Физика взрыва и удара

УДК 532.5:539.5
ББК 24.54
О 66

О р л е н ко Л. П. Физика взрыва и удара: Учебное пособие для вузов. —
2-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 304 с. — ISBN 978-5-9221-0891-1.

Излагаются вопросы, касающиеся закономерностей взрывных процессов и
действия взрыва в различных средах (газах, жидкостях и твердых телах). Рассматриваются проблемы, относящиеся к детонации, ударным волнам, метанию
тел продуктами детонации, кумуляции, моделированию взрывных процессов,
высокоскоростному разгону тел с помощью взрыва и их взаимодействию с
преградами. Приведены результаты численного решения ряда задач, связанных
с взрывными процессами.
Для специалистов, занимающихся использованием энергии взрыва и удара.
Рекомендовано УМО вузов по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки дипломированного специалиста
170100 — «Оружие и системы вооружения», специальности 170103 — «Средства поражения и боеприпасы».

Р е ц е н з е н т ы: В. П. Челышев, Н. А. Гладков

Учебное издание

ОРЛЕНКО Леонид Петрович

ФИЗИКА ВЗРЫВА И УДАРА

Редактор М.Б. Козинцова
Оригинал-макет: В.Е. Рокотян

Подписано в печать 15.11.07. Формат 6090/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 19. Уч.-изд. л. 20,9. Тираж 1000 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15

ISBN 978-5-9221-0891-1

ISBN 978-5-9221-0891-1

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2006, 2008

c⃝ Л. П. Орленко, 2006, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
7

Введение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
8

Г л а в а 1.
Основные дифференциальные уравнения движения сплошной среды . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
13
1.1. Некоторые сведения из термодинамики . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
13
1.1.1. Первое начало термодинамики (13).
1.1.2. Изохорный процесс (14).
1.1.3. Изобарный процесс (15).
1.1.4. Второе начало термодинамики (18). 1.1.5. Уравнение
состояния вещества (22).
1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
25
1.2.1.
Лагранжевы
и
эйлеровы
координаты
(25).
1.2.2. Уравнения
движения
сжимаемой
твёрдой
среды (26). 1.2.3. Уравнения движения идеальной среды (41).
1.2.4. Интегралы уравнений Эйлера (44).
1.2.5. Дифференциальные уравнения одномерного движения идеальной
среды (53).

Г л а в а 2.
Плоское одномерное изоэнтропическое движение идеальной среды. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
56
2.1. Дифференциальные уравнения движения. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
56
2.2. Характеристики плоского изоэнтропического течения . .. .. .
57
2.3. Решения дифференциальных уравнений плоского изоэнтропического движения совершенного газа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
60

Г л а в а 3.
Теория ударных волн . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
77
Введение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
77
3.1. Связь между параметрами на фронте ударной волны с параметрами перед фронтом ударной волны для различных
сред . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
78

Оглавление

3.1.1. Соотношения на фронте ударной волны в идеальной
среде (78).
3.1.2. Соотношения на фронте ударной волны
в твёрдом теле (81). 3.1.3. Соотношения на фронте ударной
волны для совершенного газа без учёта процессов диссоциации и ионизации (81).
3.1.4. Соотношения на фронте
ударной волны с учётом процессов диссоциации и ионизации (82).
3.1.5. Ударная адиабата (83).
3.1.6. Двойное
ударное сжатие (88).
3.2. Изменение температуры и энтропии при ударном и изоэнтропическом процессах в совершенном газе . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
89
3.2.1. Изменение температуры при ударном сжатии (89).
3.2.2. Изменение
энтропии
при
ударном
сжатии
(90).
3.2.3.
Невозможность
существования
ударной
волны
разрежения в веществе с нормальными свойствами (91).
3.2.4. Толщина фронта ударной волны (93). 3.2.5. Слабые
и сильные УВ в совершенном газе (93).
3.3. Диссипация энергии на фронте ударной волны . .. .. .. .. .. .. .. .
96
3.3.1. Определение удельных необратимых потерь энергии
на фронте ударной волны (97).
3.3.2. Определение полных необратимых потерь энергии на фронте ударной волны (99). 3.3.3. Приближённый расчёт необратимых потерь
энергии (100).
3.4. Ударные адиабаты твёрдых и жидких тел . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 102
3.4.1. Определение ударных адиабат (102).
3.4.2. Определение
ударных
адиабат
методом
торможения
(107).
3.4.3.
Уравнения
состояния
жидкостей
и
твёрдых
тел (112).
3.5. Косые ударные волны. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 119
3.5.1. Связи между параметрами на фронте косой ударной
волны (119).
3.5.2. Отражение прямых и косых УВ от
жёсткой стенки (122).

