Эконометрия

О. В. БРАИЛОВА

ЭКОНОМЕТРИЯ

Методическое пособие для студентов 
заочной формы обучения по специальности 
«Менеджмент организации»

УДК–33.0
ББК–65в6

Рецензент:
кандидат технических наук, доцент кафедры продюсерского мастерства и 
менеджмента ВГИК  Л.А.Фунберг

Б–872
Ольга Владимировна Браилова.
Эконометрия. Методическое пособие – М.: ВГИК, 2009. 
Предмет «Эконометрия» входит в состав федерального компонента
ГОС по специальности «Менеджмент организации» в рамках изучения 
дисциплины «Математика». Настоящее пособие, включающее в себя контрольные задания, дает как теоретический, так и практический материал 
для того, чтобы студенты могли овладеть необходимыми приемами решения задач в области прикладной математической экономики.
Пособие предназначено для студентов заочного отделения факультета 
продюсерства и экономики ВГИК.

© Всероссийский государственный
университет кинематографии
имени С.А.Герасимова (ВГИК)

Всероссийский государственный университет 
кинематографии имени С.А.Герасимова (ВГИК)

Факультет продюсерства и экономики

ЭКОНОМЕТРИЯ

Методическое пособие для студентов заочной формы обучения
по специальности «Менеджмент организации»

Утверждено на заседании кафедры
продюсерского мастерства и менеджмента
15 октября 2008 г.
(протокол № 1)
зав. кафедрой, профессор В. И. Сидоренко

Москва – 2009 

О.В.БРАИЛОВА

5

ЭКОНОМЕТРИЯ

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Тема 1. Матрицы и определители

Определение и свойства определителя. Вычисление определителя по правилу Крамера. Матрицы и их классификация. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Обратная 
матрица и ее нахождение. Ранг матрицы и его свойства. Матричные уравнения.

Определение и свойства определителя
Учение об определителях возникло в связи с решением системы 
линейных уравнений, имеющей вид:

(1).

Коэффициенты при неизвестных в этой системе составляют прямоугольную таблицу

(2), называемую матрицей порядка mxn.

Если m=n, то такую матрицу называют квадратной.
Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется 
алгебраическая сумма n! слагаемых, состоящих из всевозможных 
произведений элементов матрицы, взятых по одному и только одному из каждого столбца и каждой строки, причем если сомножители 
расположить так, что их первые индексы будут в порядке возраста
СОДЕРЖАНИЕ

Глава 1. Элементы линейной алгебры ..................................................5

Тема 1. Матрицы и определители ..............................................................5

Тема 2. Векторы и векторное пространство .............................................10

Тема 3. Система линейных неравенств ....................................................12

Тема 4. Система линейных уравнений ......................................................13

Глава 2. Линейное программирование .................................................17

Тема 5. Примеры задач линейного программирования .........................17

Тема 6. Основная задача линейного программирования (ОЗЛП) ........19

Тема 7. Транспортная задача линейного программирования (ТЗЛП) ..24

Тема 8. Двойственная задача к ОЗЛП ......................................................33

Правила выполнения и оформления контрольной работы ............36

Задачи для контрольных заданий .........................................................37

Список литературы....................................................................................43

О.В.БРАИЛОВА

7

ЭКОНОМЕТРИЯ

ния, то это слагаемое берется со знаком +, если перестановка вторых индексов четная, и со знаком -, если она нечетная.
Определитель второго порядка вычисляется по формуле:

.

Определитель высшего порядка можно вычислить методом понижения порядка.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы А называется определитель, полученный из исходной матрицы вычеркиванием i-той строки и j-того столбца и взятый со знаком (-1)i+j.
Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) квадратной матрицы на алгебраическое дополнение этого элемента.

Пример1
Вычислить определитель второго порядка:

Пример 2
Вычислить определитель третьего порядка:

5
1
0
6
7
8
7
8
6

2
6
1
6
1
2
1
2
6
–
–
–

Вычисление определителя по правилу Крамера
Решением системы n линейных уравнений с n неизвестными является вектор x=(x1,x2,...xn), каждая компонента которого 
вычисляется по формуле:    xi=Di_
D,i=1,2,...,n.

