Статистическая механика квантовых жидкостей и кристаллов

Ковалевский М.Ю.
Пелетминский С.В.

Статистическая

механика квантовых

жидкостей и
кристаллов

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 536.7
ББК 22.317
К 56

Ко в а л е в с к и й М. Ю.,
П е л е т м и н с к и й С. В. Статистическая механика квантовых жидкостей и кристаллов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. —
368 с. — ISBN 5-9221-0698-8.
Монография посвящена последовательному изложению квантовой статистической теории конденсированных сред со спонтанно нарушенной симметрией. Основой предложенного микроскопического подхода является концепция
квазисредних и метод сокращенного описания. Рассмотрены как простейшая
сверхтекучая жидкость со скалярным параметром порядка, так и наиболее
сложный квантовый объект — сверхтекучий

. Дано обобщение теории
ферми-жидкости Ландау–Силина на сверхтекучие ферми-системы и бозежидкости. Построена теория пространственно-периодического бозе-конденсата, рассматриваемая нами в качестве модели квантового кристалла. Изучены
двухвременные функции Грина для сверхтекучих систем и найдены их низкочастотные асимптотики.
Монография рассчитана на научных работников, аспирантов, студентов
старших курсов, занимающихся проблемами теоретической и математической
физики, физики низких температур.

Научное издание

КОВАЛЕВСКИЙ Михаил Юрьевич
ПЕЛЕТМИНСКИЙ Сергей Владимирович

СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА КВАНТОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ

И КРИСТАЛЛОВ

Редактор В.С. Ярунин
Оригинал-макет: Д.В. Горбачев
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 17.03.06. Формат 6090/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 23. Уч.-изд. л. 25,3. Тираж 200 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, г. Москва, Шубинский пер., 6

ISBN 5-9221-0698-8

ISBN 5-9221-0698-8

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2006

c⃝ М. Ю. Ковалевский, С. В. Пелетминский,
2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
От авторов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Г л а в а 1. Принципы статистической механики . . . . . . . . . . . . . . .
10
§ 1. Основные положения квантовой механики . .. . . .. . . . . . . . . . . . .
11
1.1. Вторичное квантование. Статистика Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака. Операторы физических величин (11). 1.2. Интегралы
движения как генераторы преобразований симметрии гамильтониана. Дифференциальные законы сохранения (18).
§ 2. Состояние равновесия конденсированных сред . .. . . . . . . . . . . . .
30
2.1. Пространственное ослабление корреляций и эргодическое соотношение. Статистический оператор Гиббса. Теорема о связи потоков (30). 2.2. Вырождение состояния равновесия. Квазисредние.
Параметры порядка и классификация состояний равновесия (38).
2.3. Примеры конденсированных сред с нарушенной симметрией (45).
§ 3. Неравновесные процессы. Сокращенное описание . .. . . . . . . . . . .
55
3.1. Пространственно-однородные состояния. Кинетический этап
эволюции (55).
3.2. Пространственно-неоднородные состояния
нормальной жидкости. Гидродинамический этап эволюции (57).
3.3. Пространственно-неоднородные вырожденные состояния. Параметры сокращенного описания как функционалы статистического
оператора (71).
Литература к главе 1 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

Г л а в а 2. Ферми-жидкостный подход. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
77
§ 4. Теория сверхтекучести ферми-газа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4.1. Куперовское спаривание. Эффективный гамильтониан (80).
4.2. Уравнение для энергетического спектра (84). 4.3. Гамильтониан Бардина (89).
§ 5. Нормальная ферми-жидкость . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
5.1. Функция распределения квазичастиц (93). 5.2. Уравнение самосогласования. Свойства симметрии функционала энергии. Термодинамика (95).
5.3. Кинетическое и гидродинамическое описание
неравновесных процессов (98).
§ 6. Сверхтекучая ферми-жидкость . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
6.1. Нормальные и аномальные функции распределения. Диагонализация операторов физических величин (104).
6.2. Свойства
симметрии функционала энергии (110).
6.3. Вариационный прин