Г л а в а 4.
Теория детонации взрывчатых веществ. .. .. .. .. . 128
4.1. Некоторые свойства взрывчатых веществ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 128
4.2. Гидродинамическая теория детонации . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 138
4.3. Теория детонации идеального взрывчатого газа . .. .. .. .. .. .. .. . 143
4.4. Теория детонации конденсированных взрывчатых веществ
145
4.5. Термическое уравнение состояния . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 154

Г л а в а 5.
Разлёт продуктов детонации в пустоту . .. .. .. .. . 157
5.1. Разлёт продуктов детонации за фронтом детонационной
волны . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 157
5.2. Отражение детонационной волны от жёсткой стенки . .. .. .. . 162

Оглавление
5

5.3. Активная масса взрывчатого вещества. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 167
5.4. Методы теоретического изучения разлёта продуктов детонации для одномерного течения идеальной среды . .. .. .. .. .. . 170

Г л а в а 6.
Распад произвольного разрыва на границе
двух сред . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 172
6.1. Отражение детонационных волн от различных сред. .. .. .. .. . 173
6.2. Отражение УВ от границы двух инертных сред . .. .. .. .. .. .. .. . 182
6.3. Соударение двух твёрдых тел. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 185

Г л а в а 7.
Взрыв в воздухе . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 189
7.1. Физические представления о процессе взрыва в воздухе. .. . 189
7.2. Определение импульса взрыва в воздухе . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 191
7.3. Методы теоретического решения задачи о детонации заряда
взрывчатого вещества в воздухе . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 194
7.4. Точечный взрыв . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 195
7.5. Экспериментальные зависимости параметров воздушных
ударных волн при газовых взрывах . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 200
7.6. Поражающее действие ударных волн в воздухе . .. .. .. .. .. .. .. . 202

Г л а в а 8.
Взрыв в воде. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 208
8.1. Физика взрыва в воде. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 208
8.2. Методы теоретического изучения подводного взрыва . .. .. .. . 213

Г л а в а 9.
Теория моделирования взрывных и ударных
процессов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 218
9.1. Элементы теории моделирования . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 218
9.2. Моделирование обычного и точечного взрыва . .. .. .. .. .. .. .. .. . 219
9.3. Методы обработки опытных данных в воздухе и воде при
моделировании . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 223
9.4. Теория и практика моделирования . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 227
9.5. Моделирование сложных систем. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 228

Г л а в а 10.
Метание тел продуктами детонации . .. .. .. .. .. .. . 232
10.1. Введение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 232
10.2. Приближённый метод определения скорости и закона движения оболочки заряда . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 234

Оглавление

10.2.1. Определение
скорости
оболочки
заряда
(234).
10.2.2. Определение
закона
движения
оболочки
заряда (239).
10.3. Задача о метании жёсткой пластины . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 240
10.4. Метание сжимаемой прочной пластины и короткой цилиндрической оболочки . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 244
10.5. Баллистика осколков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 248

Г л а в а 11.
Кумуляция. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 250
11.1. Физические представления о кумуляции. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 250
11.2. Гидродинамическая теория кумуляции. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 254
11.3. Приближённый метод расчёта параметров кумулятивной
струи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 257
11.4. Определение глубины пробития преграды кумулятивной
струей. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 261
11.5. Определение глубины проникания кумулятивной струи
с учётом сжимаемости преграды и струи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 265
11.6. Определение диаметра отверстия при проникании кумулятивной струи в преграду. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 268
11.7. Некоторые конструктивные особенности кумулятивных зарядов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 269

Г л а в а 12.
Волны напряжения в твёрдых телах . .. .. .. .. .. . 275
12.1. Упругие волны . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 275
12.2. Пластические волны в твёрдых телах. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 279
12.3. Ударные волны в твёрдых телах. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 279
12.4. Откол. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 283

