Математический анализ: Производные графики функций


             А. А. ТУГ АНБАЕВ






                МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ





ПРОИЗВОДНЫЕИГРАФИКИ ФУНКЦИЙ





У чебноепособие



                               2-е издание, дополненное







Москва

                          Издательство "ФЛИНТА"
2013

   УДК 510(075.8)
   ББК 22.1я73
        Т81






    Туганбаев А.А.
Т81 Математический анализ: Производные графики функций [Электронный ресурс]: у чеб. пособие. — 2-е изд., доп. — М. : ФЛИНТА, 2013. — 93 с.
         ISBN 978-5-9765-1305-1

         В книге рассмотрен следующий важный раздел математического анализа: теория и практическое вычисление производных, построение графиков. Книга соответствует программам курсов математического анализа для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий.
         Для студентов и преподавателей гуманитарных факультетов высших учебных заведений.




УДК 510(075.8)
ББК 22.1я73

ISBN 978-5-9765-1305-1

© Издательство «ФЛИНТА», 2013

Содержание

1. Производные                                   4
   1.1. Свойства производных ................... 4
   1.2. Производные элементарных функций....... 12
   1.3. Задачи с краткими решениями............ 14

2. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, Лопиталя и Тейлора                                         18
   2.1. Теоремы Ферма и Ролля.................. 18
   2.2. Теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя...... 19
   2.3. Формулы Тейлора и Маклорена............ 23

3. Исследование функций и их графиков           30
   3.1. Асимптоты.............................. 30
   3.2. Условия возрастания и убывания функции .... 31
   3.3. Точки максимума и минимума............. 33
   3.4. Направления вогнутости графика......... 38
   3.5. Задачи с краткими решениями по графикам ... 41
   3.6. Задачи для самостоятельного решения.... 58

4. Контрольные вопросы и задания                63
   4.1. Производные и исследование функций..... 63
   4.2. Исследование функций и их графиков..... 79

5. Приложения                                   84
   5.1. Приложение 1: Пределы и непрерывность ....  84
   5.2. Приложение 2: Простейшие элементарные функции 85
   5.3. Приложение 3: Справочный материал ..... 90

3

1.  Производные


        1.1. Свойства производных


1.1.1. Односторонние производные. Если для функции у = ,х ;   Л „          ■■ .. .. !•_ f ⁽x0 ⁺ Ax⁾ — f ⁽x0)
f (x) существует правый предел lim ------------- (co-
                            Дх -.       Ax

отв. левый предел lim
Дх^0



 f ⁽x0 ⁺ Ax⁾ — f ⁽x0) x__   _
----------------- , то он называется
Ax

правой производной (соотв. левой производной ) функции f (x) в точке x₀ и обозначается через Д (x₀) (соотв. f-(x₀)).
1.1.2. Производная. Если для функции f (x) существует пре-f      f ⁽x⁾ - f ⁽x0) / ч      о о оо оо п          л-
дел lim -----------, то этот предел называется производной
    х^хо  x - x₀
(или первой производной) функции f (x) в точке x₀ и обозначается через f °(x₀), y⁰(x₀) ил и f (x₀).
dx
Обозначим Ax = x — x₀, Ay = f (x) — f (x₀) = f (x₀ + Ax) — f (x₀).
Тогда

f /⁽xo) = y,⁽xo) =

lim
Дх^0

f (xo + Ax) - f (xo)

Ax

Переходя от x₀ ,.  f ⁽x + Ax) — f ⁽x)
△Xm0      Ax

к   x,

Так

получаем,

что

АУ lim ——. Дх^о Ax

f 0⁽x⁾

как существование предела

функции в точке равносильно тому, что в этой точке оба односторонних предела существуют и совпадают, то

    f 0(x₀) существует в точности тогда, когда Д (x₀) и f- (x₀) существуют и равны между собой; тогда f0(x₀) = Д(x₀) = f- ⁽x0)-
1.1.3. Дифференцируемые функции и дифференциал. Функция f (x) называется дифферпнцируемой в точке x, если ее приращение можно записать в виде


f (x + Ax) — f (x) = A(x)Ax + o(Ax),

где A(x) не зависит от Ax. В этих условиях выражение A(x)Ax называется дифференциалом (или первым дифференциалом} функции f (x) в то чке x и обозначается через df (x) и ли dy.
1.1.4. Ax = dx. Дифференциал независимой переменной равен ее приращению. Иными словами, если f (x) = x, то df (x) = Ax = dx.

