Специальные функции
Покупка
Издательство:
ФЛИНТА
Автор:
Дунаев А.
Год издания: 2017
Кол-во страниц: 938
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-9765-3095-9
Артикул: 678242.01.99
Доступ онлайн
845 ₽
В корзину
Книга «Специальные функции» является второй книгой справочного руководства по математике.
Первая книга «Элементарные функции» опубликована в издательстве Уральского университета. В отличие
от известных справочных руководств в книге «Специальные функции» значительно расширены сведения по
всем известным специальным функциям, введены новые разделы по функции распределения Релея – Райса и
неполным цилиндрическим функциям, содержатся заимствованные из различных источников сведения по
функции Клаузена, цилиндрическим функциям от двух мнимых переменных, по функциям Ломмеля одной и
двух переменных.
Книга является учебным пособием для студентов высших технических учебных заведений и будет
полезной для научных работников, аспирантов, инженеров и преподавателей. Она может служить ценным
справочным руководством при решении различных инженерных и прикладных задач, требующих
применения аппарата специальных функций. Некоторые результаты публикуются впервые.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- 01.00.00: МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А. С. Дунаев В. И. Шлычков СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 2-е издание, стереотипное Москва Издательство «ФЛИНТА» Издательство Уральского университета 2017
УДК 517.4 (075.8) Д 83 Р е ц е н з е н т ы: Р. М. Алеев, доктор технических наук, профессор Р. Д. Мухамедяров, доктор технических наук, профессор КГТУ им. А. Н. Туполева Дунаев, А. С. Специальные функции [Электронный ресурс] : [учеб. пособие] / А. С. Дунаев, В. И. Шлычков. — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА : Изд-во Урал. ун-та, 2017. — 938 с. ISBN 978-5-9765-3095-9 (ФЛИНТА) ISBN 978-5-7996-1523-9 (Изд-во Урал. ун-та) Книга «Специальные функции» является второй книгой справочного руководства по математике. Первая книга «Элементарные функции» опубликована в издательстве Уральского университета. В отличие от известных справочных руководств в книге «Специальные функции» значительно расширены сведения по всем известным специальным функциям, введены новые разделы по функции распределения Релея – Райса и неполным цилиндрическим функциям, содержатся заимствованные из различных источников сведения по функции Клаузена, цилиндрическим функциям от двух мнимых переменных, по функциям Ломмеля одной и двух переменных. Книга является учебным пособием для студентов высших технических учебных заведений и будет полезной для научных работников, аспирантов, инженеров и преподавателей. Она может служить ценным справочным руководством при решении различных инженерных и прикладных задач, требующих применения аппарата специальных функций. Некоторые результаты публикуются впервые. УДК 517.4 (075.8) © Дунаев А. С., Шлычков В. И., 2015 ISBN 978-5-9765-3095-9 (ФЛИНТА) ISBN 978-5-7996-1523-9 (Изд-во Урал. ун-та)
ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ...................................................................................................................................................................11 Глава 1. ФУНКЦИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО ...............................................................................................12 1.1. Определение............................................................................................................................................................12 1.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................................13 1.3. Частные значения ...................................................................................................................................................14 1.4. Связь с другими функциями..................................................................................................................................15 1.5. Интегральные представления................................................................................................................................15 1.5.1. Неопределённые интегралы ........................................................................................................................15 1.5.2. Определённые интегралы ............................................................................................................................34 1.6. Представление в виде ряда ....................................................................................................................................40 1.7. Интегралы от функции Лобачевского ..................................................................................................................42 Глава 2. ФУНКЦИИ КЛАУЗЕНА .............................................................................................................................44 2.1. Определение............................................................................................................................................................44 2.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................................44 2.3. Частные значения ...................................................................................................................................................45 2.4. Связь с другими функциями..................................................................................................................................45 2.5. Интегральные представления................................................................................................................................45 2.6. Представление в виде ряда ....................................................................................................................................46 Глава 3. ДИЛОГАРИФМ ЭЙЛЕРА...........................................................................................................................48 3.1. Определение............................................................................................................................................................48 3.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................................48 3.3. Частные значения ...................................................................................................................................................49 3.4. Связь с другими функциями..................................................................................................................................50 3.5. Интегральные представления................................................................................................................................50 3.5.1. Неопределённые интегралы ........................................................................................................................50 3.5.2. Определённые интегралы ............................................................................................................................58 3.6. Представление в виде ряда ....................................................................................................................................60 3.7. Интегралы от дилогарифма Эйлера......................................................................................................................63 Глава 4. «УГОЛ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ»..................................................................................................................64 4.1. Определение............................................................................................................................................................64 4.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................................64 4.3. Связь с другими функциями..................................................................................................................................64 4.4. Интегралы от «угла параллельности»...................................................................................................................65 Глава 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ..........................................................................................................66 5.1. Неполные эллиптические интегралы....................................................................................................................66 5.1.1. Определение.........................................................................................................................................................66 5.1.2. Функциональные соотношения..........................................................................................................................66 5.1.3. Частные значения ................................................................................................................................................68 5.1.4. Связь с другими функциями...............................................................................................................................68 5.1.5. Интегральные представления.............................................................................................................................69 5.1.6. Представление в виде ряда .................................................................................................................................87 5.1.7. Неопределённые интегралы от неполных эллиптических интегралов...........................................................88 5.1.7.1. Интегралы по аргументу x ..................................................................................................................88 5.1.7.2. Интегралы по модулю k ......................................................................................................................90 5.1.8. Определённые интегралы от неполных эллиптических интегралов...............................................................90 5.1.8.1. Интегралы по аргументу x ..................................................................................................................90 5.1.8.2. Интегралы по модулю k ......................................................................................................................94 5.2. Полные эллиптические интегралы........................................................................................................................95 5.2.1. Определение.........................................................................................................................................................95 5.2.2. Функциональные соотношения..........................................................................................................................96 5.2.3. Пределы и частные значения..............................................................................................................................97 5.2.4. Связь с другими функциями...............................................................................................................................98 5.2.5. Представление в виде ряда .................................................................................................................................100 5.2.6. Интегральные представления.............................................................................................................................108
Оглавление 4 5.2.7. Неопределённые интегралы от полных эллиптических интегралов...............................................................115 5.2.8. Определённые интегралы от полных эллиптических интегралов ..................................................................117 5.2.8.1. Полные эллиптические интегралы, степенная и алгебраическая функции .....................................117 5.2.8.2. Полные эллиптические интегралы, алгебраическая, степенная и показательная функции...........130 5.2.8.3. Полные эллиптические интегралы, алгебраическая, степенная и тригонометрические функции.134 5.2.8.4. Полные эллиптические интегралы и гиперболические функции......................................................140 5.2.8.5. Полные эллиптические интегралы и обратные тригонометрические функции...............................141 5.2.8.6. Полные эллиптические интегралы и логарифмические функции.....................................................142 5.2.8.7. Произведение полных эллиптических интегралов и специальные функции ...................................143 Глава 6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ..............................................................................................................145 6.1. Эллиптические функции Якоби.......................................................................................................................145 6.1.1. Определение ...................................................................................................................................................145 6.1.2. Функциональные соотношения ....................................................................................................................145 6.1.3. Частные значения...........................................................................................................................................153 6.1.4. Представления эллиптических функций Якоби в виде ряда и их аппроксимация ..................................156 6.1.4.1. Разложения в степенные ряды..............................................................................................................156 6.1.4.2. Разложения в тригонометрические ряды ............................................................................................156 6.1.4.3. Аппроксимация тригонометрическими функциями ..........................................................................157 6.1.4.4. Аппроксимация гиперболическими функциями ................................................................................157 6.1.5. Связь с другими функциями .........................................................................................................................157 6.1.6. Интегралы от эллиптических функций Якоби ............................................................................................166 6.2. Тэта–функции....................................................................................................................................................168 6.2.1. Определение ...................................................................................................................................................168 6.2.2. Функциональные соотношения ....................................................................................................................169 6.2.3. Частные значения...........................................................................................................................................172 6.2.4. Представления тэта–функций в виде ряда...................................................................................................173 6.2.5. Связь с другими функциями .........................................................................................................................174 6.2.6. Интегральные представления тэта–функций ..............................................................................................174 6.2.7. Интегралы от тэта–функций .........................................................................................................................174 Глава 7. ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ФУНКЦИИ................................................186 7.1. Определения......................................................................................................................................................186 7.2. Пределы и частные значения ...........................................................................................................................188 7.3. Функциональные соотношения .......................................................................................................................188 7.4. Интегральные представления ..........................................................................................................................194 7.5. Представление в виде ряда...............................................................................................................................204 7.6. Связь с другими функциями ............................................................................................................................212 7.7. Разложения в непрерывную дробь ..................................................................................................................212 7.8. Неопределённые интегралы.............................................................................................................................213 7.9. Определённые интегралы.................................................................................................................................220 7.9.1. Интеграл вероятности и степенная функция .........................................................................................220 7.9.2. Интеграл вероятности, степенная и алгебраическая функции.............................................................228 7.9.3. Интеграл вероятности, показательная и степенная функция ...............................................................234 7.9.4. Интеграл вероятности, показательная, степенная и алгебраическая функции...................................251 7.9.5. Интеграл вероятности, степенная и тригонометрические функции....................................................257 7.9.6. Интеграл вероятности, степенная, тригонометрические и показательная функции..........................263 7.9.7. Интеграл вероятности, степенная, показательная и гиперболические функции................................271 7.9.8. Интеграл вероятности, степенная, показательная, алгебраические и гиперболические функции....277 7.9.9. Интеграл вероятности, степенная, показательная, гиперболические и тригонометрические функции..............................................................................................................................................................278 7.9.10. Интеграл вероятности, степенная, показательная и логарифмическая функции ............................280 7.9.11. Интеграл вероятности и другие специальные функции .....................................................................282 Глава 8. ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ ...........................................................................................................................284 8.1. Определения......................................................................................................................................................284 8.2. Функциональные соотношения .......................................................................................................................286 8.3. Интегральные представления ..........................................................................................................................288 8.4. Представление в виде ряда...............................................................................................................................290 8.5. Неопределённые интегралы от интегралов Френеля.....................................................................................294
Оглавление 5 8.6. Определённые интегралы.................................................................................................................................297 8.6.1. Интегралы Френеля и степенная функция.............................................................................................297 8.6.2. Интегралы Френеля, степенная и алгебраическая функции.................................................................299 8.6.3. Интегралы Френеля, степенная и тригонометрические функции........................................................301 8.6.4. Интегралы Френеля, степенная и показательная функции...................................................................304 8.6.5. Интегралы Френеля, степенная, показательная и тригонометрические функции..............................306 8.6.6. Интегралы Френеля, степенная, алгебраическая и тригонометрические функции............................307 8.6.7. Интегралы Френеля, тригонометрические и гиперболические функции............................................308 8.6.8. Интегралы Френеля и другие специальные функции ...........................................................................308 Глава 9. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ ..........311 9.1. Интегральная показательная функция ............................................................................................................311 9.1.1. Определения .............................................................................................................................................311 9.1.2. Функциональные соотношения...............................................................................................................311 9.1.3. Интегральные представления..................................................................................................................312 9.1.4. Связь с другими функциями....................................................................................................................316 9.1.5. Представления в виде ряда......................................................................................................................316 9.1.6. Неопределённые интегралы ....................................................................................................................318 9.1.7. Определённые интегралы ........................................................................................................................320 9.1.7.1. Интегральная показательная функция, степенная и алгебраическая функции ............................320 9.1.7.2. Интегральная показательная функция, степенная и показательная функции .............................322 9.1.7.3. Интегральная показательная функция, степенная и тригонометрические фунции .....................325 9.1.7.4. Интегральная показательная функция, степенная, показательная и тригонометрические функции ........................................................................................................326 9.1.7.5. Интегральная показательная функция, степенная, показательная и логарифмическая функции..............................................................................................................328 9.1.7.6. Интегральная показательная функция и другие специальные функции.......................................329 9.2. Интегральный синус и интегральный косинус ..............................................................................................334 9.2.1. Определения .............................................................................................................................................334 9.2.2. Функциональные соотношения...............................................................................................................334 9.2.3. Интегральные представления..................................................................................................................335 9.2.4. Представление в виде ряда......................................................................................................................341 9.2.5. Неопределённые интегралы ....................................................................................................................344 9.2.6. Определённые интегралы ........................................................................................................................345 9.2.6.1. Интегральные синус и косинус, степенная и алгебраическая функции .....................................345 9.2.6.2. Интегральные синус и косинус, степенная, алгебраическая и тригонометрические функции......................................................................................................346 9.2.6.3. Интегральные синус и косинус, степенная и показательная функции .......................................349 9.2.6.4. Интегральные синус и косинус, степенная, показательная и тригонометрические функции........................................................................................................................................................350 9.2.6.5. Интегральные синус и косинус, степенная и логарифмическая функции..................................352 9.2.6.6. Интегральные синус и косинус, степенная и другие специальные функции ............................352 9.3. Интегральный логарифм ..................................................................................................................................355 9.3.1. Определение .............................................................................................................................................355 9.3.2. Интегральные представления..................................................................................................................355 9.3.3. Представления в виде ряда......................................................................................................................355 9.3.4. Определённые интегралы ........................................................................................................................356 9.4. Интегральный гиперболический синус и интегральный гиперболический косинус..................................357 9.4.1. Определения .............................................................................................................................................357 9.4.2. Функциональные соотношения...............................................................................................................358 9.4.3. Интегральные представления..................................................................................................................358 9.4.4. Представления в виде ряда......................................................................................................................359 9.4.5. Определённые интегралы ........................................................................................................................360 Глава 10. ГАММА-ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ................................................................363 10.1. Гамма-функция................................................................................................................................................363 10.1.1. Определения ...........................................................................................................................................363 10.1.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................363 10.1.3. Пределы и частные значения.................................................................................................................366 10.1.4. Интегральные представления................................................................................................................367 10.1.5. Представления в виде ряда....................................................................................................................370 10.1.6. Определённые интегралы ......................................................................................................................370