Оглавление

цип и уравнение самосогласования (112).
6.4. Синглетное спаривание. Теория БКШ-Боголюбова (115).
6.5. Триплетное спаривание (122). 6.6. Кинетическое уравнение для квазичастиц (131).
Литература к главе 2 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137

Г л а в а 3. Бозе-конденсация . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
140

§ 7. Теория сверхтекучести слабо неидеального бозе-газа . .. . . . . . . . .
143
7.1. Модель с выделенным конденсатом (143).
7.2. Функция распределения и спектр квазичастиц (146).
7.3. Когерентные состояния бозе-конденсата (151).
7.4. Уравнение эволюции волновой
функции конденсата (153).
§ 8. Бозе-жидкостный подход . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
160
8.1. Четный и нечетный бозе-конденсаты (160).
8.2. Уравнения
самосогласования (166). 8.3. Функционал энергии (172). 8.4. Решения уравнений самосогласования с четным и нечетным конденсатами (175).
Литература к главе 3 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183

Г л а в а 4. Сверхтекучие жидкости. Скалярный параметр порядка
186

§ 9. Состояние равновесия. Термодинамика . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . .
187
9.1. Свойства симметрии сверхтекучих состояний равновесия с синглетным спариванием (187).
9.2. Эргодическое соотношение для
сверхтекучей бозе-жидкости (191). 9.3. Термодинамика и плотности потоков сверхтекучей жидкости (193).
9.4. Инвариантность
Галилея и Лоренца (197).
§ 10. Пространственно-неоднородные состояния. Сокращенное описание
200
10.1. Сверхтекучая фаза как функционал статистического оператора. Функциональная гипотеза и уравнения идеальной гидродинамики (200).
10.2. Процессы диссипации. Формулы Кубо–Грина (207).
§ 11. Растворы квантовых жидкостей . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
218
11.1. Термодинамика растворов сверхтекучих и нормальных жидкостей (218).
11.2. Гидродинамика растворов квантовых жидкостей (224).
Литература к главе 4 . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228

Г л а в а 5. Бозе-конденсация и квантовые кристаллы. . . . . . . . . . .
231

§ 12. Пространственно-периодический бозе-конденсат . .. . . . . . . . . . . .
232
12.1. Модель с выделенным конденсатом на векторах обратной
решетки (232).
12.2. Термодинамика пространственно-периодического бозе-конденсата (236).
12.3. Однопериодические решения
уравнения для волновой функции конденсата (239). 12.4. Термодинамика однопериодических состояний (242). 12.5. Термодинамика
конденсата при ζ1 → 0 (246).
12.6. Область существования однопериодических решений бозе-конденсата (252).
§ 13. Динамика пространственно-периодического бозе-конденсата . .. . . .
255

Оглавление
5

13.1. Сокращенное описание пространственно-периодического бозе-конденсата (255).
13.2. Звуковые волны в однопериодическом
бозе-конденсате (261).
Литература к главе 5 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269

Г л а в а 6. Сверхтекучие жидкости. Тензорный параметр порядка. .
271
§ 14. Классификация сверхтекучих состояний с триплетным спариванием
273
14.1. Трансляционно-инвариантные состояния равновесия сверхтекучих фаз 3He (273).
14.2. Неоднородные состояния равновесия
сверхтекучих фаз 3He (280).
§ 15. Локально-равновесная термодинамика сверхтекучих фаз фермижидкости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
15.1. Алгебра локальных унитарных преобразований. Трансформационные свойства операторов плотностей аддитивных интегралов
движения и параметра порядка (284).
15.2. Вариация локальноравновесного термодинамического потенциала в конденсированных
средах со спонтанно нарушенной симметрией (292). 15.3. Локально-равновесные плотности потоков аддитивных интегралов движения (295). 15.4. Связь потоков аддитивных интегралов движения
в состоянии локального равновесия (310).
§ 16. Неравновесные процессы в пространственно-неоднородных состояниях. Сокращенное описание . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313

16.1. Гидродинамика A-фазы
3He (313).
16.2. Гидродинамика
B-фазы 3He (322).
Литература к главе 6 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331