4

/ Для функции y = х можно написать Ду = (х + Дж) — х = 1 • Дх + 0 • Дх. Поэтому dx = Дх. .
1.1.5. Совпадение функций, имеющих производную, и дифференцируемых функций.
  1) Если функция f (х) дифференцирхгема в точке х, то f (х) имеет в точке х производную, причем df (х) = f '(х)Дх = f '(х^х.
  2) Если функция f (х) имеет в точке х производную, то в этой точке f (х) дифференцируема.

/ 1). Так как f (х) дифференцируема, то f (х + Дх) — f (х) =
= А(х)Дх + а(Дх)Дх, где А(х) не зависит от Дх и lim а(Дх) = Лх—0
0. Тогда



 А(х) = lim (А(х) + а(Дх)) = lim м -                        л,—0


f ⁽х + Дх⁾ — f ⁽х⁾ _ Дх                        f ⁽х⁾’

т.е. производная f'(х) существует и равна А(х). По 1.1.4 Дх = dx, откуда df (х) = f'(х)Дх = f'(х^х.

2).

Так как         f (х)

f'(х) = lim '⁽х Д' — f⁽х⁾, л к л   Лх—0          Дх

имеет производную

то в силу утверждения 5.1.2

из Приложения 1 существует такая функция а(Дх), что

lim а(Дх) = 0 и л.-—о

f ⁽х + Дх) — f ⁽х) Дх

f' (х) + а(Дх). Домножая это равенство на

Дх, получаем, что приращение f (х + Дх) — f (х) можно записать


в виде
f ⁽х ⁺ Дх) — f ⁽х)
, . . Дх ференцируема. .

Дх = f'(х)Дх + а(Дх)Дх. Поэтому f(х) диф-


1. 1.6. Непрерывность и дифференцируемость. Каждая функция f (х), имеющая в точке х производную, непрерывна в х. Кроме того, существует непрерывная в точке х функция без производной в этой точке.
/ 1). Пусть f (х) имеет в точке х производную. В силу 1.1.5 f (х) дифференцируема в точке х и поэтому


      lim (f (х + Дх) — f (х)) = lim ((А(х) + а(Дх)) Дх) = Лх—0                     Лх—0
       = lim (А(х) + а(Дх)) • lim (Дх) = А(х) • 0 = 0. Лх—0                   Лх—0


5

Так как непрерывность f (x) равносильна тому, что lim Ду = 0, Ax—О
то получаем требуемое утверждение.
2) . Рассмотрим, например, функцию f (x) = |x| в точке x = 0.
Тогда


  lim |f(x + Ax) — f(x)| = lim ||x + Дх| — |x|| < lim |Ax| = 0.
Ax —О                      Ax —o                   Ax —o


Поэтому lim (f (x + Ax) — f (x)) = 0 и функция |x| непрерывна Ax—О
в любой точке x. С другой стороны,

f (0 + Ax) — f (0)     (0 + Ax) — 0
        lim --------------= lim ---------------= 1,
      Ax—0+      Ax          Ax—0+ Ax
f (0 + Ax) — f (0)     — (0 + Ax) — 0
      lim ----------------= lim ---------------= —1,
     Ax—0-       Ax          Ax—0-     Ax