Г л а в а 13.
Высокоскоростное соударение тел. .. .. .. .. .. .. .. .. . 287
13.1. Введение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 287
13.2. Экспериментальные
исследования
высокоскоростного
взрывного метания тел . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 288
13.3. Физика взаимодействия тел с преградой. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 292
13.4. Численные методы решения задач по высокоскоростному
метанию тел и прониканию ударников в преграды . .. .. .. .. .. . 297

Список литературы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 304

Посвящается 175-летию
МГТУ им. Н. Э. Баумана

ПРЕДИСЛОВИЕ
Теоретической основой курса “Физика взрыва и удара”
(ФВУ) является механика сплошных сред, которая изучает
движение газообразных, жидких и твердых сред, устанавливает
наиболее общие свойства и законы движения деформируемых
сред с учетом физико-механических свойств материалов этих
сред. В курсе ФВУ рассматривается взрыв, образовавшийся
вследствие
быстрой
устойчивой
химической
реакции
во
взрывчатом веществе (нормальная детонация).
Курс ФВУ входит в программу подготовки специалистов, работающих в тех отраслях производства, где используется энергия взрыва и удара. Сюда, прежде всего, относится оборонная
промышленность (исследование и проектирование средств уничтожения и боеприпасов), а также горнодобывающая отрасль
(добыча полезных ископаемых с помощью энергии взрыва, сейсморазведка и др.), нефтяная (перфорация скважин кумулятивными зарядами, ликвидация прихватов труб в грунте и др.), машиностроение (штамповка, сварка и резка металла с помощью
взрыва, упрочнение металлов, взрывное прессование пористых
материалов, получение алмазов и др.), строительство (создание
плотин в горах, прокладка каналов, особенно в скальных породах, разрушение сносимых сооружений и др.), космическая (защита спутников и космических станций от удара метеоритных
частиц и осколков, образовавшихся от разрушения в космосе
ракет и спутников). Результаты физики взрыва используются
специалистами ФСБ и МВД для анализа взрывных террористических актов.
Знания курса ФВУ облегчают изучение монографий типа
“Физика взрыва” [1]. Курс ФВУ является теоретической и физической основой курсов проектирования изделий, использующих
энергию взрыва и удара.
Автор благодарит выпускников МГТУ им. Н. Э. Баумана,
В. В. Сапрыкина, А. В. Головачева и С. А. Петровского за финансовую поддержку в издании учебного пособия “Физика взрыва и удара”.

ВВЕДЕНИЕ

В курсе “Физика взрыва и удара” (ФВУ) изучаются физические процессы взрыва и удара, происходящие в различных
сплошных средах (газах, жидких и твёрдых телах), рассматриваются существующие методы решения задач физики взрыва
и удара.
Курс ФВУ состоит из двух основных частей.
1. Первая, общая часть включает в себя рассмотрение некоторых вопросов термодинамики, дифференциальных уравнений движения в разных средах (несжимаемой, сжимаемой,
упруго-пластической), существующие аналитические решения
этих уравнений (интегралы Бернулли и Лагранжа и др.), аналитическое изучение простых волн.
2. Вторая, специальная часть курса посвящена изучению
физики взрывных и ударных явлений: разлёт продуктов детонации (ПД), распад произвольного разрыва на границе двух
сред, метание тел продуктами детонации, взрыв в газообразных,
жидких и твёрдых средах, кумуляция, моделирование взрывных
процессов, высокоскоростное взрывное метание и соударение тел
с преградами.
Рассмотрим некоторые определения и постулаты, которые
используются в курсе ФВУ.

Гипотеза сплошности

Введём понятие сплошной среды. Все тела состоят из отдельных частиц (атомов, молекул), но так как их много в любом
очень малом интересующем нас объёме, мы абстрагируемся от
реального строения вещества и представляем среду с непрерывно меняющимися свойствами, заполняющую пространство
сплошным образом. Воду, воздух, металлы, конденсированные
взрывчатые вещества (ВВ), продукты детонации и т. д. будем
рассматривать как тела, непрерывно заполняющие некоторую
часть пространства.
Такая идеализация, в частности, позволяет нам в дальнейшем при исследовании движения таких сред использовать аппа

Введение
9

рат непрерывных функций, дифференциальное и интегральное
исчисления.
Установившееся и неустановившееся движения

