Общая физика

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемый сборник задач по физике предназначен для студентов естественно-научных специальностей университетов, для 
которых физика не является профилирующей дисциплиной. 
Рекомендованная Министерством образования и науки РФ примерная программа дисциплины «Физика» для студентов биологических, геологических, географических и почвенных факультетов 
охватывает последовательно изучаемые разделы физики — классическую механику, молекулярную физику и термодинамику, электромагнетизм, геометрическую, волновую и квантовую оптику. 
Этот весьма значительный объем материала изучается, как правило, в течение двух семестров, один из которых (весенний) укорочен в связи с производственной (полевой) практикой студентов. 
Поэтому семинарские занятия проходят в условиях жесткого лимита времени — 32 часа (16 занятий) в осенний семестр и 16 часов 
(8 занятий) в весенний семестр. Таким образом, на 21 тему семинаров приходится 24 занятия; с учетом времени, необходимого для 
контрольных работ, тестов, коллоквиумов, оказывается, что каждая тема может быть рассмотрена не более, чем на одном семинаре, и весьма существенную роль приобретает самостоятельная 
работа студентов.
Основной упор на семинарских занятиях делается на углублении и закреплении материала, излагаемого на лекциях; практические занятия не ставят целью научить студента решению задач 
повышенной сложности. Их целью является освоение основных 
понятий физики, связей между ними в виде фундаментальных 
физических законов, применение этих законов для моделирования 
и количественного описания различных конкретных ситуаций. 
Предлагаются для решения, как правило, типовые задачи, требующие в ряде случаев применения высшей математики.
Каждому разделу предшествует краткое теоретическое введение, 
позволяющее студенту представить объем необходимого для решения задач раздела теоретического материала. Разделы разбиты 
по темам; по каждой теме вначале предлагаются простые качественные задачи, не требующие для решения математических выкладок. Далее следуют типовые задачи с решениями, демонстри

рующие методические приемы, знание которых необходимо для 
формализации и математического описания предлагаемых моделей. Затем материал по каждой теме закрепляется самостоятельным решением задач. Ответы к задачам приведены в конце сборника.
Мы полагаем, что уже имеющиеся пособия подобного рода, 
предназначенные, в основном, для специальностей с физической 
и технической ориентацией, не соответствуют в полной мере программе изучения физики на факультетах естественно-научного 
профиля в классических университетах. Целью данного издания 
является создание учебного пособия, соответствующего реально 
реализуемой программе по физике в той ее части, которую можно 
считать «инвариантной» и общей для всех указанных факультетов, 
и достаточно глубокое освоение которой будет являться основой 
для последующих специальных курсов — биофизики, геофизики, 
физики почв и т.д.
Материал, содержащийся в сборнике, может быть использован 
для реализации индивидуальных учебных планов, организации 
самостоятельной работы студентов, при проведении контрольных 
работ и коллоквиумов.
Раздел «Механика» написан Л.А. Скипетровой, «Электричество 
и магнетизм» (кроме темы 3.4) — Л.Г. Антошиной, «Молекулярная 
физика и термодинамика», тема 3.4 раздела «Электричество и магнетизм» и «Оптика» — С.В. Павловым. 

Б.А. Струков

Раздел 1
МЕХАНИКА

ТЕМА 1.1
КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 

Кинематика описывает движения тел (материальных точек) 
независимо от вызвавшей их причины. Основной прием описания 
движения материальной точки состоит во введении зависящего от 
времени радиус-вектора r t( ), т.е. вектора, проведенного из начала 
координат в данную точку. Перемещение Δr точки есть вектор, 
проведенный из ее начального положения в конечное и равный 
приращению радиус-вектора данной точки. Скорость определяется 
как производная от радиус-вектора движущейся точки по времени: 
v
r
t
= d
d
/
. Ускорение находится из соотношения a
v
t
=
=
d
d
/
r
t
= d
d
/
2
2. В случае равномерного движения (v = const) выполняется соотношение Δr = vΔt. Формулы движения с постоянным 
ускорением имеют вид

v
v
at
=
+
0
, 
(1.1.1)

Δr
v t
at
=
+
0

2

2 , 
(1.1.2)

где v0 — начальная скорость.
В криволинейном движении точки полное ускорение a есть 
векторная сумма тангенциального aτ и нормального an ускорений. 
Модуль полного ускорения равен при этом 

a
a
an
=
+
τ
2
2,
 
(1.1.3)

a
v
R n
n =

2
, 
(1.1.4)

a
v
t
v
v
τ
τ τ
=
=
d
d
,
, 
(1.1.5)

