Теоретические основы электротехники в примерах и задачах. Часть 4. Линейные электрические цепи несинусоидального тока


Министерство образования и науки Российской Федерации


НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ





В.Ю. НЕЙМАН





                ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ





            Часть 4


            Линейные электрические цепи несинусоидального тока



Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия







НОВОСИБИРСК
2011

УДК 621.3.011.71(075.8)
      Н 46




Рецензенты: д-р техн. наук, проф. А.В. Сапсалев, канд. техн. наук, доц. Ю.В. Петренко


Работа подготовлена на кафедре теоретических основ электротехники для студентов дневного и заочного отделений электротехнических специальностей


     Нейман В.Ю.

Н 46 Теоретические основы электротехники в примерах и задачах. Ч. 4. Линейные электрические цепи несинусоидального тока: учеб. пособие / В.Ю. Нейман. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011.- 182 с.

         ISBN 978-5-7782-1821-5


         В пособии на значительном числе примеров решения типовых задач рассматриваются методы расчета линейных электрических цепей при воздействии периодических несинусоидальных источников напряжения и тока. Предлагаются аналогичные задачи для самостоятельного решения с ответами.
         Показаны приемы использования персонального компьютера для автоматизации расчетов электрических цепей.
         Структура и содержание пособия соответствуют программе курса «Теоретические основы электротехники» для электротехнических специальностей вузов.
         Предназначено для самостоятельной работы студентов, а также может быть полезно преподавателям при организации учебного процесса.


УДК 621.3.011.71(075.8)



ISBN 978-5-7782-1821-5

                     © Нейман В.Ю., 2011
                     © Новосибирский государственный

технический университет, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ


Введение........................................................4
1. Разложение периодических несинусоидальных кривых напряжений и токов в тригонометрический ряд Фурье.............................5
2. Расчет электрических цепей при несинусоидальных периодических ЭДС, напряжениях и токах........................................32
3. Расчет резонансных режимов в цепях несинусоидального тока...51
4. Мощность при несинусоидальных напряжениях и токах, измерения активной мощности...............................................67
5. Расчет трехфазных электрических цепей при несинусоидальных периодических ЭДС и напряжениях...................................84
6. Применение математической программной среды MathCAD при расчетах электрических цепей несинусоидального тока...............130
Библиографический список......................................173
Приложение....................................................174

    ВВЕДЕНИЕ

   Цель пособия - оказать помощь студентам, изучающим курс «Теоретические основы электротехники», в их самостоятельной работе.
   Усвоение материала из разделов курса «Линейные электрические цепи несинусоидального тока» становится возможным только с приобретением практических навыков, получаемых в процессе решения задач.
   Так же как и первые три части пособия, четвертая состоит из отдельных разделов, разбитых по темам в соответствии с программой курса. Часть задач рассмотрена с их решением. В задачах, приведенных для самостоятельного решения, даны только ответы.
   По каждой из задач изложен подробный алгоритм расчета, который поясняется на примере пяти и более задач с их решениями.
   Приведенные примеры расчета электрических цепей соответствуют типовым задачам, которые могут оказаться полезными при подготовке к практическим занятиям и выполнении домашних заданий, а также при подготовке к экзаменам, обладают требуемой сложностью и трудоемкостью.
   В качестве помощи студентам в изучении дисциплины рассмотрены приемы работы на компьютере с целью автоматизации расчетов электрических цепей в среде MathCAD. Предполагается, что учащийся имеет начальное представление о математическом пакете MathCAD из пройденного курса информатики. Это позволяет переложить выполнение рутинных математических расчетов на компьютер.

4

1. РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
 НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ КРИВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ


   При расчете цепей с несинусоидальными источниками исходят из того, что любая периодическая функция может быть представлена как сумма конечного ряда простых гармонических (синусоидальных) составляющих с соответствующей амплитудой и начальной фазой. В случае, если функция не выражается аналитически, то для определения гармонических составляющих тригонометрического ряда применяются приближенные методы гармонического анализа.
   При анализе несинусоидальных кривых, как правило, интересуют величины, связанные с определением максимального, действующего и среднего за период значения функции. Для характеристики периодических кривых используют коэффициенты амплитуды, формы и искажения.