и поэтому в точке x = 0 производная |x|' не существует. .
1.1.7. Касательная, нормаль и геометрический смысл производной и дифференциала. Рассмотрим точки A(x,f (x)) и В(x + Ax,f (x + Ax)) на графикe функции у = f (x) и прямую Сав, проходящую через точки A и В под углом р к оси OX. Если существует такая прямая L—C. проходящая через точку A и образующая угол а с осью OX, что lim р = а
Ax—o
(т.е. угол между прямыми Сав и Сас стремится к нулю при любом стремлении точки В на графике к точке A), то прямая Сас называется касательно У к графику функции у = f (x) в п
точке A. В случае, когда а = —, каса тельная Сас называется , п
вертикальной, а в случае, когда а = —, каса тельная Сас называется невертикальной. Прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная к касательной к графику у = f (x) в точке A, называется нормалью к графику в точке A.
Существование невертикальной касательной Сас равносильно тому, что


tg а = lim tg р = lim f ⁽x ⁺ Ax⁾-------fx) = f'(x).
               Ax—o        Ax—o        Ax


Поэтому существование в точке A невертикальной касательной у ypm/ifKy дбугжуии у = f (x) равносильно существованию в точке x производной f '(x), причем геометрический смысл производной f '(x) заключается в том, что она равна, тангенсу угла наклона этой касательной к оси OX.

6

В этом случае дифференциал dy = df (x) в точке x равен f ⁰(x)Ax = | CD|, г де D - точка пересечения проходящей через A горизонтальной прямой и проходящей через точку B вертикальной прямой, a C - точка пересечения касательной с проходящей через точку B вертикальной прямой.
Поэтому геометрический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал, равен приращению ординаты точки касательной y ypa=ufy функции y = f (x) в mочке A при изменении абсциссы точки касательной am x do x + Ax.

Допустим, что существует f ⁰(xQ). Так как f⁰(xQ) совпадает с тангенсом угла наклона касательной к графику в точке (xQ, f (xQ)), то уравнение невертикальной касательной к графику y = f (x) в точке (xQ, f (xQ)) имеет вид
y = f (xq) + f⁰(xq)(x - xq).
В этом случае уравнение нормали к графику y = f (x) в точке (xQ, f (xq)) имеет вид
y = f (xq ) - f x ) (x - xq) пр и f⁰ (xq) = 0 и x = xq пр и f ⁰(xq) = 0.

1.1.8. Производная постоянной функции f (x) = C равна нулю.

/ C⁰ = lim
Ax^Q

f ⁽x + Ax) — f ⁽x)

C-

Ax

lim .
Ax^Q Ax

C — = 0.

1.1.9. Свойства производных. Пусть функция v(x) имеет производную в точке x.
  1) Если C - число, то функция C • v(x) имеет производную C • v'(x).

/1\⁰
2) Если v(x) = 0 в точке x, то в этой точке производная -
   _  ...      .  . v⁰
   существует и равна —-.
                      v²

7

  3)  Пусть u(x) - еще одна функция, имеющая в той же точке x производную. Тогда функции u(x)+v(x), u(x)v(x) имеют в точке x производивie, причем (u + v)0 = u⁰ + v⁰, (uv) = u'v + uv⁰.
     u............л            л <uA⁰ u0v — uv0
     Кроме того, если v(x) = 0, то — =----------.
\v/      v²

/ 1). (Cv(x))⁰ = lim
Ax—Q

Cv(x + Ax) — Cv(x) Ax

= c. lim v⁽x ⁺ Ax⁾ - v⁽x⁾ = Cv0(x). Ax —Q              Ax


2). Так как дифференцируемая функция v непрерывна и v(x) =
.         ,       1  / .      1   . Г        1        1
0, то в x функция  - не прерывна, т.е. lim —----—-  = ———.
           '      v                  Ax-—Q v(x + Ax) v(x)
Поэтому

                   1        1
  /1\⁰    ,.  v(x + Ax)  v(x)        v(x)  — v(x + Ax)
    -   =  lim —-----=---=^~    = lim —-------—    —   =
  \y )    Ax—q       Ax          Ax—q v(x + Ax)v(x)Ax
        v(x + Ax) — v(x)          1            1      v⁰(x)
= — lim ------•---------• lim —-------—- • lim —— =--- .
    Ax—Q      Ax         Ax—Q v(x + Ax) Ax—Q v(x)     v²(x)