Каждая точка среды характеризуется параметрами: давлением p, плотностью ρ, температурой T, u — вектором скорости с проекциями на оси координат (ux, uy, uz) Эти параметры
впредь будем называть газодинамическими.
Следует заметить, что в жидкости и газе p одинаково по
всем направлениям (закон Паскаля), а в металлах, и вообще
в твёрдых телах, в точке вместо p вводится тензор напряжений σij, имеющий шесть независимых компонентов: три касательных напряжения τij (i ̸= j) и три нормальных напряжения
σij (i = j). Если движение установившееся (стационарное), то
все параметры меняются от точки к точке (зависят от координат), но не зависят от времени. Такие движения, например,
рассматриваются в аэродинамике при полёте тела с постоянной
скоростью.
Для установившегося (стационарного) движения среды:
σij = σij(x, y, z);
p = p(x, y, z);
ρ = ρ(x, y, z);
T = T(x, y, z);
u = u(x, y, z).

В неустановившемся движении все параметры зависят от координаты и от времени:
σij = σij(x, y, z, t);
p = p(x, y, z, t);
ρ = ρ(x, y, z, t);
T = T(x, y, z, t);
u = u(x, y, z, t).

Такие
неустановившиеся
(нестационарные)
движения
сплошной среды рассматриваются в курсе “Физика взрыва
и удара”.
Траектории и линии тока. Траектория — линия, по которой
движется частица среды. Линия в пространстве, касательная
к которой в данный момент времени совпадает с направлением
скорости в этой точке, называется линией тока. Если движение
стационарное, то траектория совпадает с линией тока, если движение нестационарное, то это разные линии.
Задачей данного курса является рассмотрение в основном
неустановившихся
движений,
применительно
к
взрывным
и ударным явлениям в разных средах.

Классификация сплошных сред

В ФВУ рассматриваются два вида сплошных сред: идеальная среда и неидеальная среда.

Введение

Идеальная среда.
Идеальной средой называют такую
среду, в которой отсутствуют внутренние силы взаимодействия
между частицами, то есть отсутствуют силы внутреннего трения между частицами, отсутствуют касательные напряжения.
Идеальная среда не способна оказывать сопротивление изменению формы своих частиц.
Среди класса идеальных сред будем выделять так называемый “совершенный газ”, свойства которого описываются уравнением Менделеева–Клапейрона.
Неидеальная среда.
В неидеальной среде присутствуют
внутренние силы (внутреннее трение). Это вязкая жидкость —
изотропная сжимаемая (или несжимаемая) среда, сдвиговые
и объёмное сопротивления которой линейно зависят от скоростей деформаций.
Заметим, что твёрдые тела (металлы и другие) являются
неидеальной средой. Они характеризуются наличием прочности
и сжимаемости при относительно высоких напряжениях. Для
твёрдых тел используют модели:
– упругой среды (сопротивление которой линейно зависит от
деформаций);
– жёсткопластической среды (учитывается только пластичность);
– упругопластической среды, в которых учитываются упругие и пластические свойства, а также сжимаемость среды.
Классификация сил в сплошной среде

Различают поверхностные и массовые силы.
Поверхностные силы.Поверхностными силами, называются силы, распределенные по поверхности некоторого объёма
сплошной среды.

Рис. 1

На рисунке 1 показана система поверхностных сил, действующих на поверхность выделенного объёма в идеальной сплошной среде, где px = py = pz = p.

Введение
11

На рисунке 2 показаны поверхностные силы, действующие
в неидеальной сплошной среде (вязкой среде или твёрдом теле).

Рис. 2

Массовые силы. Силы, действующие на единицу массы, называются массовыми. Это, например, гравитационные силы,
которые подчиняются закону всемирного тяготения Ньютона,
электромагнитные силы, силы инерции и др.

Пространственная классификация движения
сплошной среды

В общем случае имеет место трёхмерное движение. При
этом параметры газа p, ρ, u, T и другие являются функциями
трёх координат x, y, z.
Стационарные (установившиеся) трёхмерные движения зависят только от трёх координат и не зависят от времени t,
а неустановившиеся трёхмерные движения зависят ещё и от
времени t.
Двумерные движения среды можно разделить на плоские
и осесимметричные (рисунки 3 и 4). В случае плоского двумерного движения (см. рис. 3) все явления происходят в плоскости
(x, y), а движение в направлении оси 0z отсутствует. Осесимметричное движение имеет ось симметрии 0z (см. рис. 4). Это —
частный случай пространственного движения.