Г л а в а 7. Двухвременные функции Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334
§ 17. Определение и свойства функций Грина. Нормальные состояния . .
335
17.1. Реакция системы на внешнее возмущение. Свойства функций
Грина (335).
17.2. Гидродинамика нормальных конденсированных
сред во внешних полях (345).
17.3. Низкочастотная асимптотика
функций Грина нормальной жидкости (349).
§ 18. Определение и свойства функций Грина. Квантовые жидкости . .. .
351
18.1. Линейный отклик сверхтекучих систем на внешнее возмущение (351).
18.2. Гидродинамика сверхтекучей жидкости во внешних полях (354). 18.3. Низкочастотная асимптотика функций Грина сверхтекучей жидкости (361).
Литература к главе 7 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
366

Предисловие

Проблема статистического описания конденсированных сред со
спонтанно нарушенной симметрией к настоящему времени еще не нашла своего полного воплощения в виде монографии. Одной из важных
целей создания этой книги является построение последовательной микроскопической теории квантовых жидкостей и кристаллов в условиях,
когда параметр порядка имеет достаточно сложную тензорную структуру, что существенно для микроскопического понимания явления сверхтекучести и сверхпроводимости. В частности, ниже приведены новые
результаты, представленные в предложенной монографии: микроскопическое описание сверхтекучего 3He, релятивистская сверхтекучесть
для систем со скалярным и тензорным параметрами порядка, микроскопическое описание пространственно-периодических сверхтекучих
систем, ферми- и бозе-жидкостный подход.
Материал этой книги в целом основывается на результатах исследований авторов. Предложенная авторами микроскопическая теория
статистического описания квантовых жидкостей и кристаллов основана
на предпосылках общего характера — принципе ослабления корреляций, эргодических соотношениях, функциональной гипотезе. Единство
и последовательность развиваемого подхода заключается в тесной взаимосвязи концепции квазисредних и метода сокращенного описания.
Принципиальное значение имеет идея введения в распределение Гиббса
термодинамических параметров, связанных с нарушенной симметрией,
что позволяет построить термодинамику и получить динамические
уравнения для достаточно сложных конденсированных сред в рамках
микроскопической теории. Развиваемый подход позволяет описывать
физические системы со спонтанно нарушенной симметрией с той же
полнотой, что и нормальные конденсированные среды.
Авторы внесли существенный вклад в развитие и обобщение ферми-жидкостного подхода на вырожденные состояния конденсированных сред и распространили его на случай бозе-статистики. Эта монография развивает направление исследований, отраженных в книге
А. И. Ахиезера и С. В. Пелетминского «Методы статистической физики» с акцентом на более детальные исследования квантовых конденсированных сред.

Член-корреспондент РАН Боголюбов Н.Н. (мл.)

От авторов

Исследование конденсированных сред является важной проблемой
статистической физики. При понижении температуры или изменении
других термодинамических параметров нормальное состояние статистического равновесия, как правило, претерпевает существенные изменения и сопровождается возникновением новых явлений и физических эффектов. В качестве примеров таких сред отметим сверхтекучие жидкости, магнетики, кристаллы. Наличие полезных, нередко
уникальных свойств этих систем, вызывает большой интерес к ним
как с практической, так и с теоретической точки зрения. На таких
системах создаются новые гипотезы и апробируются новые методы
статистической механики.
Сильное взаимодействие в конденсированных средах создает значительные математические трудности при их описании. Поэтому теоретические исследования проводились, в основном, в феноменологическом
подходе.
В последние десятилетия достигнут существенный прогресс в статистической физике. В значительной мере он связан с развитием представлений о сокращенном описании неравновесных процессов. Решение
задачи динамики неравновесных состояний мы связываем с иерархией
времен релаксации. Ввиду сильного взаимодействия частиц неравновесное и пространственно-неоднородное состояние переходит в локально-равновесное и дальнейшая эволюция системы к состоянию статистического равновесия происходит по «гидродинамическому» типу.
Другая важная проблема в развитии микроскопической теории конденсированных сред — описание состояния равновесия. Концепция квазисредних и связанное с ней представление о спонтанном нарушении
симметрии состояния равновесия являются эффективным математическим инструментом исследования таких систем.
Цель монографии — построение микроскопической теории, позволяющей описывать как равновесные состояния систем со спонтанно нарушенной симметрией, так и эволюцию пространственно-неоднородных
состояний таких систем с учетом диссипативных процессов. Основной упор делается на исследовании квантовых конденсированных сред
с различным характером вырождения основного состояния. В рамках
статистической теории решаются следующие задачи:
— описание состояния равновесия конденсированных сред с нарушенной симметрией, то есть введение в распределение Гиббса на

