будем считать, что это направление задается функцией u. То есть мы рассматриваем теперь некоторую (произвольную) функцию u(·), интеграл которой равен 0 ∫ t1 t0 u(t) = 0, положим y(t, u(·)) = ∫ t t0 u(τ)dτ. (5) Отмечу, что u(·) – это вектор-функция u(t) = u1(t) ... un(t) . Интеграл ее мы понимаем как интеграл от каждой компоненты, а 0 – как вектор, состоящий из n нулей. 8
В качестве тестовой функции рассмотрим функцию xα(t) = x∗(t) + αy(t, u(·)). (6) Отметим, что xα(·) допустимая функция. В самом деле, из определения y(t, u(·)) (см (5)) имеем, что y(t0, u(·)) = 0 (в силу того, что y(t, u(·)) определяется как интеграл от u(·)). Тогда xα(t0) = x∗(t0) + αy(t0, u(·)) = x∗(t0) = x0. Также y(t1, u(·)) = 0 (так как интеграл по отрезку [t0, t1] от функции u(·) равен 0), xα(t1) = x∗(t1) + αy(t1, u(·)) = x1. Теперь покажем, что при достаточно малых α функция xα(·) близка к функции x∗(·) в метрике ρ1. В самом деле найдем ∥ ˙xα(t)− ˙x∗(t)∥. Для этого продифференцируем выражение для xα(t) (см. (6)). Имеем, что ∥ ˙xα(t) − ˙x∗(t)∥ = ∥ ˙x∗(t) + α ˙y(t, u(·)) − ˙x∗(t)∥ = α∥u(t)∥. Как видно, при достаточна малых α ∥ ˙xα(t) − ˙x∗(t)∥ будет меньше ε. Мы показали близость производных, надо показать еще близость значений. ∥xα(t) − x∗(t)∥ = ∥x∗(t) + αy(t, u(·)) − x∗(t)∥ = α∥y(t, u(·))∥. Также можно выбрать α так, чтобы α∥y(t, u(·))∥ стало меньше ε. Теперь подставим xα(·) в определение слабого экстремума. При подстановке получаем, что ∫ t1 t0 F(t, x∗(t), ˙x∗(t))dt ≤ ∫ t1 t0 F(t, xα(t), ˙xα(t))dt. Из определения xα(·) следует, что при α = 0 xα(·) = x∗(·). То есть, если мы рассмотрим функцию g(α) = ∫ t1 t0 F(t, xα(t), ˙xα(t)), то для нее α = 0 является точкой локального минимума, т. е. g(0) ≤ g(α) при достаточно малых α. Воспользуемся принципом Ферма. Раз α = 0 доставляет g(α) локальный минимум, имеем, что dg(0) dα = 0. 9
Найдем производную функции g(α) при α = 0. Нам нужно продифференцировать интеграл в случае, когда подынтегральная функция зависит от параметра. Результат – интеграл, от производной подынтегральной функции по параметру. 0 = dg(α) dα = = ∫ t1 t0 [ Fx(t, xα(t), ˙xα(t)) · ∂xα(t) ∂α + F ˙x(t, xα(t), ˙xα(t)) · ∂ ˙xα(t) ∂α ]α=0 dt. По определению xα(·) имеем, что ∂xα(t) ∂α α=0 = y(t, u(·)), ∂ ˙xα(t) ∂α α=0 = u(t). Тогда 0 = ∫ t1 t0 [Fx(t, x∗(t), ˙x∗(t)) · y(t, u(·)) + F ˙x(t, x∗(t), ˙x∗(t)) · u(t)] dt. Дальше мы проведем некоторые преобразования. Для упрощения обозначим F ∗ x(t) = Fx(t, x(t), ˙x∗(t)), F ∗ ˙x(t) = F ˙x(t, x∗(t), ˙x∗(t)). (7) Заметим, что F ∗ x(t) и F ∗ ˙x(t) – ковекторы, то есть вектор-строки. Имеем, что 0 = ∫ t1 t0 [F ∗ x(t) · y(t, u(·)) + F ∗ ˙x(t) · u(t)]dt. (8) Положим, p0(t) = ∫ t t1 F ∗ x(t)dt. По свойствам интеграла с переменным верхним пределом p0(t1) = 0, ˙p0(t) = F ∗ x(t). Рассмотрим отдельно первое слагаемое в правой части равенства (8). Воспользуемся методом интегрирования по частям и определением функ 10
ции p0(t). ∫ t1 t0 F ∗ x(t) · y(t, u(·))dt = = p0(t1) · y(t1, u(·)) − p0(t0) · y(t0, u(·)) − ∫ t1 t0 p0(t) · u(t)dt = = − ∫ t1 t0 p0(t) · u(t)dt. Здесь мы воспользовались тем, что p0(t1) = 0, y(t0, u(·)) = 0, ˙y(t, u(·)) = = u(t). Следовательно, равенство (8) преобразуется к виду 0 = ∫ t1 t0 (−p0(t) + F ∗ ˙x(t))u(t)dt. (9) Если мы вспомним утверждение теоремы, то убедимся, что правая часть уравнения Эйлера–Лагранжа (см. (4)) является производной от функции p0(t)−F ∗ ˙x(t). И для того чтобы доказать справедливость уравнения Эйлера– Лагранжа, достаточно доказать, что −p0(t) + F ∗ ˙x(t) равна константе на [t0, t1]. Для этого у нас есть функция u(·). Эта функция удовлетворяет условию ∫ t1 t0 u(t)dt = 0. Это равенство n-мерных векторов. Домножим (в смысле скалярного произведения) это равенство на произвольный ковектор s = (s1, s2, . . . , sn). Получаем, что ∫ t1 t0 su(t)dt = 0. (10) Сложим равенства (20) и (10). Получаем, что для всех функций u, интеграл которых равен 0 и всех ковекторов s, верно равенство 0 = ∫ t1 t0 (−p0(t) + F ∗ ˙x(t) + s)u(t)dt. (11) Выберем ковектор s равным s = −1 t1 − t0 ∫ t1 t0 [−p0(t) + F ∗ ˙x(t)]dt. 11
Доступ онлайн
В корзину