Об оптимальном (по минимуму средней квадратической ошибки) представлении сигналов в конечномерном эквидистантном ортогональном базисе

УДК 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
621.391.1     

Дегтярев А.Н.

Degtyarev A.N.

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ (ПО МИНИМУМУ СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ) ПРЕДСТАВЛЕНИИ 

СИГНАЛОВ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ЭКВИДИСТАНТНОМ ОРТОГОНАЛЬНОМ БАЗИСЕ

ABOUT OPTIMAL (IN TERMS OF MINIMUM ROOT-MEAN-SQUARE ERROR) REPRESENTATION OF 

SIGNAL IN FINITE-DIMENSIONAL EQUIDISTANT ORTHOGONAL BASIS

Аннотация. Задача оптимального (по условию минимума средней квадратической ошибки) 
представления сигналов в виде конечной суммы базисных функций решена путем 
определения веса ортогональности функций базиса. В соответствии с условием дискретизации сигналов в физически реализуемых системах в качестве базисных функций использованы эквидистантные минимально-фазовые функции, амплитудный спектр которых с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудным спектром сигнала. Установлено, 
что для оптимального описания нескольких детерминированных сигналов существует несколько различных базисов, с весом ортогональности, зависящим от вида сигналов и базисных функций. Для оптимального описания случайного сигнала базис определяется единственням образом, и вес ортогональности базисных функций зависит от базисных функций и 
ковариации сигнала.

Abstract. The problem of optimal (in terms of minimum root-mean-square error) representation of 
signals as finite sum of basis functions has been solved by determining the orthogonality weight of 
the basis functions. In accordance with signal sampling condition for feasible systems, basis functions are represented by minimum-phase functions having amplitude spectrum equal to the amplitude spectrum of the signal accurate to the constant factor. It has been established that several deterministic signals can be optimally described by several different bases with orthogonality weight 
being dependant on types of signals and basis functions. There is only one way the basis can be determined for optimal definition of the random signal, with orthogonality weight of the basis functions being dependant on the basis functions and signal covariance.

Введение

Фактически вся обработка сигналов (цифровая или аналоговая) начинается с описа
ния обрабатываемого сигнала в каком-либо базисе функций. Эти базисные функции выполняют роль координат сигнала в некотором функциональном пространстве. Если для описания сигнала необходимо использовать бесконечное количество базисных функций, то сигнал 
называется бесконечномерным. Если для описания сигнала достаточно N базисных функций, 
то сигнал называется N-мерным. 

В первом случае сигнал 
)t(
f
можно представить в виде бесконечного ряда взвешен
ных базисных функций 
)t(
sn
:

n

n
n
)t(
s
a
)t(
f
,                                                          (1)

где 
n
a
- некоторые постоянные коэффициенты; во втором – в виде их конечной суммы:

N

0
n

n
n
)t(
s
a
)t(
f
.                                                          (2)

Знак приближенного равенства в формуле (2) записан в связи с тем, что в большинстве практических случаев сигналы являются бесконечномерными.

Обработка сигналов накладывает некоторые ограничения на выбор базисных функ