Курс математического анализа: в 5 частях. Часть 3

ББК 22.161
В49

Р е ц е н з е н т ы: д-р физ.-мат. наук А. Б. Александров (Петерб. отд. матем. ин-та
им. В. А. Стеклова), д-р физ.-мат. наук В. В. Жук (С.-Петерб.
гос. ун-т)

Рекомендовано к печати
Ученым советом математико-механического факультета
С.-Петербургского государственного университета

В49
Виноградов О. Л., Громов А. Л.
Курс
математического
анализа:
в
5
частях.
Часть 3. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2016. — 252 с.
ISBN 978-5-288-04871-5
ISBN 978-5-288-05648-2 (ч. 3)

Книга представляет собой третью часть курса математического
анализа, читаемого на математико-механическом факультете СанктПетербургского государственного университета. Эта часть содержит
материал, традиционно входящий в третий семестр курса, и включает
следующие разделы: числовые и функциональные ряды, теория меры
и интеграла.
Для студентов математических специальностей университетов.

ББК 22.161

ISBN 978-5-288-04871-5
ISBN 978-5-288-05648-2 (ч. 3)

c⃝
Санкт-Петербургский
государственный
университет, 2016

DZ,
--DZ.

,
(,
).
:
,
.

DZ,
,
,

.

7
8
.
,
,
.
.


,
.

--DZ.
,
.
9
,
10
|
.
,
.
§
2
3
9,

.
,
{
,
.


.
,
.
.
,
(σ
-)
,
4
DZ
σ
-.
DZ§
8
9.

10
,
,

.

.

.

;
|
;
|
,
.
□ .

-DZ,
.

7.
§
1.
DZ.
|
,
,
\".

1.
.
DZ{ak}∞
k =1

|
.
∞
k =1
ak

= a

1

+ a

2

+ a

3

+ . . .

,
ak

|
.
DZ{ak}∞
k =1

.
Sn

=
nk =1
ak

.
{Sn}∞
n=1

S
(),
S
∞
k =1
ak

S
.
,
,
∞
k =1
ak

.

{Sn}∞
n=1

,
S
,
,
;
,
.

,
∞
k =1
ak

=
lim
n→∞

n
k =1
ak,

.

1.

1,
m ∈ Z.
∞
k =m
ak

7.
.
Sn

=
nk =m
ak

, n ⩾ m.

2.
{Sn}∞
n=1

∞
k =1
ak

.
a

1

= S

1,
ak

= Sk − Sk− 1

k ⩾
2.

DZ.

DZ1.
∞
k =1

0
=
0
+
0
+
0
+ . . .
0,
0.

DZ2.
∞
k =1

1
=
1
+
1
+
1
+ . . .
+∞,
Sn

= n →
+∞.

DZ3.
∞
k =0

(− 1)k

=
1 −
1
+
1 −
1
+ . . .

Sn

=
1,
n
,

0,
n
.

DZ{Sn}
,
,
,
,
.

DZ4.
DZz ∈ C.
:
∞
k =0
zk

=
1
+ z
+ z

2

+ . . .

§
1.
DZ7

DZz
=
1
− 1
2
3.

z ̸=
1

Sn

=

n
k =0
zk

=

1 − zn+1

1 − z
.

|z| <
1,
,
§
2
2, |z|n →
0,
zn →
0.
DZSn →

1

1−z

∞
k =0
zk

=

1

1 − z ,
|z| <
1.

|z| >
1,
zn → ∞;
Sn → ∞,
∞.

|z|
=
1
(.
1
),
zn ̸→
0.
,
|z|
=
1, z ̸=
1
,
.
.

DZ5.
∞
k =1

1

k (k +1)

.
n
k =1

1

k
(k
+
1)

=

n
k =1

1
k −

1

k
+
1

=
1 −

1

n
+
1 −→
n→∞

1,

1.

,

§
5
4,

,
bk +1 − bk

.
,
n− 1
k =1

(bk +1 − bk

)
= bn − b

1

(,
,

).
DZ,
∞
k =1

(bk +1 − bk

)
=
lim bn − b

1.

7.
,
{bn} .

DZ6.
§
6
3,
,
x ∈ R
∞
k =0

xk

k
!

= ex,

∞
k =0

(− 1)k

(2k
)! x

2k

=

os x,

∞
k =0

(− 1)k

(2k
+
1)!x

2k +1

=
sin x.

,
∞
k =0

1
k
!

= e.

DZ7.
∞
k =1

1
k

=
1
+

1

2

+

1

3

+ . . .

.
Hn

=

n
k =1

1
k


.

§
8
4
,
{Hn}
.
DZ, Hn →
+∞.
,
+∞.


.

.

§
1.
DZ9

1.
∞
k =1
ak

,
m ∈ N
∞
k =m+1
ak

∞
k =1
ak

=

m
k =1
ak

+

∞
k =m+1
ak.
(1)

,
m ∈ N
∞
k =m+1
ak

,
∞
k =1
ak

.

.
DZn > m

n
k =1
ak

=

m
k =1
ak

+

n
k =m+1
ak.
(2)

DZn → ∞
(2)
,
∞
k =1
ak

∞
k =m+1
ak

,
.
(1)
(2).
□

2.
∞
k =m+1
ak

∞
k =1
ak

m-.

1
,
.

2.
∞
k =1
ak

,
∞
k =m+1
ak −→
m→∞

0.
,
.

,

∞
k =m+1
ak

=

∞
k =1
ak −

m
k =1
ak −→
m→∞

∞
k =1
ak −

∞
k =1
ak

=
0.

7.
3.
.
∞
k =1
ak

,
∞
k =1
bk

, α, β ∈ R
(C),
∞
k =1

(αak

+ βbk

)
∞
k =1

(αak

+ βbk

)
= α

∞
k =1
ak

+ β

∞
k =1
bk.

n
k =1

(αak

+ βbk

)
= α

n
k =1
ak

+ β

n
k =1
bk.

1.
∞
k =1
ak

,
∞
k =1
bk

,

∞
k =1

(ak

+ bk

)
.

,
ak

+bk

,
ak

=
(ak

+ bk

) − bk

,
.

4.
{zk}
|
, xk

=
Re zk

,

yk

=
Im zk

,
∞
k =1
zk

∞
k =1
xk

∞
k =1
yk

.
DZ∞
k =1
zk

=

∞
k =1
xk

+ i

∞
k =1
yk.

,
(.
2
1 §
2
5),
|
.

5.
.
∞
k =1
ak

,
∞
k =1
bk

R, ak ⩽ bk

k ∈ N,
∞
k =1
ak ⩽

∞
k =1
bk.

§
1.
DZ
11

n
k =1
ak ⩽

n
k =1
bk.

2.
,
,

,
,
,
3.

1.
.
:
∞
k =1
ak

,
an −→
n→∞

0.

.
DZ∞
k =1
ak

= S
.
an

= Sn − Sn− 1 −→
n→∞ S − S
=
0.
□

1.
,

.

DZ1
.
:
,
.
,
∞
k =0
zk

4
|z| ⩾
1,
zn ̸→
0.

2.
{
.
∞
k =1
ak

∀ε >
0 ∃N ∈ N ∀n > N ∀p ∈ N
n+p
k =n+1
ak

< ε.

.
DZ∞
k =1
ak

Sn

=
nk =1
ak

.
{
:

∀ε >
0 ∃N ∈ N ∀n, m > N |Sm − Sn| < ε.