Оглавление 6 10.2. Логарифм гамма-функции..............................................................................................................................371 10.2.1. Функциональные соотношения.............................................................................................................371 10.2.2. Интегральные представления................................................................................................................372 10.2.3. Представления в виде ряда....................................................................................................................372 10.2.4. Определённые интегралы ......................................................................................................................373 10.3. Пси-функция....................................................................................................................................................374 10.3.1. Определение ...........................................................................................................................................374 10.3.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................374 10.3.3. Частные значения ...................................................................................................................................376 10.3.4. Интегральные представления................................................................................................................376 10.3.5. Представления в виде ряда....................................................................................................................377 10.3.6. Определённые интегралы ......................................................................................................................378 10.4. Производные пси-функции ............................................................................................................................379 10.4.1. Определение ...........................................................................................................................................379 10.4.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................380 10.4.3. Частные значения ...................................................................................................................................380 10.4.4. Представления в виде ряда....................................................................................................................382 10.4.5. Определённые интегралы ......................................................................................................................383 10.5. Функция ( ) z β .................................................................................................................................................384 10.5.1. Определение ...........................................................................................................................................384 10.5.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................384 10.5.3. Частные значения ...................................................................................................................................384 10.5.4. Представления в виде ряда....................................................................................................................386 10.5.5. Интегральные представления................................................................................................................386 10.6. Неполная гамма-функция...............................................................................................................................386 10.6.1. Определение ...........................................................................................................................................386 10.6.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................387 10.6.3. Связь с другими функциями..................................................................................................................389 10.6.4. Интегральные представления................................................................................................................390 10.6.5. Представления в виде ряда и в виде непрерывной дроби...................................................................391 10.6.6. Неопределённые интегралы ..................................................................................................................392 10.6.7. Определённые интегралы ......................................................................................................................397 10.6.8. Ряды, содержащие неполные гамма-функции .....................................................................................401 10.7. Бета-функция...................................................................................................................................................403 10.7.1. Определения ...........................................................................................................................................403 10.7.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................403 10.7.3. Частные значения ...................................................................................................................................403 10.7.4. Интегральные представления................................................................................................................404 10.7.5. Представление в виде ряда....................................................................................................................405 10.8. Неполная бета-функция..................................................................................................................................405 10.8.1. Определение ...........................................................................................................................................405 10.8.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................406 10.8.3. Частные значения ...................................................................................................................................407 10.8.4. Представления в виде ряда и разложения в непрерывную дробь......................................................408 10.8.5. Неопределённые интегралы ..................................................................................................................409 10.8.6. Определённые интегралы ......................................................................................................................410 10.9. Дзета-функция Римана ...................................................................................................................................418 10.9.1. Определение ...........................................................................................................................................418 10.9.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................419 10.9.3. Частные значения ...................................................................................................................................419 10.9.4. Интегральные представления................................................................................................................420 10.9.5. Определённые интегралы ......................................................................................................................423 Глава 11. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ .........................................................................................................424 11.1. Функции Бесселя и интегральные функции Бесселя...................................................................................424 11.1.1. Определения ...........................................................................................................................................424 11.1.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................425 11.1.3. Разложения в ряд по функциям Бесселя...............................................................................................432 11.1.4. Интегральные представления................................................................................................................433 11.1.5. Представления в виде ряда....................................................................................................................434 11.1.6. Неопределённые интегралы от функций Бесселя................................................................................435 11.1.7. Определённые интегралы ......................................................................................................................435
Оглавление 7 11.1.7.1. Функции Бесселя, степенная и алгебраические функции..........................................................435 11.1.7.2. Функции Бесселя, степенная, алгебраические и тригонометрические функции .....................444 11.1.7.3. Функции Бесселя, степенная, алгебраические и показательная функции................................460 11.1.7.4. Функции Бесселя, степенная, алгебраические, показательная, тригонометрические и гиперболические функции.....................................................................467 11.1.7.5. Функции Бесселя, степенная, алгебраические, показательная, тригонометрические и логарифмическая функции....................................................................470 11.1.7.6. Функции Бесселя и другие специальные функции.....................................................................472 11.2. Функции Неймана и интегральные функции Неймана ...............................................................................480 11.2.1. Определения ...........................................................................................................................................480 11.2.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................481 11.2.3. Интегральные представления................................................................................................................484 11.2.4. Неопределённые интегралы от функций Неймана..............................................................................485 11.2.5. Определённые интегралы от функций Неймана..................................................................................486 11.2.5.1. Функции Неймана, степенная и алгебраические функции ........................................................486 11.2.5.2. Функции Неймана, степенная, алгебраические и тригонометрические функции ...................493 11.2.5.3. Функции Неймана, степенная, алгебраические и показательная функции ..............................499 11.2.5.4. Функции Неймана и другие элементарные функции .................................................................502 11.2.5.5. Функции Неймана, функции Бесселя и элементарные функции...............................................504 11.2.5.6. Функции Неймана и другие специальные функции ...................................................................507 11.3. Функции Ханкеля............................................................................................................................................511 11.3.1. Определения ...........................................................................................................................................511 11.3.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................511 11.3.3. Интегральные представления................................................................................................................512 11.3.4. Неопределённые интегралы ..................................................................................................................513 11.3.5. Определённые интегралы ......................................................................................................................514 11.4. Модифицированные и интегральные модифицированные функции Бесселя...........................................519 11.4.1. Определения ...........................................................................................................................................519 11.4.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................520 11.4.3. Разложения в ряд по модифицированным функциям Бесселя...........................................................522 11.4.4. Интегральные представления................................................................................................................523 11.4.5. Представления в виде ряда....................................................................................................................525 11.4.6. Неопределённые интегралы от модифицированных функций Бесселя ............................................527 11.4.7. Определённые интегралы от модифицированных функций Бесселя ................................................527 11.4.7.1. Модифицированные функции Бесселя, степенная и алгебраические функции.......................527 11.4.7.2. Модифицированные функции Бесселя, степенная, алгебраические и тригонометрические функции......................................................................................................530 11.4.7.3. Модифицированные функции Бесселя, степенная, алгебраические и показательная функции ............................................................................................................532 11.4.7.4. Модифицированные функции Бесселя, степенная, алгебраические, показательная, тригонометрические и гиперболические функции ..........................................539 11.4.7.5. Модифицированные функции Бесселя, степенная, алгебраические, показательная, тригонометрические и логарифмические функции..........................................542 11.4.7.6. Модифицированные функции Бесселя и другие специальные функции..................................543 11.5. Функции Макдональда и интегральные функции Макдональда................................................................549 11.5.1. Определения ...........................................................................................................................................549 11.5.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................550 11.5.3. Интегральные представления................................................................................................................552 11.5.4. Разложения в ряд по функциям Макдональда .....................................................................................555 11.5.5. Неопределённые интегралы от функций Макдональда......................................................................555 11.5.6. Определённые интегралы от функций Макдональда..........................................................................556 11.5.6.1. Функции Макдональда, степенная и алгебраические функции.................................................556 11.5.6.2. Функции Макдональда, степенная, алгебраические и тригонометрические функции ...........560 11.5.6.3. Функции Макдональда, степенная, алгебраические и показательная функции ......................568 11.5.6.4. Функции Макдональда, степенная, алгебраические, показательная, тригонометрические, гиперболические и логарифмические функции...................................573 11.5.6.5. Функции Макдональда, функции Бесселя и элементарные функции.......................................577 11.5.6.6. Функции Макдональда и другие специальные функции ...........................................................590 11.5.6.7 Функции Макдональда с мнимым индексом ...............................................................................595 11.6. Функции Кельвина..........................................................................................................................................606 11.6.1. Определения ...........................................................................................................................................606 11.6.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................607 11.6.3. Интегральные представления................................................................................................................613