От авторов

основе концепции квазисредних термодинамических величин, характеризующих исследуемую фазу конденсированной среды. Вывод термодинамических соотношений, включая выражения для плотностей потоков
аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала. Классификация состояний равновесия;
— построение динамических уравнений для параметров сокращенного описания исходя из уравнения фон-Неймана с привлечением гипотезы сокращенного описания.
Изложен общий подход классификации состояний равновесия для
вырожденных конденсированных сред. В качестве частного случая
исследованы термодинамика и гидродинамика релятивистских квантовых жидкостей и их растворов. Построена термодинамика потоков
аддитивных интегралов движения на основе свойств симметрии равновесного состояния с использованием концепции квазисредних. Получено универсальное соотношение, выражающее связь средних значений
плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала.
Дано обобщение теории нормальной ферми-жидкости Ландау–Силина на сверхтекучие ферми-системы, а также сверхтекучие жидкости со статистикой Бозе-Эйнштейна. Сформулированы и исследованы
уравнения самосогласования квантовой жидкости с четным и нечетным
конденсатами.
Построена теория пространственно-периодического бозе-конденсата, которая может служить моделью квантового кристалла, обладающего свойством сверхтекучести. Сформулированы динамические уравнения пространственно-периодических состояний бозе-конденсата в бездиссипативном приближении и изучены спектры звуковых колебаний.
Найдены периодические решения для волновой функции конденсата
в состоянии равновесия и рассмотрен вопрос об устойчивости таких
состояний.
Изучено влияние слабого внешнего поля на эволюцию пространственно-неоднородных сверхтекучих систем. Получены уравнения гидродинамики с «источниками», обусловленными взаимодействием частиц системы с этим полем. На этой основе рассмотрены двухвременные функции Грина для сверхтекучих систем и найдены их низкочастотные асимптотики.
Мы приносим свою глубокую благодарность всем соавторам наших
работ, использованных в монографии. Авторы благодарны коллегам
университета г. Росток профессорам Г. Репке, Д. Кремпу, В. Крефту за гостеприимство, оказанное нам в Германии и стимулирующее
обсуждение проблем, затронутых в монографии. Наша особая благодарность Российскому Фонду Фундаментальных Исследований за
поддержку издания этой книги. Нам хочется выразить свою благодарность руководству издательства «Физико-математическая литература» в лице М.Н. Андреевой и Е.С. Артоболевской за пони

От авторов
9

мание и терпимость к нашей способности вовремя закончить работу. Мы благодарны А.С. Пелетминскому, взявшему на себя труд
в написании главы 5, посвященной пространственно-периодическому
бозе-конденсату. Мы признательны В.Т. Мацкевич за помощь при
подготовке текста книги и А.Н. Тарасову за ценные критические
замечания.