Знаменатель D есть определитель матрицы коэффициентов системы линейных уравнений

11
12
1

21
22
2

1
2

...
...
det
...
...
...
...
...

n

n

n
n
nn

a
a
a
a
a
a
D
A

a
a
a

=
=

 

при условии, что он не равен нулю, а числитель

Di(i=1,2,...,n) есть определитель матрицы, полученной из матрицы коэффициентов системы заменой i-того столбца на столбец 
из свободных членов b=(b1,b2,...,bn).

Пример 3
Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

1
2
3

1
2
4

1
2
3

2
4
3
1

2
4
3

3
5
2

x
x
x

x
x
x

x
x
x

−
+
=
⎧
⎪
−
+
=
⎨
⎪
−
+
=
⎩

Найдем определитель матрицы коэффициентов системы

2
4 3
1
2 4
25
0
3
1 5
D
−
=
−
= −
≠
−

.

 

1

1
4
3

3
2
4
25

2
1
5

D

–

–
–

.

 

2

2
1
3
1
3
4
0
3
2
5
D =
= .

3

2
4
1

1
2
3
25
3
1
2
D

–

–
–
–

.

1
1
25
1
25
D
x
D
–
–
. 

2
2
0
0
25
D
x
D
–
.

3
3
25
1
25
D
x
D
−
=
=
=
−
 .
Ответ: x=(-1,0,1).

Линейные операции над матрицами
1. Транспонированием матрицы АT называется перемена мест 
ее строк и столбцов.
2. Суммой двух матриц А= {aij} и В= {bij}, где i=1,m
—, j=1,n
—, 
одного порядка mxn называется матрица того же порядка, каждый 
элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагае
мых матриц A+B={aij+bij}.

О.В.БРАИЛОВА

9

ЭКОНОМЕТРИЯ

3. Произведением матрицы на число называется матрица того 
же порядка, каждый элемент которой умножен на это число.

{
},
1,
,
1,
ij
A
a
i
m j
n
λ
λ
=
=
=

4. Произведением матрицы A={aik} порядка m×p на матрицу 
B={bkj} порядка p×n называется матрица C={cij} порядка m×n, 
каждый элемент которой вычисляется по формуле:

1
,
1,
,
1,

p

ij
ik
kj
k
c
a b
i
m j
n

R
.

Пример 4
Перемножить матрицы:

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю.
Квадратная матрица A-1 называется обратной к матрице A, если 
выполнено условие:
A-1A=AA-1=E, где Е – единичная матрица.

Теорема. Для того, чтобы матрица имела обратную, необходимо 
и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Обратную матрицу можно найти по формуле:
A-1 = С / D,
где D = det A,
а С – матрица, присоединенная к матрице А. Она имеет вид:

11
21
1

12
22
2

1
2

...

...

...
...
...
...

...

n

n

n
n
nn

A
A
A

A
A
A
C

A
A
A

,

где Аij – алгебраическое дополнение элемента aij матрицы А. 

Пример 5
Найти матрицу, обратную данной:

1
1 1
2
1 1
5
6 3

A

−
⎛
⎞
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

.

Вычислим определитель исходной матрицы:
D = det A = 1·(3-6) – (-1)(6-5) + 1·(12-5) = 5 ≠ 0.
Следовательно, матрица А невырожденная, а, значит, имеет себе 
обратную.
Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А.

Получим присоединенную матрицу С:

3
9
2
1
2
1
7
11
3
C
−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
= −
−
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝
⎠

.

По формуле A-1= С / D имеем:

1
3/5
9/5
2/5
1/5
2/5
1/5
.
7 /5
11/5
3/5
A–
–
–
–
–
–

О.В.БРАИЛОВА

11

ЭКОНОМЕТРИЯ

Ранг матрицы и его свойства
Минором к-того порядка называется определитель, полученный 
из матрицы А на пересечении любых к строк и к столбцов.
Рангом матрицы А называется наибольший из порядков всех ненулевых миноров этой матрицы.
Свойства ранга матрицы.
Ранг матрицы не меняется:
1. При транспонировании;
2. При перестановке строк или столбцов;
3. При умножении всех элементов строки или столбца матрицы на 
любое не равное нулю число;
4. Если к одной строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию других строк (столбцов);
5. Если удалить нулевую строку (столбец);
6. Если удалить строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов).