Оглавление 8 11.6.4. Связь с другими функциями..................................................................................................................613 11.6.5. Представления в виде ряда....................................................................................................................613 11.6.6. Неопределённые интегралы от функций Кельвина.............................................................................615 11.6.7. Определённые интегралы от функций Кельвина ................................................................................616 11.7. Цилиндрические функции дробного индекса...............................................................................................619 11.7.1. Функции Эйри ( ) Ai z и ( ) Bi z .............................................................................................................619 11.7.1.1. Определения...................................................................................................................................619 11.7.1.2. Функциональные соотношения....................................................................................................620 11.7.1.3. Интегральные представления .......................................................................................................621 11.7.1.4. Представления в виде ряда ...........................................................................................................622 11.7.1.5. Интегралы от функций Эйри........................................................................................................622 11.7.2. Функции Бесселя дробного индекса.....................................................................................................628 11.7.2.1. Определения...................................................................................................................................628 11.7.2.2. Функциональные соотношения....................................................................................................631 11.8. Функции, связанные с функциями Бесселя ..................................................................................................644 11.8.1 Многочлены Неймана .............................................................................................................................644 11.8.1.1. Определения...................................................................................................................................644 11.8.1.2. Функциональные соотношения....................................................................................................645 11.8.1.3. Интегральные представления .......................................................................................................645 11.8.2. Многочлены Шлефли.............................................................................................................................646 11.8.2.1. Определения...................................................................................................................................646 11.8.2.2. Функциональные соотношения....................................................................................................646 11.8.2.3. Интегральное представление........................................................................................................646 11.8.3. Функция распределения Релея-Райса ...................................................................................................646 11.8.3.1. Определение...................................................................................................................................646 11.8.3.2. Функциональные соотношения....................................................................................................647 11.8.3.3. Интегральные представления .......................................................................................................648 11.8.3.4. Связь с другими функциями.........................................................................................................649 11.8.3.5. Представления в виде ряда ...........................................................................................................658 11.9. Цилиндрические функции от двух мнимых переменных ...........................................................................658 11.9.1. Определения ...........................................................................................................................................658 11.9.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................659 11.9.3. Интегральные представления................................................................................................................666 11.9.4. Связь с другими функциями..................................................................................................................667 11.10. Неполные цилиндрические функции ..........................................................................................................667 11.10.1. Введение................................................................................................................................................667 11.10.2. Определение неполных цилиндрических функций...........................................................................668 11.10.2.1. Неполные цилиндрические функции в форме Пуассона .........................................................668 11.10.2.2. Неполные цилиндрические функции в форме Бесселя ...........................................................672 11.10.2.3. Неполные цилиндрические функции в форме Сонина-Шлефли.............................................684 11.10.3. Функциональные соотношения...........................................................................................................685 11.10.4. Интегральные представления..............................................................................................................690 11.10.5. Определённые интегралы от неполных цилиндрических функций ................................................690 Глава 12. ФУНКЦИИ СТРУВЕ И РОДСТВЕННЫЕ ИМ ФУНКЦИИ ..............................................................692 12.1. Функции Струве..............................................................................................................................................692 12.1.1. Определения ...........................................................................................................................................692 12.1.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................692 12.1.3. Интегральные представления................................................................................................................695 12.1.4. Представления в виде ряда....................................................................................................................695 12.1.5. Связь с другими функциями..................................................................................................................696 12.1.6. Неопределённые интегралы от функций Струве.................................................................................696 12.1.7. Определённые интегралы от функций Струве ....................................................................................697 12.1.7.1. Функции Струве и элементарные функции.................................................................................697 12.1.7.2. Функции Струве и специальные функции...................................................................................701 12.2. Модифицированные функции Струве...........................................................................................................706 12.2.1. Определения ...........................................................................................................................................706 12.2.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................706 12.2.3. Интегральные представления................................................................................................................708 12.2.4. Представления в виде ряда....................................................................................................................708 12.2.5. Неопределённые интегралы от модифицированных функций Струве..............................................709 12.2.6. Определённые интегралы от модифицированных функций Струве .................................................710 12.2.6.1. Модифицированные функции Струве и элементарные функции .............................................710
Оглавление 9 12.2.6.2. Модифицированные функции Струве и специальные функции ...............................................713 12.3. Функции Ангера и Вебера..............................................................................................................................716 12.3.1. Определения ...........................................................................................................................................716 12.3.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................716 12.3.3. Интегральные представления................................................................................................................717 12.3.4. Представления в виде ряда....................................................................................................................718 12.3.5. Определённые интегралы от функций Ангера и Вебера ....................................................................718 Глава 13. ФУНКЦИИ ЛОММЕЛЯ............................................................................................................................720 13.1. Функции Ломмеля одной переменной..........................................................................................................720 13.1.1. Определения ...........................................................................................................................................720 13.1.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................720 13.1.3. Связь с другими функциями..................................................................................................................726 13.1.4. Интегральные представления................................................................................................................733 13.1.5. Определённые интегралы от функций Ломмеля одной переменной.................................................733 13.2. Функции Ломмеля двух переменных............................................................................................................735 13.2.1. Определения ...........................................................................................................................................735 13.2.2. Частные значения ...................................................................................................................................736 13.2.3. Функциональные соотношения.............................................................................................................737 13.2.4. Связь с другими функциями..................................................................................................................738 13.2.5. Интегральные представления................................................................................................................738 13.2.6. Представления в виде ряда....................................................................................................................743 13.2.7. Определённые интегралы от функций Ломмеля двух переменных...................................................748 Глава 14. ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ..............................................................................749 14.1. Определения....................................................................................................................................................749 14.2. Функциональные соотношения .....................................................................................................................749 14.3. Частные значения............................................................................................................................................750 14.4. Связь с другими функциями ..........................................................................................................................781 14.5. Интегральные представления ........................................................................................................................781 14.6. Асимптотические ряды...................................................................................................................................782 14.7. Определённые интегралы от функций параболического цилиндра...........................................................783 14.7.1. Функции параболического цилиндра и элементарные функции..................................................783 14.7.2. Функции параболического цилиндра и специальные функции ...................................................789 Глава 15. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ..................................................................................................794 15.1. Общие замечания об ортогональных многочленах......................................................................................794 15.2. Многочлены Лежандра...................................................................................................................................794 15.2.1. Определения ...........................................................................................................................................794 15.2.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................795 15.2.3. Связь с другими функциями..................................................................................................................795 15.2.4. Интегральные представления................................................................................................................796 15.2.5. Разложение функций по многочленам Лежандра ...............................................................................796 15.2.6. Определённые интегралы от многочленов Лежандра.........................................................................798 15.2.6.1. Многочлены Лежандра и элементарные функции......................................................................798 15.2.6.2. Многочлены Лежандра и специальные функции .......................................................................803 15.3. Многочлены Эрмита.......................................................................................................................................807 15.3.1. Определение ...........................................................................................................................................807 15.3.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................808 15.3.3. Связь с другими функциями..................................................................................................................808 15.3.4. Интегральные представления................................................................................................................809 15.3.5. Разложение функций по многочленам Эрмита....................................................................................809 15.3.6. Интегралы от многочленов Эрмита......................................................................................................810 15.3.6.1. Многочлены Эрмита и элементарные функции..........................................................................810 15.3.6.2. Многочлены Эрмита и специальные функции............................................................................814 15.4. Многочлены Лагерра......................................................................................................................................815 15.4.1. Определение ...........................................................................................................................................815 15.4.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................816 15.4.3. Связь с другими функциями..................................................................................................................817 15.4.4. Интегральные представления................................................................................................................817 15.4.5. Разложение функций по многочленам Лагерра...................................................................................817 15.4.6. Неопределённые и определённые интегралы от многочленов Лагерра............................................819 15.4.6.1. Многочлены Лагерра и элементарные функции.........................................................................819 15.4.6.2. Многочлены Лагерра и специальные функции...........................................................................822 15.5. Многочлены Якоби.........................................................................................................................................825
Оглавление 10 15.5.1. Определение ...........................................................................................................................................825 15.5.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................825 15.5.3. Связь с другими функциями..................................................................................................................826 15.5.4. Разложение функций по многочленам Якоби......................................................................................827 15.5.5. Определённые интегралы от многочленов Якоби...............................................................................827 15.6. Многочлены Гегенбауэра...............................................................................................................................829 15.6.1. Определение ...........................................................................................................................................829 15.6.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................830 15.6.3. Связь с другими функциями..................................................................................................................831 15.6.4. Интегральные представления................................................................................................................831 15.6.5. Разложение функций по многочленам Гегенбауэра............................................................................831 15.6.6. Интегралы от многочленов Гегенбауэра..............................................................................................832 15.6.6.1. Многочлены Гегенбауэра и элементарные функции..................................................................832 15.6.6.2. Многочлены Гегенбауэра и специальные функции ...................................................................835 15.7. Многочлены Чебышева ..................................................................................................................................836 15.7.1. Многочлены Чебышева первого рода ..................................................................................................836 15.7.1.1. Определение...................................................................................................................................836 15.7.1.2. Функциональные соотношения....................................................................................................837 15.7.1.3. Связь с другими функциями.........................................................................................................838 15.7.1.4. Интегральные представления .......................................................................................................839 15.7.1.5. Разложение функций по многочленам Чебышева первого рода ...............................................839 15.7.1.6. Интегралы от многочленов Чебышева первого рода .................................................................840 15.7.1.6.1. Многочлены Чебышева первого рода и элементарные функции .....................................840 15.7.1.6.2. Многочлены Чебышева первого рода и специальные функции .......................................842 15.7.2. Многочлены Чебышева второго рода...................................................................................................843 15.7.2.1. Определение...................................................................................................................................843 15.7.2.2. Функциональные соотношения....................................................................................................843 15.7.2.3. Связь с другими функциями.........................................................................................................844 15.7.2.4. Разложение функций по многочленам Чебышева второго рода ...............................................845 15.7.2.5. Интегральные представления .......................................................................................................845 15.7.2.6. Интегралы от многочленов Чебышева второго рода..................................................................845 Глава 16. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ..................................................................................................................847 16.1. Определения....................................................................................................................................................847 16.2. Функциональные соотношения .....................................................................................................................849 16.3. Связь с другими функциями ..........................................................................................................................867 16.4. Интегральные представления ........................................................................................................................870 16.5. Неопределённые интегралы от сферических функций................................................................................872 16.6. Определённые интегралы от сферических функций ...................................................................................877 16.6.1. Сферические и элементарные функции ...............................................................................................877 16.6.2. Сферические и другие специальные функции.....................................................................................891 16.7. Функции конуса ..............................................................................................................................................898 16.7.1. Определение ...........................................................................................................................................898 16.7.2. Функциональные соотношения.............................................................................................................901 16.7.3. Интегральные представления................................................................................................................902 16.7.4. Определённые интегралы от функций конуса.....................................................................................902 16.7.4.1. Функции конуса и элементарные функции ..............................................................................902 18.7.4.2. Функции конуса и специальные функции ................................................................................918 УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ, НЕКОТОРЫХ ПОСТОЯННЫХ И СИМВОЛОВ................927 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ.....................................................................................................................935
ВВЕДЕНИЕ Книга «Специальные функции» является второй книгой справочного руководства по математике, первая из которых «Элементарные функции» опубликована в издательстве Уральского университета в 2014 году. В отличие от известных справочных руководств в книге «Специальные функции» значительно расширены разделы, касающиеся таких специальных функций как функция Лобачевского, дилогарифм Эйлера, интеграл вероятностей, дополнены разделы по неполным и полным эллиптическим интегралам, по интегра лам Френеля, функциям Бесселя и модифицированным функциям Бесселя, по интегральной показательной функции и родственным ей функциям, по функциям Неймана, функциям Макдональда, по гамма–функции и родственным ей функциям, по функциям Кельвина, функциям Струве и модифицированным функциям Струве, введены новые разделы по функции распределения Релея – Райса и неполным цилиндрическим функциям, содержатся заимствованные из различных литературных источников разделы по функции Клаузена, функциям Ханкеля, цилиндрическим функциям от двух мнимых переменных, по функциям Ангера и Вебера, функциям Ломмеля одной и двух переменных, функциям параболического цилиндра, ортогональ ным многочленам и сферическим функциям. Данная книга является наиболее полным справочным руководством по специальным функциям. В ней достаточно подробно изложены основные свойства упомянутых специальных функций, их интегральные представления, таблицы неопределенных и определенных интегралов, а также представления в виде ряда. Приведённые таблицы их значений будут полезны пользователю при проведении расчётов. Некоторые результаты работы получены авторами самостоятельно и публикуются впервые. Поэтому можно надеяться, что данная книга будет служить ценным учебным пособием для студен тов втузов, полезна для преподавателей и научных работников, а также для инженеров исследовательских и проектных организаций при решении различных прикладных задач, требующих применения аппарата спе циальных функций. Для большинства специальных функций, таблицы которых в узловых точках даны в настоящем издании, промежуточные значения могут быть получены с помощью интерполяционных формул Лагранжа. Интерполяция с требуемой точностью обеспечивается выбором соответствующего числа узловых точек, используемых в интерполяционной формуле. Обозначения, используемые в настоящем справочном руководстве, как правило, общеприняты в математической литературе и приводятся в указателе в конце книги. Формулы нумеруются с левой стороны. При ссылках запись в виде 1.5.1.3 обозначает формулу 3 из раздела 1.5.1. На материалы, заимствованные из литературных источников, делаются соответствующие ссылки. В формулах, номера которых помечены звездочкой, устранены замеченные опечатки. Список основных литературных источников приведен в конце книги. Обозначения, используемые в настоящем справочном руководстве, как правило, общеприняты в математической литературе и приводятся в указателе в конце книги. На материалы, заимствованные из литературных источников, делаются соответ ствующие ссылки. При обработке такого большого количества формул, содержащихся в данной книге, возможны опе чатки и ошибки. Всем читателям, приславшим свои замечания и предложения по улучшению книги, авторы будут очень признательны и заранее выражают им свою благодарность.