3). Ясно, что (u + v)0 = lim x ⁺ Ax⁾ ⁺ v⁽x + Ax⁾ — u⁽x⁾ — v⁽x⁾ Ax—Q                               Ax


       u(x + Ax) — u(x)         v(x + Ax) — v(x)
= lim -------------------+ lim -----------------
  Ax—Q         Ax        Ax—Q          Ax

= u⁰(x) + v⁰(x),

₀      u(x + Ax)v(x + Ax) — u(x)v(x)
         ⁽uv⁾ = A—                   Ax

            li u(x + Ax)v(x + Ax) — u(x)v(x + Ax) Ax—Q                 Ax


—

+ lim
  Ax—Q

u(x)v(x + Ax) Ax

u(x)v(x)

u(x + Ax) — u(x) lim ------г---------
Ax—Q       Ax

lim v(x + Ax) + u(x) • lim v⁽x ⁺ ^x⁾
Ax—Q                 Ax—Q       Ax

v(x)

= u⁰v + uv⁰.

Из 2) и равенства (uv)⁰ = u⁰v + uv⁰ следует, что

1\⁰   ₀1 v     v⁰
u- I = u —+ u I —^

u⁰v — uv⁰ v²

8

1.1.10. Производная сложной функции. Если функция и = u(x) имеет производную в точке х₀ и функция y = y(u) имеет производную в точке и₀ = u(xₒ), то сложна я функция f (u(x)) имеет производную в точке xₒ и

dₓ ⁽y[u⁽x⁾]⁾

      d
  = -г (y(u)) du
:XQ

    —{u(x)}    ,т.е.
    dx
U=UQ        X=XQ

dy dx

dy du du dx

/ Придадим значению x = xₒ приращение Ax. Тогда функция u = <£>(x) получит приращение Au, что, в свою очередь, при Au = 0 вызовет приращение Ay функции y = f (u). В силу 1.1.5 функция y(u) дифференцируема и поэтому


       Ay = f⁰(uₒ)Au + a(Au)Au, гдe lim a(Au) = 0.          (*)
                                          Au^(i


Положим a(0) = 0. Тогда функция a(Au) непрерывна при Au = 0. Разделим равенство (*) на Ax = 0 и перейдем к пределу при Ax ^ 0.

Тогда

г Ay г
lim —— = lim
A.r^o Ax   A.r^o

f/⁽uo⁾Ax ⁺ a⁽Au⁾Ax

(**)

В силу непрерывности дифференцируемых функций lim Au =
                                              A.r^o

0. Тогда lim a (Ax) = 0, A.r^o
буемое утверждение. .

lim A.r^o

= ^⁰(uₒ) и получаем тре-

1.1.11. Инвариантность формы первого дифференциала. Пусть функция y = y(u) дифференцируема в точке u. Если u - не независимая переменная, а дифференцируемая в точке x функция u = u(x), то дифференциал dy сложной функции y(u(x)) имеет тот же вид dy = y⁰(u)du = y⁰(u(x))u⁰(x)dx.
1.1.11 следует из 1.1.10 и 1.1.5.
1.1.12. Взаимно однозначные и обратные отображения и функции. Отображение f: X ^ Y называется взаимно однозначным, если для любого y G Y найдется в точности один элемент x G X с условием f (x) = y; такой элемент x обозначается через f ⁻¹(y).
Для любого взаимно однозначного отображения f: X ^ Y правилом x = f⁻¹(y) определяется взаимно однозначное отображение f⁻¹: Y ^ X, называемое обратным отображением для f, причем f⁻¹(f(x)) = x для всех x G X и f(f⁻¹ (y)) для всех y G Y. Поэтому f - обратное отображение для f⁻¹.