Тема 2. Векторы и векторное пространство

Определение вектора и операции над ним: умножение на число, сложение, скалярное произведение. Длина вектора. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Определение векторного пространства. Базис векторного пространства.

Определение вектора и операции над ним: умножение на число, 
сложение, скалярное произведение
Вектором называются n чисел, записанных в определенном порядке. Каждое из этих чисел называется компонентой вектора, а 
n – размерностью вектора. 
Вектором можно назвать матрицу, имеющую только одну строку 
или только один столбец. Поэтому операции над векторами совпада
ют с операциями над матрицами.

Длина вектора
Длиной n–мерного вектора a=(a1,a2,...,an) называется число

2

1
( , )

n

i
i
a
a a
a

R
.

Линейная комбинация векторов a1,a2,....,am одинаковой размерности n с числами c1,c2,...,cm есть вектор а той же размерности 
m, вычисленный по формуле:
a=c1a1+c2a2+...+cmam
Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов
Система векторов a1,a2,....,am называется линейно-зависимой, 
если существует такой набор чисел c1,c2,...,cm, одновременно не 

равный нулю 

1

n

i

c

R ci
2=/ 0, с которыми линейная комбинация дает нуле
вой вектор. В противном случае система векторов будет линейнонезависимой.
Определение векторного пространства
Векторным пространством En размерности n называется множество векторов одинаковой размерности n, обладающее свойствами:
1) любой вектор из этого множества, умноженный на любое число, принадлежит этому множеству;
2) сумма любых двух векторов из этого множества есть вектор, 
принадлежащий этому множеству.
Базис векторного пространства
Любая совокупность линейно-независимых векторов из данного 
множества, число которых равно размерности n, называется базисом векторного пространства En.
Теорема. Любой вектор из векторного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса, причем единственным образом.

О.В.БРАИЛОВА

13

ЭКОНОМЕТРИЯ

Тема 4. Система линейных уравнений

Элементарные преобразования системы m линейных уравнений с n неизвестными. Запись системы в матричном виде. 
Решение системы линейных уравнений методом исключения 
неизвестных (метод Жордано-Гаусса, метод Гаусса). Теорема о совместимости системы линейных уравнений (КронекераКапелли).
Элементарные преобразования системы m линейных уравнений 
с n неизвестными
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

11 1
12
2
1
1

21 1
22
2
2
2

1 1
2
2

...

...

...

...

n
n

n
n

m
m
mn
n
m

a x
a x
a x
b

a x
a x
a x
b

a x
a
x
a
x
b

123

.(1)

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются:
1) умножение обеих частей уравнения на любое не равное нулю 
число;
2) прибавление к обеим частям уравнения линейной комбинации 
других уравнений;
3) перестановка местами уравнений.
Для решения системы линейных уравнений используется метод 
исключения неизвестных, который имеет две разновидности.
Метод Жордано-Гаусса (метод полного исключения)
В качестве первого ведущего неизвестного выберем x1, а в качестве первого ведущего уравнения – любое уравнение, содержащее 
x1. С помощью элементарных преобразований исключим x1 из всех 
остальных уравнений.
В качестве второго ведущего неизвестного возьмем x2, а вторым 
ведущим уравнением будем считать любое уравнение, содержащее  
x2, кроме первого ведущего уравнения, и т.д.

Тема 3. Система линейных неравенств

Совместимость и несовместимость системы линейных неравенств. Геометрическая интерпретация решения системы линейных неравенств.
Совместимость и несовместимость системы линейных неравенств
Неравенство называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени.
a1x1+a2x2+...+anxn>_b.
Решением системы линейных неравенств называется такая совокупность чисел c1,c2,...,cn, которая при подстановке их вместо неизвестных x1,x2,....,xn, удовлетворяет каждое неравенство.
Система линейных неравенств называется совместной, если она 
имеет хотя бы одно решение, иначе система будет несовместной.
Геометрическая интерпретация решения системы линейных неравенств
Если система содержит только два неизвестных x1,x2, то ее решение можно интерпретировать геометрически на плоскости.