М. Ковалевский, С. Пелетминский
Харьков, Белгород
Октябрь 2005

Г л а в а 1

ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Первая глава посвящена обобщению некоторых методов статистической физики, развитых, в основном, для многочастичных систем
в нормальном состоянии. В § 1 кратко изложены необходимые сведения
о построении операторов физических величин в представлении вторичного квантования и установлены их трансформационные свойства
при различных преобразованиях симметрии. Исследованы свойства
симметрии гамильтониана, введены плотности и потоки аддитивных
интегралов движения.
Состояние равновесия конденсированных сред изучено в § 2. Сформулированы принципы статистической механики, лежащие в основе описания состояния равновесия многочастичных систем — принцип пространственного ослабления корреляций и эргодические соотношения.
Дано современное описание состояния равновесия вырожденных
конденсированных сред. Принципиальным моментом в развиваемой
микроскопической теории является введение в концепцию квазисредних для распределения Гиббса дополнительных термодинамических
параметров, необходимых для адекватного описания равновесия вырожденных конденсированных сред. Сформулированы общие трансформационные свойства оператора параметра порядка и описана процедура
решения задачи классификации состояний равновесия в системах со
спонтанным нарушением симметрии. Приведены примеры конденсированных сред со скалярным, векторным и тензорным параметрами
порядка.
Сформулирована и доказана теорема о связи плотностей потоков
аддитивных интегралов движения в состоянии равновесия. Эта теорема
позволяет выразить плотность потока энергии через плотности потоков
других аддитивных интегралов движения, связанных с внутренней
и пространственной симметрией. Это в итоге облегчает получение
динамических уравнений как нормальных, так и вырожденных конденсированных сред.
В § 3 представлено детальное изложение идеологии сокращенного
описания. На примере нормальной жидкости дан вывод уравнений релаксационной гидродинамики. Кинетические коэффициенты представлены в виде формул Кубо–Грина. Рассмотрена общая схема сокращен

§ 1. Основные положения квантовой механики
11

ного описания для конденсированных сред со спонтанным нарушением
симметрии.
При исследовании конденсированных сред обычно предполагается
инвариантность гамильтониана системы по отношению к преобразованиям Галилея или Лоренца, что накладывает дополнительные ограничения на структуру гамильтониана. В настоящей главе гамильтониан
обладает только трансляционной и фазовой инвариантностью и не имеет какой-либо специальной динамической симметрии. В этом случае
развиваемый подход позволяет расширить класс исследуемых сред,
а также в качестве частных случаев получить результаты, относящиеся
к системам со специальной динамической симметрией.

§ 1. Основные положения квантовой механики

1.1. Вторичное
квантование.
Статистика
Бозе–Эйнштейна
и Ферми–Дирака. Операторы физических величин.
В квантовой
механике вводятся понятия чистых состояний и смесей. Чистому
состоянию сопоставляют вектор Φ ≡ |Φ⟩ в гильбертовом пространстве
со скалярным произведением (Φ1, Φ2) ≡ ⟨Φ1|Φ2⟩ [1]. Если система
характеризуется вектором Φ (находится в состоянии Φ), то среднее
значение некоторой физической величины R, которой сопоставляется
оператор R, определяется формулой

⟨ R⟩ = (Φ, RΦ),

и
предполагается
выполненным
условие
нормировки
вектора
Φ:
(Φ, Φ) = 1. Среднее ⟨ R⟩ можно представить в виде

⟨ R⟩ = Sp P[Φ] R,

где P[Φ] — оператор проектирования на состояние Φ, определяемый
с помощью соотношения

P[Φ]ϕ = Φ(Φ, ϕ).

Здесь ϕ — произвольный вектор в гильбертовом пространстве и Sp A
обозначает шпур оператора A, то есть сумму его диагональных матричных элементов в произвольном ортонормированном базисе. В соответствии с этим определением обычно используется следующее обозначение для оператора проектирования

P[Φ] = |Φ⟩ ⟨Φ|.

С помощью операторов проектирования легко сформулировать условие
полноты системы ортонормированных векторов Φn

(Φn, Φm) = δnm,
n
P[Φn] =
n
|n⟩ ⟨n| = 1.