Глава 1
ФУНКЦИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
1.1. Определение
Символом ( )
L x Н. И. Лобачевский обозначает функцию, определённую следующим рядом [21, 49]
( )
(
)
(
)
2
1
1
1
1
ln 2
sin 2
2
k
k
L x
x
k x
k
∞
−
=
−
=
−
∑
.
Этот ряд сходится при всех вещественных значениях x , и его сумма представляет непрерывную функцию
x . Эта функция на отрезке [
]
2,
2
−π
π
совпадает с интегралом [21, 49, 59]
( )
(
)
0
ln cos
x
L x
t dt
= −∫
.
График функции
( )
L x приведен на рис. 1.1, а значения этой функции, заимствованные из [49],
представлены в таблице 1.1 для аргумента x , выраженного в градусах.
Таблица 1.1
Функция Лобачевского ( )
L x .
x °
( )
L x
x °
( )
L x
x °
( )
L x
x °
( )
L x
x °
( )
L x
0
0,0000000
20
0,007177
40
0,05976
60
0,21839
80
0,60929
1
0,0000009
21
0,008319
41
0,06455
61
0,23076
81
0,64074
2
0,0000071
22
0,009578
42
0,06959
62
0,24367
82
0,67412
3
0,0000239
23
0,010960
43
0,07491
63
0,25716
83
0,70967
4
0,0000567
24
0,012471
44
0,08052
64
0,27124
84
0,74771
5
0,0001108
25
0,014119
45
0,08641
65
0,28596
85
0,78866
6
0,0001916
26
0,015908
46
0,09262
66
0,30132
86
0,83312
7
0,0003044
27
0,017846
47
0,09914
67
0,31737
87
0,88198
8
0,0004546
28
0,019938
48
0,10598
68
0,33413
88
0,93677
9
0,0006476
29
0,022193
49
0,11316
69
0,35165
89
1,00068
10
0,0008888
30
0,024617
50
0,12070
70
0,36997
90
1,08879
11
0,001184
31
0,02722
51
0,12859
71
0,38912
91
1,17690
12
0,001538
32
0,03000
52
0,13687
72
0,40916
92
1,24082
13
0,001957
33
0,03297
53
0,14553
73
0,43013
93
1,29560
14
0,002446
34
0,03614
54
0,15460
74
0,45210
94
1,34446
15
0,003011
35
0,03952
55
0,16409
75
0,47514
95
1,38892
16
0,003658
36
0,04311
56
0,17401
76
0,49931
96
1,42987
17
0,004392
37
0,04692
57
0,18438
77
0,52471
97
1,46791
18
0,005220
38
0,05096
58
0,19522
78
0,55142
98
1,50347
19
0,006146
39
0,05524
59
0,20655
79
0,57957
99
1,53684
20
0,007177
40
0,05976
60
0,21839
80
0,60929
100
1,56829
Другие значения функции ( )
L x могут быть определены по формуле
( )
1
ln 2
2
2
4
2
2
L
L
L
π
π
π
+ ∆ =
+ ∆
−
∆ −
− ∆
.
Из рис. 1.1 следует, что график функции
( )
L x является гладкой кривой, не имеющей точек разрыва. При
этом
в
точках
{
}
,
ln 2
x
n
y
n
=
π
=
π
касательная
параллельна
оси
абсцисс,
а
в
точках
1
1
,
ln 2
2
2
x
n
y
n
=
+
π
=
+
π
касательная параллельна оси ординат (здесь n – произвольное целое число
1.2. Функциональные соотношения 13 или нуль). Следует заметить, что упомянутые точки лежат на прямой ln 2 y x = , изображенной на рис. 1.1 тонкой линией, и являются точками перегиба функции ( ) L x [49]. 0 90 180 270 -90 -180 -270 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x L (x ) Рис. 1.1. График функции Лобачевского ( ) L x . 1.2. Функциональные соотношения 1. ( ) ( ) L x L x − = − [21, 49] 2. ( ) ( ) ln 2 L x L x π − = π − [21, 49] 3. ( ) ( ) ln 2 L x L x π + = π + [21, 49] 4. ( ) 1 ln 2 2 2 4 2 2 L x L x x L x π π π − − = − − − [21, 49] 5. 1 2 2 ln 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 x x L x x L x L L π π π π π − = − + − − + + − 6. 1 3 2 ln 2 3 2 3 2 6 6 L x x L x L x L x π π π π π − = − + − − + + − 7. ( ) 1 0 1 1 ln 2 2 2 2 n k k L n x n x L x n n n − = π π π π − = − − + − − ∑ 8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos 1 arctg arctg 2 2 sin 2 sin sin cos 1 ln 2 arctg arctg 2 cos 2 sin 1 arc 2 x y x y L x L x L y L y L L y x x y x y x y x y L L x y x y x y L x y − − π π + − + + − = + − + − + + + − π − + + + + + − + + + − ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos 1 tg arctg sin 2 sin x y x y L x y x y x y − − + − + + + [49] 9. ( ) ( ) ln cos d L x x dx = − [49] ( ) x L x
Глава 1. Функция Лобачевского 14 10. ( ) ( ) ln 2 L k x k L x π + = π + [49] 11. 0 1 arctg ln ln 2 arctg 1 2 2 lim x x x L x x → π π + − − = 12. ( ) 0 ln 2 arccos ln 0 2 lim x L x x → π − = 13. ( ) 0 arcsin ln 0 lim x L x x → = 1.3. Частные значения 1. ( ) 0 0 L = [49] 2. ln 2 4 4 2 L π π = − G , G – постоянная Каталана (G = 0,91596559417721901505…) [49] 3. ln 2 2 2 L π π = [49] 4. 3 3 ln 2 4 4 2 L π π = + G [49] 5. ( ) ln 2 L π = π [49] 6. 5 5 ln 2 4 4 2 L π π = − G 7. 3 3 ln 2 2 2 L π π = 8. 7 7 ln 2 4 4 2 L π π = + G 9. ( ) 2 2 ln 2 L π = π [49] 10. 9 9 ln 2 4 4 2 L π π = − G 11. 5 2 ln 2 12 12 2 3 L L π π π + = − G 12. 3 ln 2 8 8 4 4 L L π π π − = − G 13. 7 8 8 3 ln 2 12 6 6 3 L L π π π + = − G 14. 2 3 ln 2 3 6 6 L L π π π − = 15. ( ) 2 4 ln 2 2 3 12 3 L L π π + = π − G 16. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 arctg arctg arctg 2 1 arctg 2 1 arctg 2 1 ln 2 1 4 L i L L L i π + = + + − − − − + 1.5. Интегральные представления 15 17. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 arctg arctg ln 2 1 ln 2 Li 2 2 3 Li 2 2 3 4 L i L i i − = + + − − − − 1.4. Cвязь с другими функциями 1. ( ) ( ) 2 1 ln 2 Cl 2 , 2 L x x x = − π − где ( ) 2 Cl y – функция Клаузена. 2. ( ) ( ) 2 2 2 2 ln 2 Li e , 2 12 i x i L x x x π = + − − − где ( ) 2 Li y – дилогарифм Эйлера. 3. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 arctg arctg ln 2 ln arctg Li Li 2 2 4 L x L x x x i ix x π π − + = + + − − [57] 4. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 arcsin arcsin 1 1 2 ln 2 ln Li 1 1 Li 1 1 2 2 arcsin x x x i i x x x x x L L x i π − − − π − − − − − + = + + − 5. 2 2 1 ln ln 2 ln Li Li 2 2 2 i b a i b a b a a b L b a b a a b b a + + + − = + − − − − + 6. 