    Задача 1.1


   Разложить в тригонометрический ряд периодическую кривую напряжения постоянной амплитуды Uₘ = 100В, выражаемую кривой (рис. 1.1). По результатам разложения, учитывая три первых члена ряда Фурье, построить в масштабе результирующую кривую заданного напряжения.


5

    Решение

   1.    Разложение в тригонометрический ряд Фурье кривой и(го t) получим в следующей форме:


f (го t) = А ₀ +£( aₖₘ cos к го t + bₖₘ sin к го t).
к I

    Учитывая симметрию кривой (рис. 1.1), можно заключить, что в тригонометрическом ряде будут отсутствовать синусоидальные (Ькт - 0) составляющие, так как функция и (го t) четная.
    В пределах заданного периода закон изменения напряжения удовлетворяет условию

и (го t) = <

Uₘ
—го. го t

го t
л

при 0 < гоt < л,

при л < го t < 2л.

	

   2.    Расчет коэффициентов ряда.
   С учетом симметрии заданного треугольника напряжений, который делится на два равных по площади участка, интегрирование ведется в пределах одной второй периода, а перед знаком интеграла ставится множитель 2.
   Постоянная составляющая:

          Г
   А ₀ - - f и (t) dt -¹ fи (го t) d го t -¹ fго td го t - (го t)²
        T0 л 0 л 0 л ²л ²


" ₌ '
0     ²

   Амплитуда синусной составляющей к-й гармоники:


T

4 ²........... 2  Л.........
Ькт -— f и (t )sin к го tdt-— Ги (го t )sin к го td го t - 0.
               T J           л J
                 0           л 0


6

   Амплитуда косинусной составляющей к-й гармоники:
                 Т
               4²rZ₄    ,   , 2 лг Uₘ    ,   ,
акт ~~ Iи (t )cos к ю tdt - — I—— ю t cos к го td го t                Т о             л о л


                ²U—IЮt . , ,1
                —— I —smкюt -I—-cos кюt
                 л² к к к ²


л
о

- Ць (cos к л-1) = ²  [(-1к) -1].
л к             л к L J
    3.   Тригонометрический ряд Фурье будет иметь вид
и(ю t) - ⁻— + У ²U—- [(-1к) -1] cos кю t.
²   к-1 л² к ² [   J

    По результатам разложения, учитывая только три первых члена ряда, получим
U   4U          4U
и(юt) --—-----— cosюt-----тcos3rot 2   л²          9л²
- 50 - 40,57cosюt -4,51cos3юtB .

    4. Результирующая кривая заданного напряжения, построенная в масштабе по первым трем членам тригонометрического ряда, изображена на рис. 1.2.

    Задача 1.2

    Разложить в тригонометрический ряд периодическую кривую напряжения с амплитудой Uт - 200 В, указанную на рис. 1.3, а. Рассчитать действующее значение напряжения путем непосредственного интегрирования заданной функции и (ю t). Ограничиваясь первыми тремя членами тригонометрического ряда, оценить влияние отброшенных гармоник на величину действующего значения напряжения. Оценить

7

влияние неучтенных гармоник тригонометрического ряда на изображение временной диаграммы напряжения.

Рис. 1.3


    Решение


    1.    Периодическая кривая (рис. 1.3, а) симметрична относительно начала координат, следовательно, можно заключить, что тригонометрический ряд этой функции не содержит постоянной составляющей (А₀ = 0) и косинусоидальных гармоник (акт = 0).
    На интервале 0... л закон изменения напряжения удовлетворяет

условию

и (ю t) = <

2 Uₘ
л

л
юt при 0 < Юt <у,

ит

л , , , при —< ю t < л.