Рис. 3
Рис. 4

Введение

Если движение среды можно описать только при помощи
одной пространственной координаты, то есть все параметры
среды p, ρ, u, T и т. п. являются функцией одной координаты r
и времени t, имеет место одномерное движение. Одномерные
движения сред можно разделить на три вида:

Рис. 5

a) плоские одномерные движения;
б)
цилиндрические
одномерные
движения — течения с осевой симметрией;
в) сферические одномерные движения, то есть течения с точечной
симметрией.
Плоские
одномерные
движения.
В плоском одномерном движении параметры среды одинаковы в точках, имеющих одну координату x. Обычно такое движение заменяют движением в жёсткой
трубе (см. рис. 5, стенки жёсткой трубы выделены пунктиром).
Цилиндрические одномерные движения.
Цилиндрическое
одномерное движение имеет место, например, при разлёте бесконечно длинного цилиндра с газом под давлением (см. рис. 6).
Это течение среды, симметричное относительно оси 0z.

Рис. 6
Рис. 7

Сферическое одномерное движение.
При сферическом одномерном движении имеет место точечная симметрия. Здесь
параметры среды являются функциями только одной пространственной координаты r (см. рис. 7).
Классическим примером такого движения является детонация сферических зарядов, начинающаяся из точки симметрии.

Г л а в а 1

ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ
СРЕДЫ

1.1. Некоторые сведения из термодинамики

1.1.1. Первое начало термодинамики.
Закон сохранения энергии устанавливает, что энергия не создается, не уничтожается и что одна форма энергии может переходить в другую,
причём превращение энергии из одного вида в другой происходит всегда в строго определённых, эквивалентных количественных соотношениях. Первое начало термодинамики представляет
собой закон сохранения энергии для тепловых явлений.
При подводе теплоты к среде, например, газу, находящемуся
под некоторым внешним давлением, газ расширяется и температура его возрастает. При этом происходит увеличение внутренней энергии газа (среды) и им совершается работа.
Если элементарное количество теплоты, подведенное к среде
равно dQ, то элементарное изменение внутренней энергии среды
dE и элементарная работа dA, совершаемая при этом средой,
связаны уравнением

dQ = dE + dA.
(1.1)

Внутренняя энергия газа (среды) E имеет две составляющие:
кинетическую энергию K, которая является функцией температуры, и потенциальную энергию П, которая является функцией
взаимодействия частиц среды, т. е.

E = K (T) + П.

Для идеальной среды (без химических и физических превращений) справедливо соотношение для единицы массы:

dA = pdv,

где v = 1/ρ — удельный объём.

Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды

Первое начало термодинамики для единицы массы в этом
случае можно записать в виде

dQ = dE + pdv.
(1.2)

Для твёрдого тела первое начало термодинамики можно записать в виде

dQ = dE−σijdεij

ρ
,
(1.3)

где σij и εij — компоненты соответственно тензора напряжений
и тензора деформаций. Член (σijdεij)/ρ представляет собой полную работу при деформировании единицы массы среды.
Так как внутренняя энергия газа является функцией удельного объёма и температуры,

E = E (v, T) ,

то полный дифференциал внутренней энергии равен

dE =
∂E

∂T

v
dT +
∂E

∂v

T
dv.

И теперь окончательно уравнение, выражающее первое начало термодинамики для идеальной среды, запишем в виде

dQ =
∂E

∂T

v
dT +
∂E

∂v

T
dv + pdv.
(1.4)

Это уравнение является аналитическим выражением первого начала (закона) термодинамики, который устанавливает, что
при подводе к газу (среде) теплоты одна часть его расходуется
на увеличение внутренней энергии газа, а другая — на совершение газом (средой) внешней работы.
Очевидно, что первое начало термодинамики является выражением закона сохранения энергии применительно к тепловым
процессам.
Первое начало термодинамики находит широкое применение
как в теории, так и в практике термодинамических расчётов.
Рассмотрим частные случаи уравнения (1.4).

1.1.2. Изохорный процесс. Изохорным называется процесс, протекающий при постоянном объёме, т. е. v = const,
и dv = 0.