Пример 6 
Решить систему линейных неравенств геометрически.

1
2

1
2

1
2

3
6
2
0
6
6

x
x
x
x
x
x

–
–
123

.

Полученный треугольник АВС 
является решением системы.

3x1+x2=6

-2x1+x2=0

-6x1+x2=6

C

A

B

x1

x2

О.В.БРАИЛОВА

15

ЭКОНОМЕТРИЯ

В результате получим решение системы линейных уравнений (1) 
в виде:
если ранг матрицы коэффициентов системы обозначить через r, то

А) при r=n:

1
1

2
2
...

n
n

x
p

x
p

x
p

123

.
В) при r<n:

1
1,
1
1
1
1

2
2,
1
1
2
2

,
1
1

...

...

...

...

r
r
n
n

r
r
n
n

r
r r
r
rn
n
r

x
q
x
q x
p

x
q
x
q x
p

x
q
x
q x
p

123

.
В случае r=n система имеет единственное решение.
Если же r<n, получаем бесконечное множество решений:

(
)
(
)

(
)

1
1
1,
1
1,

2
2
2,
1
2,

,
1
,

...

...

...

...

r
n
n

r
n
n

r
r
r r
r n
n

x
p
q
q x

x
p
q
q
x

x
p
q
q
x

+

+

+

⎧
⎫
=
−
+
+
⎪
⎪
⎪
⎪
=
−
+
+
⎨
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
=
−
+
+
⎩
⎭ .(*)

Здесь x1,x2,...xr называются базисными переменными, а их совокупность – базисом. Остальные переменные xr+1,xr+2,...,xn свободные.
Совокупность (*) называется общим решением системы.
Базисным решением называется такое частное решение системы линейных уравнений, в которых все свободные переменные равны нулю.

123

1
1

2
2

1
2

...

...
0

r
r

r
r
n

x
p

x
p

x
p

x
x
x
.

Пример 7
Решить систему линейных уравнений методом Жордано-Гаусса.

1
2
3

1
2
3

1
2
3

2
4

3
4
2
11

3
2
4
11

x
x
x

x
x
x

x
x
x

–
–
–
–
123

.

С помощью элементарных преобразований приведем матрицу коэффициентов исходной системы к единичной матрице:

2
1
1
4

3
4
2
11

3
2
4
11

–

–
–

–

~

1
5
1
7

0
11
1
10

0
1
1
0

–
–

–

–

~

1
0
4
7

0
1
1
0

0
0
10
10

–

–
–

~

~

1
0
0
3

0
1
0
1

0
0
1
1 .

Таким образом, получим решение:

1

2

3

3
1
1

x
x
x

123

.

Ответ: x=(3,1,1).
Метод Гаусса (метод неполного исключения)
Этот метод разрешает исключать ведущие неизвестные только 
из тех уравнений, которые не были ведущими на предыдущих шагах. 
Тогда система (1) преобразуется к виду:
А) при r=n система имеет единственное решение, легко получаемое из системы треугольного вида:

1
12
2
13
3
1
1

2
23
3
2
2

...

...

...

n
n

n
n

n
n

x
x
x
x

x
x
x

x

a
a     a    b
a      a 
b

b

123

О.В.БРАИЛОВА

17

ЭКОНОМЕТРИЯ

В) при r<n система имеет бесконечное множество решений, в 
котором x1,x2,...xr – базисные переменные, а xr+1,xr+2,...,xn  – свободные.

Пример 8
Решить систему методом Гаусса:

1
2
3

1
2
3

1
2
3

3
2
5

2
3
1

2
3
11

x
x
x

x
x
x

x
x
x

+
+
=
⎧
⎪
+
+
=
⎨
⎪
+
+
=
⎩
.