2 2 1 ln ln ln 2 ln Li Li 2 2 2 2 2 i b a i b a b a b a b a L L i b a b a b a b a b a π + π + + + − + − − = + − − − − − + 1.5. Интегральные представления 1.5.1. Неопределённые интегралы 1. ( ) ln tg sin cos 2 xdx x x L x L x x x π = − − − ∫ 2. cos ln sin sin 2 dx x x x x L x x π = − − ∫ 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 1 ln cos cos sin 2 cos x x dx x L x L x x x x α − = − α + − α − α − α + α α + ∫ [21, 49] 4. 2 ln tg ln tg 2 2 2 cos 4 2 2 2 sin cos x dx x x x x x x L L x x x π π − = + − + − − ∫ 5. ( ) [ ] 2 2 sin 1 ln 2ln arctg tg cos 2 cos 2 2 arctg tg 2 arctg tg 2 , 0 2 2 2 2 2 2 2 x x dx b a a b a b x x a b x b a b x b a b x a b x x a b x L L L x a b a b a b + − − = + + + + + π − π − π + − + − − + + − ≥ > + + ∫ 6. ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ] 2 2 2 sin 1 sin cos 1 ln 2ln arctg 2 sin 1 sin 1 sin 1 sin 2 arctg 2 arctg , 0 4 2 1 sin 4 2 1 sin a b x a b x x xdx a a b x L x a b x b b b a b x a b x a b x x x L L a b a b x a b x + − − + − = + + − + + + − − − − π π − + − − + + ≥ > + + + + ∫
Глава 1. Функция Лобачевского 16 7. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 sin 2 2 ln 2ln arctg tg 2 2 cos 2 2 cos cos 2 2 arctg tg 2 arctg tg arc 2 2 2 2 2 2 x x dx b a a b a b x ax x L x a b x b a b a b x b a b x x a b x x a b x a L L a b a b a b + − − π = + + − − + + + + + π − π − + − + − − + + + + − ∫ [ ] tg tg , 2 0 a b x a b a b − + ≥ > 8. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 sin 2 1 sin 1 sin 1 ln arctg arctg 1 sin 4 2 1 sin sin 1 sin 2 sin arctg ln arc 4 2 1 sin 2 2 sin x x dx a b x a b x a a b x L L x b a b x a b x b a b x a b x a b x x x ax a L a b x b a b x a b − − − − + − π = − + − + − + + + + + − − + π − + + + + + + + + − ∫ ( )( ) ( )( ) [ ] 1 sin tg , 1 sin 0 a b x a b x a b − − + + ≥ > 9. ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 cos sin 1 ln 2 2 arctg tg cos cos cos 2 2 2 2 2 arctg tg 2ln arctg tg , 0 2 2 2 2 a b x x x dx x a b x x L x L x L x a b x a b x a b x a b x a a b a b x L a b a b b a b + π π − = − − − − − + + + + π − + − − + − + − ≥ > + + ∫ 10. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 1 sin cos 1 sin ln 2 2 arctg sin sin 2 sin 2 4 2 1 sin 1 sin 1 sin 2 arctg 2ln arctg 4 2 1 sin 1 sin a b x x x dx b x x x L x L x L x a b x a a b x a b x a b x a b x x a a b L a b x a a b x − − π π = − − − + + − + + + + + − − − − π + − + + + − + + + + ∫ [ ] , 0 a b ≥ > 11. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin 1 ln sin sin sin 2 sin 2 2 x x dx x L x L x x x x α + π π = − − α + − − α − α − α + α α − ∫ 12. ( ) 3 2 tg ln tg 2 2 sin cos 2cos x dx x x x x L x L x x x x π = + − − − − ∫ 13. 2 ln tg ln tg 2 2 4 2 sin 2 4 2 4 2 sin cos x dx x x x x x x L L x x x π π π = + − + − + − − ∫ 14. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 tg tg ln cos cos cos sin 2 cos ln cos 2ctg 2 ln cos x dx x x x x x x x x L x L x x x = α + − α − + α + + α − α + α α − + α − + α α + + α − − α + ∫ 15. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ctg ctg ln sin sin sin sin 2 sin ln sin 2ctg 2 ln 2 2 sin x dx x x x x x x x x L x L x x x = α − − α + + α + + α − α + α α + π π + α − − α − α + + − α − − α − ∫ 16. 2 sin ln tg sin cos 2 2 cos 4 2 4 2 4 2 x x dx x x x x x x x L L x π π π = + − − − − − + ∫ 17. 2 3 2 sin sin 1 ln tg 2 4 2 2cos 4 2 4 2 cos 2cos x x dx x x x x x x L L x x x π π π = − + − + − + + ∫
1.5. Интегральные представления 17 18. ( ) 3 3 2 3 sin 1 tg tg ln cos tg 2 2 2 cos x x dx x x x x dx x x x x L x x = = + + − + ∫ ∫ 19. 4 3 3 sin cos 4cos sin sin ln tg 2 2 cos 9 3 3 4 2 4 2 4 2 x x dx x x x x x x x x x x L L x π π π = − − − + + − − − + ∫ 20. 2 cos cos sin ln tg 2 2 sin 2 2 2 x xdx x x x x x x x L L x π − = − + − − ∫ 21. 2 3 2 cos cos 1 ln tg 2 2 2 2 2sin sin 2sin x xdx x x x x x x L L x x x π − = + − − − ∫ 22. ( ) 3 2 cos 1 cos ln sin sin 2 sin 2 4 8 2 x x dx x x x x x x L x x π = + − − − − ∫ 23. 4 3 3 cos cos 4sin sin cos ln tg 2 2 sin 3 2 3 9 2 2 x xdx x x x x x x x x x x L L x π − = + + − + − − ∫ 24. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 cos sin sin arctg 2 sin sin sin sin sin sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin ln arcsin ln sin cos sin sin x x dx x L x x x x x x x x π α β − = − + β − α α − β − α β − α α β − + β − α α + β − + − β β α − ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 sin cos sin sin 1 cos sin sin arcsin arctg arctg 2 sin sin 2 sin sin sin sin sin 1 sin cos sin arcsin arctg 2 sin sin x x x L L x x x x L x α − β α β − α β − − π − − − + − β β − α β − α α β − − − β 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 cos sin sin arctg 2 sin sin sin sin sin 1 cos sin sin 1 cos sin sin arctg arctg 2 sin 2 sin sin sin sin sin x x L x x x L x L x x α β − − α − + β − α β − α α β − α β − + − + α + β − α β − α [ ] , β > α [49] 25. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 sin 1 ln arctg 1 tg arctg 1 tg 2 2 1 sin 1 1 cos arctg 1 tg ln arctg 1 2 2 2 2 2 1 cos k x xdx x x k k k k k k x k k k k x x x x L k k x L k k k k x + + = + − − + + + + + + − π π + − + + − + − − + + + − + ∫ ( ) ( ) 2 2 tg 2 arctg 1 tg arctg 1 tg 2 2 2 2 2 2 x x x x x L k k L k k − π π − − + + − + − + + + 26. 2 2 2 2 2 sin 1 cos 2ln arctg tg arctg tg ln 2 2 2 cos cos 2 arctg tg 2 arctg 2 2 2 2 2 a a b x xdx a b x a b x a b x x ab b a b a b a b x a b x x a b x x a L L a b + − − + − = − + + + − + − π − π + − + − − + + ∫ tg 2 arctg tg 2 2 2 2 2 arctg tg 2 2 2 b x x a b x L a b a b x a b x L a b + π − − − + + − + π + + − + − 27. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 ln 2 arctg 1 tg 2 2 1 sin 2 4 1 sin 1 1 2arctg 1 tg ln arctg 1 tg 2 x x xdx k x L x L x k x k x k k x k k x L x k x k π π = + − − − − − + − − + − π + − − − + − ∫