R — радиус кривизны траектории в данной точке, v — скорость 
точки, n — единичный вектор, направленный перпендикулярно к 
скорости.
Если материальная точка движется в одном измерении, то достаточно задать скалярную, зависящую от времени координату 

x(t). По известной зависимости x(t) легко найти значения скорости vx = dx/dt и ускорения ax = dvx/dt = d2x/dt2. В соответствии со 
своими определениями величины x(t), vх(t) и aх(t) связаны математически следующими соотношениями:

x
x
v
t
t
x
( )
( )
,
τ

τ
=
+ ∫
0
0
d  
(1.1.6)

v
v
a t
t
x
( )
( )
,
τ

τ
=
+ ∫
0
0
d  
(1.1.7)

где x0 и v0 — начальные координата и скорость, τ — время.
В случае прямолинейного равнопеременного движения (движения с постоянным ускорением) формулы (1.1.1), (1.1.2) записываются в виде

v
v
at
= ±
±
0
, 
(1.1.8)

x
x
v t
at
= ±
±
±
0
0

2

2 . 
(1.1.9)

Перед x0, v0 и a знак «плюс» берется, когда начальная скорость 
v0, координата x0 и ускорение a направлены вдоль оси Х, а знак 
«минус», если их направление противоположно оси.

Качественные задачи

1.1.1. На рис. 1.1 представлены графики изменения координат 
трех тел, движущихся прямолинейно. Написать законы движения 
каждого из тел и определить, какое тело имело большую скорость.

Рис. 1.1

1.1.2. Зависит ли форма траектории от выбора системы отсчета? Свой ответ проиллюстрируйте примерами.
1.1.3. Велосипедист движется со скоростью 10 м/с. Его обгоняет мотоциклист, движущийся со скоростью 54 км/ч. Какова 
скорость мотоциклиста относительно велосипедиста?
1.1.4. Две материальные точки движутся со скоростями v1 = 
= 4 м/с и v2 = 3 м/с, направленными под прямым углом друг к 
другу. С какой скоростью удаляются материальные точки друг от 
друга? На сколько переместится первая точка в системе координат, 
связанной со второй точкой, за время τ = 10 с?
1.1.5. Какие из приведенных зависимостей описывают равномерное движение?
а) s = 2t + 3; б) s = 5t2; в) s = 3t; г) v = 4 – t; д) v = 7, где s — путь, 
v — скорость, t — время*.
1.1.6. Три тела брошены так: первое — вниз без начальной скорости, второе — вниз с начальной скоростью, третье — вертикально вверх. Тела движутся в поле сил тяжести. Что можно сказать об 
ускорениях этих тел ? Сопротивление воздуха не учитывать.
1.1.7. Из окна железнодорожного вагона свободно падает тело. 
Будут ли равны между собой времена падения тела, вычисленные 
для случаев: а) вагон неподвижен, б) вагон движется с постоянной 
скоростью v, в) вагон движется с постоянным ускорением a?
1.1.8. Какие из приведенных зависимостей описывают равнопеременное движение?

* В подобных записях, если нет других указаний, числовым и буквенным 
коэффициентам следует приписывать такие размерности, чтобы при подстановке времени в секундах значения координаты, пройденного пути, 
перемещения получались в метрах, значение скорости — в метрах в секунду и т.д.

Рис. 1.2

а) v = 3 + 2t; б) s = 3 + 2t; в) s = 5t2; г) s = 4t – t2; д) s = 2 – 
– 3t + 4t2, где s — путь, v — скорость, t — время.
1.1.9. Зависимость скорости движущегося тела от времени 
v = 5 + 4t. Какова зависимость от времени пройденного пути 
s(t)?
1.1.10. Материальная точка движется вдоль оси х. На рис. 1.2 
приведена зависимость проекции ускорения ax на ось x от времени t. В какой момент времени скорость vx достигает наибольшего 
значения? Начальная скорость движения равна нулю.
1.1.11. Каковы направления нормального an и тангенциального aτ ускорений относительно траектории, чем определяются их 
абсолютные значения, какова их роль в изменении скорости?
1.1.12. Определить, во сколько раз численное значение нормального ускорения точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тангенциального ускорения для того момента, 
когда вектор полного ускорения составляет угол α = 30° с вектором 
ее линейной скорости?
1.1.13. Оказалось, что график зависимости скорости тела от 
времени имеет вид полуокружности. Максимальная скорость тела 
vmax, время движения τ. Определить путь, пройденный телом.
1.1.14. Модуль скорости v частицы меняется со временем по 
закону v = kt + b, где k и b — положительные постоянные. Модуль 
ускорения равен a = 3k. Найдите значения тангенциального и 
нормального ускорений, а также зависимость радиуса кривизны 
траектории от времени R(t).
1.1.15. Зависимость радиус-вектора частицы от времени имеет 
вид r
kti
bt j
=
−
2 , где 