Приведем матрицу коэффициентов системы к треугольному виду 
с помощью элементарных преобразований:

3 2 1 5
1
1
0 4
1
1
0 4

2 3 11
0
5
1 7
0
1
1 5

2 1 311
0
1
1 5
0
0
1 3

⎞
−
⎞
−
⎞
⎛
⎛
⎛
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
−
− −
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
− −
⎝
⎝
⎝
⎠
⎠
⎠

∼
∼

.

Получили систему:

1
2

2
3

3

4

5

3

x
x

x
x

x

−
=
⎧
⎪
−
= −
⎨
⎪
=
⎩

или

1

2

3

2

2

3

x

x

x

=
⎧
⎪
= −
⎨
⎪
=
⎩

Ответ: x=(2,-2,3).
Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, 
когда ранг основной матрицы коэффициентов системы равен рангу 
расширенной матрицы.

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Тема 5. Примеры задач линейного программирования

Задача о пищевом рационе. Задача о распределении ресурсов.
Задача о пищевом рационе
Имеются четыре продукта питания П1,П2,П3,П4 по цене соответственно C1,C2,C3,C4. Из этих продуктов требуется составить пищевой рацион, содержащий: белков, не менее чем в1 единиц, жиров, не 
менее чем в2 единиц и углеводов, не менее чем в3 единиц. Содержание элемента в единице каждого продукта указано в таблице:

элемент
П1 П2 П3 П4
белки
а11 а12 а13 а14
жиры
а21 а22 а23 а24
углеводы
а31 а32 а33 а34

Составить пищевой рацион из этих продуктов минимальной стоимости.
Обозначим количество продуктов, входящих в рацион соответственно x1,x2,x3,x4. Тогда общая стоимость рациона равна  
L=c1x1+c2x2+c3x2+c4x4.
Общее количество белков, содержащихся в рационе, составляет 
a11x1+a12x2+a13x3+a14x4. Их должно быть не менее в1 единиц.
Общее количество жиров рациона есть a21x1+a22x2+a23x3+a24x4, 
что не превосходит в2 единиц.
Общее 
количество 
углеводов 
в 
рационе 
есть 
a31x1+a32x2+a33x3+a34x4, что не должно превосходить в3 единиц.
Эти условия представляют собой неравенства-ограничения, которые накладываются на неизвестные. Возникает следующая задача: 
найти такой неотрицательный вектор x=(x1,x2,x3,x4)>_0, который 
удовлетворяет системе неравенств-ограничений

11 1
12
2
13
3
14
4
1

21 1
22
2
23
3
24
4
2

31 1
32
2
33
3
34
4
3

a x
a x
a x
a x
в

a x
a x
a x
a x
в

a x
a x
a x
a x
в

+
+
+
≥
⎧
⎪
+
+
+
≥
⎨
⎪
+
+
+
≥
⎩

О.В.БРАИЛОВА

19

ЭКОНОМЕТРИЯ

и обращает линейную функцию в минимум:
L=c1x1+c2x2+c3x3+c4x4—>min.

Задача о распределении ресурсов

Имеются ресурсы (например сырье, рабочая сила, оборудование) 
R1,R2,R3 в количестве b1,b2,b3 единиц. С помощью этих ресурсов 
производятся три вида товаров T1,T2,T3. Для производства товара 
Tj необходимо aij единиц ресурса Ri(i=1,2,3, j=1,2,3). Единица ресурса Ri стоит di рублей (i=1,2,3). Единица товара Tj может быть 
реализована по цене cj рублей (j=1,2,3). По каждому виду товара количество производимых единиц ограничивается спросом. Известно, что рынок не может реализовать более чем Kj единиц товара Tj(j=1,2,3). Составить план производства товаров, приносящий 
максимальную прибыль.
Обозначим через x1,x2,x3 количество товаров T1,T2,T3, которые 
надо запланировать к производству. Условия спроса налагают ограничения:

1
1

2
2

3
3

0
0
0

x
k
x
k
x
k

123

.

Ресурсов должно хватить, следовательно, возникают ограничения:

11 1
12
2
13
3
1

21 1
23
2
23
3
2

31 1
32
2
33
3
3

a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b

123

.

Составим прибыль L как функцию от переменных x1,x2,x3.
Себестоимость Sj единицы товара Tj равна
Sj=a1jd1+a2jd2+a3jd3(j=1,2,3).
Прибыль от единицы товара Tj есть
qj=cj-Sj(j=1,2,3).