Глава 1. Функция Лобачевского 18 28. ( ) 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 ln arctg tg arctg tg 2 2 2 cos cos ln arctg tg 2 2 2 2 cos a a b x xdx a a b x a b x b a b a b a b a b a b x a b x x a b x x x L L a b a b x + − − + = − − + + − − − − π − + + − + − − + − ∫ 2 2 2 arctg tg 2 2 cos arctg tg arctg tg 2 2 2 2 2 2 cos a b x a b ab x x x a b x x a b x L L a b a b a b x π + + − − π − π + − − − + + − + + − − 29. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 cos sin 1 ln arctg 1 tg 2 2 2 1 cos 1 sin 2 1 1 cos arctg 1 tg arctg 1 tg 2 2 2 2 2 2 1 k k x x x dx x x x L k k k k x k x k k k x k x x x x x L k k L k k + − π = + − + + − − − + + + + π π − − + + + − − + + − − + ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 1 arctg 1 tg ln 1 arctg 1 tg 2 2 2 2 arctg 1 tg 2 k x k x x x L k k k k k k x k k + + + π + − + + + + − + + − − − + + 30. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin cos 1 arctg arctg 4 2 1 sin 2 4 1 sin sin 1 sin sin ln ln arctg ar 1 sin sin a b x a b x x xdx x x L L ab a b x a b x a b x a b x a a b a b x x b a b x a b x + − − − π π = + − − + − + − + + + − − − + − + + + − + + − ∫ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 sin ctg 1 sin 1 sin 1 sin arctg arctg 2 4 1 sin 4 2 1 sin a b x a b x a b x a b x x x L L a b x a b x + − − − + − − + − π π − + + + + + + + − + 31. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin cos 1 arctg arctg 4 2 1 sin 2 4 1 sin 2 sin 1 sin ln arctg arctg 1 sin a b x a b x x x dx x x L L a b x a b x a b a b x a b x a a b a b a b x a b + − − − π π = + − − + − − − + + + − − − + − − − − + + − ∫ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 1 sin sin 1 sin sin 1 sin 1 sin sin ln arctg arctg 2 4 1 sin 4 2 1 sin sin a b x ab x x a b x a b x a b x a b x a b x x x x L L a b x a b x a b x + − + + − + − − − + − + ⋅ π π + − + + + + + + + − + − 32. ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 1 1 ln 2 arctg 1 tg 2 2 2 2 1 sin 2 1 sin 1 1 1 sin cos arctg 1 tg ln arctg 1 tg sin 2 2 2 4 x x xdx k x L x L x k x k x k k x k x x x x k x L x k x x k k k π π = + − − − + − + − − + − π − + − − − − − − + ∫ 33. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tg 1 cos 1 1 ln arctg arctg , 2 2 2 2 sin sin x xdx b x a a x L x L x L x a b b b a b x b a a b x − − − − − − − π π = + + + > ∫ 34. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ctg 1 sin 1 1 ln arcsin arcsin , 2 2 2 2 2 sin sin x x dx b x a a x L x L x L x a b b b a b x a a b x π π π = − − − + − + − − > − − ∫
1.5. Интегральные представления 19 35. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 3 2 2 2 2 4 2 2 2 1 sin 1 sin sin cos arctg arctg 2 2 4 1 sin 4 2 1 sin sin 1 sin ln arctg 2 4 1 sin 2 sin a b x a b x x x xdx a x x L L L x a b x a b x a b x b a b x b x x L a b x a b x − − + − π π = + + + + + − + + + − + − − − π + + + − + + + − ∫ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin arctg 4 2 1 sin 1 sin 1 sin sin 2 sin ln arctg arctg , 1 sin 1 sin 2 4 8 a b x x L a b x a b x a b x x a a b x x x a b b a b x a b x b b b + − π + − − − + − − + − + − − + − + − > + + − + 36. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin sin cos 1 ln arctg 2 4 1 sin 4 2 2 sin 2 sin sin 1 sin 1 sin arctg arctg 1 sin 2 4 1 sin a b x x x x dx a x b x x x L L a b x b a b x a b x a b x a b x a b x x L a b x a b x = − − − − − − − π π + + + + + + − + − − − π + − + − − + + + ∫ ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 1 sin arctg 4 2 1 sin 1 sin 1 sin 2 ln arctg arctg , 1 sin 1 sin a b x x L a b x a b x a b x a a a b L x a b b a b x a b x a b + − π − + − + − + − − + − + − + + + + > + + − + − 37. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 1 sin cos arctg 1 tg 2 2 1 sin 1 1 cos 1 1 ln arctg 1 tg arctg 1 tg ln 2 2 1 sin x xdx x x x x x L k k k x k k k k k x k x x x x k k k k L k k x − π = − − + + − + + + + − + + − π + + + − − + + − + ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 arctg 1 tg arctg 1 tg arctg 1 tg 2 2 2 2 2 x x x x x k k L k k L k k + π − π − + + + − + + − + + + + 38. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 1 cos 1 1 sin 1 1 2 ln 1 1 sin 1 sin 2 1 arctg 1 tg arctg 1 tg arctg 1 tg 2 2 2 2 1 2 k x k x k x x dx k k k k x k x k k x x x x k k k k L k k k + + + = + + + + × + + + π − × + − − + + + + + + + + + ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 cos ln arctg 1 tg 2 2 1 sin arctg 1 tg arctg 1 tg 2 2 2 2 k k x x x x L k k k x x x x x L k k L k k + − − π + + + − − + − π π − − + + + − + + − 39. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 sin cos 1 sin cos sin ln arctg 4 2 1 sin sin sin 1 sin 1 sin arctg arctg 2 4 1 sin 1 sin a b x x xdx a b a b x x x x x x L a b x a b x b ab a b x a b x a b x x L a b x a b x + − − + π = + − + + − − − + − − − − − − π − + − + − + + + + ∫ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 sin arctg 1 sin 1 sin 1 sin ln arctg arctg , 2 4 1 sin 4 2 1 sin a b x a b x a b x a b x a a b x x L L a b b a b x a b x + − × − + − − + − + − π π × − + + + + + > + + − + 40. ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 sin 2 1 1 sin cos 1 1 ln 2 arctg 1 tg ln 2 2 1 sin 8 2 1 sin x k x x xdx k k x L x k x k k x k k k x + − − π = − + − + − − − − ∫
Доступ онлайн
845 ₽
В корзину