9

Пусть функция y = f (x) взаимно однозначно отображает промежуток Dₓ ос и Ox на промежуток Dy ос и Oy. На промежутке Dy зададим функцию x = ^(y), сопоставляя каждому y G D то единственное значение x G D, для которого f (x) = y. Функция x = <£>(y) называется обрат you yyufyxeu для y = f (x) и взаимно однозначно отображает промежуток Dy на прол-гежуток Dₓ. Заметим, что функция y = f (x) является обратной функцией для функции x = p(y) и p(f (x)) = x, f(p(y')') = у для любых x G Dₓ и y G Dy.
1.1.13. Существование и непрерывность обратной функции.¹ Пусть функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на отрезке [a, b], f (a) = а и f (b) = в- Тогда на отрезке [а, в] (отрезке [в, а]) определена непрерывная строго возрастающая (строго убывающая) функция x = ^(y), являющаяся обратной функцией для функции y = f (x).
1.1.14. Производная обратной функции. Пусть функция f (x) имеет ненулевую производную f ⁰(x₀) в точке x₀, причем f (x) непрерывна и строго возрастает (строго убывает) в некоторой окрестности x₀. Тогда для обратной функции x = p(y) в соответствующей точке y₀ = f (x₀) существует производная, равная ——-.
       f⁰⁽x0)
/ По 1.1.13 на отрезке [а, в] (отрезке [в, а]) определена непрерывная строго возрастающая (строго убывающая) функция x = <£>(y), являющаяся обрат ной функцией для y = f (x). Придавая значению y = y₀ приращение Ay, получим приращение Ax обратной функции x = ^(y). Так как функция y = f (x) строго возрастает (строго убывает), то Ax = 0 при Ay = 0. Поэтому

                   Ax     1
                   Ay  Ay/Ax’


(*)

В силу непрерывности обратной функции lim Ax = 0. Поэто-Ду^0
му знаменатель правой части равенства (*) стремится к пределу f⁰(x₀) = 0. Тогда существует предел и левой части (*), равный производной функции x = <£>(y) в точке y₀. Поэтому = fky.
1.1.15. Производные и дифференциалы высших порядков. Пусть функция f (x) имеет производную f⁰ (x) на интервале
  ¹1.1.13 приводится без доказательства.

10

(a, b). Если функция f '(x) сама имеет производную на интервале (a,b), то эта производная называется производной второго порядка, или второй производной, от f (x) и обозначается через
         f''⁽x⁾ = f⁽²⁾⁽x⁾ =⁽f w = .. (f⁾ = g.
Аналогично определяются производные более высоких порядков. А именно, производной н-го порядка или n-й производной от f (x) называется производная от (n — 1)-й произ водной f ⁽ⁿ⁻¹⁾(x):
         f <">(x) = (f <"-i>(x))' = a f AAf) = df
X        '   dx \dx⁽ⁿ⁻¹⁾ J   dxⁿ
При вычислении производных высших порядков бывает полезна следующая формула, Лейбница, приводимая здесь без доказательства:
(uv)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾v + Hu⁽ⁿ⁻¹V + ⁿ⁽ⁿ— 1) u⁽ⁿ⁻²V + ... + ⁿ⁽ⁿ— 1) u!' v⁽ⁿ⁻²⁾ +
         +.         + uv⁽ⁿ⁾ = XX  ---4— u⁽ⁿ⁻fcMfc⁾.
           1!                    (n — k)!k!

Дифференциалом, второго порядка, или вторым дифференциалов функции y = f (x) называется первый дифференциал от первого дифференциала df (x) = dy = f'(x)dx, где dx считается постоянным множителем. Второй дифференциал от f (x) обозначается через d² (f (x)) и ли d ²y. Так как dx постоянен, то d²y = f ⁽²⁾(x)(dx)². Аналогично, дифференциалом, n-го порядка dⁿy (п-м дифференциалом) функции y = f (x) называется первый дифференциал от (н — 1)-го дифференциала
           dⁿf (x) = dⁿy = d ⁽dn⁻¹y) = f ⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ,
где dx считается постоянным множителем.
1.1.16. Производные функций, заданных параметрически. Будем говорить, что функциональная зависимость y от x задана параметрически, если обе переменные x и y заданы как функции некоторого параметра t:
             x = Ht),     у = W), t € ⁽a,e⁾.
Допустим, что на интервале (а, в) функции ^(t) и ^(t) имеют производные, ^'(t) = 0 и для функции x = ^(t) существует обратная дифференцируемая функция t = g(x). Тогда по теореме

11