Общая прибыль производства составляет
L=q1x1+q2x2+q3x3—>max.
Итак, сформулируем задачу линейного программирования. Найти 

такой неотрицательный вектор x=(x1,x2,x3)>_0, который бы удовлетворял системам неравенств-ограничений

11 1
12
2
13
3
1

21 1
23
2
23
3
2

31 1
32
2
33
3
3

a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b

123

.

1
1

2
2

3
3

0
0
0

x
k
x
k
x
k

123

.

и обращал бы линейную функцию в максимум:
L=q1x1+q2x2+q3x3—>max.

Тема 6. Основная задача линейного 
программирования (ОЗЛП)

Постановка ОЗЛП. Допустимое и оптимальное решения 
ОЗЛП. Геометрическая интерпретация ОЗЛП. Опорное решение. 
Симплекс-метод решения ОЗЛП.
Постановка ОЗЛП
Рассмотрим задачу линейного программирования с ограничениями-равенствами.
Найти такой неотрицательный вектор x=(x1,x2,...,xn)>_0, который 
удовлетворяет системе уравнений-ограничений:

11 1
12
2
1
1

21 1
22
2
2
2

1 1
2
2

...
...
...
...

n
n

n
n

m
m
mn
n
m

a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b

a x
a
x
a
x
b

123

 
(1)

и обращаeт линейную функцию в минимум
L=c1x1+c2x2+...+cnxn—>min.

О.В.БРАИЛОВА

21

ЭКОНОМЕТРИЯ

Допустимое и оптимальное решения ОЗЛП
Допустимым решением задачи называют любой неотрицательный вектор x=(x1,x2,...,xn)>_0, удовлетворяющий системе (1).

Оптимальным решением называют такое допустимое решение, 
при котором линейная функция L=c1x1+c2x2+...+cnxn обращается 
в минимум.
Если число неизвестных больше числа линейно-независимых 
уравнений-ограничений на два, то решение задачи можно рассмотреть на плоскости.
И имеем две свободные переменные, скажем, x1,x2. Выразим 
остальные базисные переменные x3,x4,...,xn через свободные:

3
3
31 1
32
2

4
4
41 1
42
2

1 1
2
2

1
2

...

0,
0

n
n
n
n

x
b
x
x
x
b
x
x

x
b
x
x
x
x

a
a
a
a

a
a

123

Получили систему 
линейных неравенств 
относительно 
двух 
переменных x1,x2. Ее 
можно интерпретировать геометрически 
на плоскости x1,x2:
Это область допустимых решений.
Найдем среди допустимых решений оптимальное. Для этого выразим линейную функцию через свободные переменные 
L=v0+v1x1+v2x2.
Очевидно, что линейная функция L`=v1x1+v2x2 достигает своего 
минимального значения при тех же x1,x2, что и L=v0+v1x1+v2x2 .
Построим прямую L`=0 и будем перемещать ее параллельно самой себе в направлении уменьшения. Итак, прямая v1x1+v2x2=0 
имеет угловой коэффициент -v1_v2
.

Если он положительный, то прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс и находится в 1 и 3 четвертях 
декартовой системы координат. Если отрицательный, то прямая образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс и находится во 2 и 4 четвертях декартовой системы координат. Покажем 
направления убывания прямой на следующих схемах, учитывая, что 
переменные x1>_0,x2>_0.

x1

x2
v1>0
v2>0

x1

x2
v1<0
v2<0

x1

x2
v1>0
v2<0

x1

x2
v1<0
v2>0

Пример 9
Решить задачу геометрически:

1
2

1
2

1
2

2

1
2

2
min

5
10
50

1

5

0,
0

L
x
x

x
x

x
x

x

x
x

123

.

В точке M(x1
*,x2
*) линейная функция принимает минимальное 
значение.

2

2

0

4

5

4
6
8

10

x1

x2

2ОДР

5x1+10x2=50

x5=0

x1+x2=1

L`=0

M

x1

x2

x3=0

x4=0

xn=0

ОДР