Гл. 1. Принципы статистической механики

Наряду с простейшим случаем, когда система характеризуется
определенным вектором состояния, в квантовой механике возможна
более общая ситуация, когда точно неизвестно, какой из векторов
характеризует состояние, и можно лишь указать вероятности того,
что система характеризуется тем или иным вектором в гильбертовом
пространстве. Если Wn — вероятность того, что система находится
в состоянии Φn (где Wn ⩾ 0,
n
Wn = 1), то среднее значение физиче
ской величины R будет определяться формулой

⟨ R⟩ =
n
Wn⟨Φn| R|Φn⟩,

которую можно также представить в виде

⟨ R⟩ = Sp ρ R,
(1.1.1)

где
ρ =
n
|Φn⟩Wn⟨Φn| =
n
WnP[Φn].
(1.1.2)

Оператор ρ носит название статистического оператора или матрицы
плотности. Матрица плотности была впервые введена фон-Нейманом [2] и Ландау [3]. Оператор ρ является положительно определенным эрмитовым оператором, шпур которого равен единице Sp ρ = 1.
В квантовой механике физическая система, описываемая матрицей
плотности, интерпретируется как смесь чистых состояний.
Если система находится в чистом состоянии |Φ⟩, то ее матрица
плотности имеет, очевидно, вид

ρ = |Φ⟩ ⟨Φ|
(1.1.3)

и, как легко видеть, в этом случае ρ 2 = ρ. Справедливо и обратное утверждение: если матрица плотности удовлетворяет соотношению
ρ 2 = ρ, то она имеет вид (1.1.3) и состояние является чистым.
Подчеркнем принципиальное различие между смесью и суперпозицией чистых состояний: в случае суперпозиции состояний складываются векторы состояний и в результате снова получается чистое состояние. В смеси складываются матрицы плотности чистых состояний. При
смешивании смесей всегда получается смесь, а не чистое состояние.
Отметим, что если система находится в чистом состоянии, то какаялибо выделенная часть ее, взаимодействующая с остальными частями
системы, будет уже описываться не вектором состояния, а матрицей
плотности. Действительно, пусть система G, находящаяся в состоянии
|c⟩, состоит из двух подсистем a и b. Построим матрицу плотности ρa
подсистемы a. Заметим для этого, что гильбертово пространство векторов состояний всей системы может быть представлено в виде прямого
произведения гильбертовых пространств, соответствующих подсисте

§ 1. Основные положения квантовой механики
13

мам a и b. При этом прямые произведения базисных векторов |na⟩, |nb⟩
этих пространств образуют базис векторов состояний системы G

|nanb⟩ = |na⟩ |nb⟩.

Элемент матрицы плотности подсистемы a, ⟨na|ρa|n′
a⟩, очевидно, равен

⟨na|ρa|n′
a⟩ =
nb
⟨nanb|c⟩ ⟨c|n′
anb⟩,

откуда
ρa =
nan′anb
|na⟩ ⟨nanb|c⟩ ⟨c|n′
anb⟩ ⟨n′
a|.

Векторы состояний системы изменяются во времени по вполне
определенному закону. Именно, если (t) — гамильтониан системы,
то вектор состояния Φ(t) изменяется во времени согласно уравнению
Шредингера
i ∂Φ(t)

∂t
= (t)Φ(t)
(1.1.4)

(здесь и в дальнейшем считается, что квантовая постоянная ¯h равна
единице). Решение этого уравнения в случае замкнутой системы, когда
гамильтониан не зависит от времени t, можно формально записать
в виде
Φ(t) = exp
−i t
Φ(0).

Используя уравнение Шредингера, легко установить уравнение движения для матрицы плотности системы. Величины Wn, входящие
в формулу (1.1.2), не зависят от времени. Зависимость от времени матрицы плотности ρ будет определяться только зависимостью от времени
векторов состояния |Φn⟩, даваемой уравнением Шредингера. Поэтому
матрица плотности ρ(t) удовлетворяет уравнению

i ∂ρ(t)

∂t
= (t), ρ(t).
(1.1.5)

В случае замкнутой системы формальное решение этого уравнения
записывается в виде

ρ(t) = exp
−i t
ρ(0) exp
i t
.

Уравнение (1.1.5) называется уравнением фон-Неймана. В классическом случае ему соответствует уравнение Лиувилля для функции распределения всей системы в фазовом пространстве.
В статистической механике одним из важных физических понятий
является энтропия, являющаяся функционалом состояния физической
системы. В квантовом случае математическое определение энтропии
предложено фон-Нейманом

S = − Sp ρ ln ρ.
(1.1.6)