8

   2.    Расчет коэффициентов ряда.
   Постоянная составляющая:
                    1  Т      j 2л
Ао - — |и (t) dt - — J" и (го t) dго t - 0 .
                    Т0        ²<
   С учетом симметрии заданной формы напряжения (рис. 1.3, а), которая делится на две равных по площади трапеции, интегрирование выполним в пределах одной второй периода, а интегральную сумму домножим на два.
   Амплитуда синусной составляющей к-й гармоники:
                  Т
            ,    4 2 z ч . ,  2 2 л z ч . ,   ,
Ък — ~ J и (t )sin к го tdt - — Iи (го t )sin к го td го t                 Т0                ло
               л
              2²r2U„    . . .     2 Л-  . . .
= — [—— го t sm к го td го t + — [ Uₘ sin к го td го t               л 0 л               лл
                                   2

                                л
         4Uₘ(гоt ,     1 . , Л 2
         ——I----cos к го t +—sin к го t I
         Л² I к        к²    ) ₀

л
л —
2

  2Uₘ
------cos к го t л к

4U— л² к ²

. к л sin----    2

m^o cos к л -л к

2 .к л
—sin---cos к л
л к 2

л к

   Амплитуда косинусной составляющей к-й гармоники:
                 Т
               4 2 Z Ч 2    2  2 л. ч 2      2   22
ак =— I и (t )cos к го tdt = — I и (го t )cos к го td го t - 0.
               Т0              л0


   3.    Тригонометрический ряд Фурье окончательно будет иметь вид

z . х 2U— ( 2 .кл        ,_Л. , .
и (го t) = ^ —— I —sin-cos к л I sin к го t.
к₌1 л к ^л к 2         )


9

    По результатам разложения, учитывая только три первых члена тригонометрического ряда, получим

2Uₘ (2  А  . Uₘ     .     2Uₘ   ( 2  А  .
и (го t) - —m I — +1 I sin ro t-— sm2ro t -I-m I-- 1 I sm3ro t л 1л    / л               3л  l 3л   /


- 208,38sinrot - 63,66sin2rot + 33,43sin3rot В .


    Результирующая кривая несинусоидального напряжения с учтенным составом первых трех членов ряда приведена на рис. 1.3,6.
   Действующее значение напряжения:

U 
203,38
. 22 ,

63,66

33,43

2
  - 155,87В.

2
+

    4.    Действующее значение напряжения путем непосредственного интегрирования заданной функции и (го t):


2 2
⁻ ^~ Jи²⁽t⁾Ж =

U

л
                            ¹ f U-" (го t )² ж го t+¹ f Um Ж го t -п 0 Л²            лЛ m
2

⁴Um (₍3f\³ -3 ⁽го t⁾ л³ ■ 3

л
2 U²
  + —² го t
    л
0

■ 200-163,3 В.

Л

Л
2

    5.    Оценка влияния неучтенных гармоник на величину действующего напряжения:


8 u % 
U U100 % - ¹⁶³,³ ¹⁵⁵,⁸⁷100 % - 4,55%.
                  U¹              163,3

10

   6.    Изображения временных диаграмм напряжений с учтенным составом гармоник более высокого порядка к - 10 и к - 20 приведены на рис. 1.3, в, г.


    Задача 1.3


    Разложить в тригонометрический ряд функцию, выражаемую кривой периодических импульсов напряжения (рис. 1.4) амплитудой Uₘ - 120В. Ограничиваясь первыми четырьмя членами тригонометрического ряда, вычислить коэффициенты амплитуды формы и искажения. Построить амплитудно-частотный спектр заданного напряжения.

Решение

    1. Периодическая кривая (рис. 1.4) симметрична относительно оси ординат. В этом случае тригонометрический ряд не содержит синусоидальных гармоник (bₖₘ - 0).
    Постоянная составляющая:
                       Т



            . 1 2 _ 1         1 2 , .,


Д₀ - — I и (t) dt - — I и (го t) dго t Т            2л
Т            -л

л

                      2
                     л
                  12 и        ит
                 -— f Uₘdгоt - —mгоt
                  2л    m     2л

л
2 _Um



²    2
2

2

11