i , 

j — единичные орты вдоль осей x и y; 
k и b — положительные постоянные. Определите а) уравнение траектории; б) скорость v и ускорение a частицы.
1.1.16. Даны уравнения движения точки: x = 8 – t2; y = t2 – cost. 
Определите проекцию ускорения ау в момент времени, когда координата х = 0.
1.1.17. Даны графики ускорений an(t) и aτ(t) (рис. 1.3). 
Определите tgϕ, где ϕ — угол, который образует полное ускорение 
с направлением скорости в момент времени t = 2 с.
1.1.18. Тело брошено вертикально вверх. Во сколько раз нужно 
изменить скорость тела в момент бросания, чтобы максимальная 
высота подъема изменилась в k раз? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.1.19. Какую скорость набирает тело в конце первой минуты 
свободного падения? Сопротивлением воздуха пренебречь. 
Ускорение свободного падения равно g.
1.1.20. Под каким углом к горизонту следует бросить тело, чтобы максимальная высота подъема равнялась ¼ дальности его полета? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задачи с решениями

1.1.21. Материальная точка движется в плоскости согласно 
уравнениям x = A1 + B1t + C1t2 и y = A2 + B2t + C2t2, где B1 = 7 м/c, 
C1 = –2 м/с2, B2 = –1 м/с, С2 = 0,2 м/с2.
Найти модули скорости v и ускорения a точки в момент времени t = 5 с.
Решение. Рассмотрим два независимых движения вдоль оси х и 

вдоль оси у. Используя формулы v
x
t
x = d
d , v
y
t
y = d
d , получаем 

vx = B1 + 2C1t, vy = B2 + 2C2t. Так как векторы vx и vy взаимно перпендикулярны, то модуль скорости v определяется по теореме 
Пифагора:

v
v
v
B
C t
B
C t
x
y
=
+
=
+
+
+
≈
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
13
(
)
(
)
 м/с.

Составляющие ax и ay ускорения точки найдем по формулам 

a
x
t
x = d
d

2

2 , a
y
t
y = d
d

2

2 : ax = 2C1, ay = 2C2. Соответственно модуль ус
корения определяется выражением

a
a
a
C
C
x
y
=
+
=
+
≈
2
2
1
2
2
2
2
2
4 м с
/
.

Ответ: v  ≈ 13 м/с, a  ≈ 4 м/с2.

Рис. 1.3

1.1.22. Человек в лодке переплывает реку, отправляясь из точки А (рис. 1.4). Если он будет держать курс перпендикулярно берегам, то через t⊥ = 10 мин после отправления попадет в точку С, 
лежащую на расстоянии s = 120 м ниже точки В по течению реки. 
Если он будет держать курс под некоторым углом α к прямой АВ 
против течения, то через tα = 12,5 мин попадет в точку В.
Определить ширину реки L, скорость лодки относительно воды 
v, угол α, под которым плыл лодочник во втором случае, скорость 
течения реки u.
Решение. Делаем схематический чертеж и вводим обозначения: 
L — ширина реки, u — скорость течения реки, v — скорость лодки 
относительно воды. Выбираем систему координат хОу и рассматриваем движение лодки по х и у.
Лодочник держит курс перпендикулярно берегам: 

x = ut⊥ = s;
y = vt⊥ = L.

Лодочник держит курс под углом α к АВ: 

vх = u – v sinα,
x = (u – v sinα)tα;
vу = v cosα,
y = v cosα · tα.
Решаем полученную систему уравнений:

u = s/t⊥ = 0,33 м/с; cosα = t⊥/tα = 0,8; 

v = u/sinα = u/ 1
2
− cos α = 0,55 м/с; L = vt⊥ = 198 м.

Ответ: u = 0,33 м/с; cosα = 0,8; v = 0,55 м/с; L = 198 м.

Рис. 1.4

1.1.23. Точка движется вдоль оси x согласно графику, изображенному на рис. 1.5. Построить графики изменения ускорения 
a(t) и скорости v(t) движения. Определить начальную v0 и среднюю 
vcp скорости движения.
Решение. Отметим тот факт, что в момент t = 4 с тело начинает 
двигаться в обратном направлении, следовательно, меняется характер движения с равнозамедленного на участке 0–4 (v > 0, 
a < 0) на равноускоренный на участке 4–8 (v < 0, a < 0, т.е. знаки 
ускорения и скорости совпали). Используя формулу (1.1.9), имеем 
x(t) = v0t – a t2/2. По графику получим координаты точки в моменты времени t = 0 c (x = 0 м); t = 4 c (x = 16 м); t = 8 c 
(x = 0 м). Решая систему

8
32
0

4
8
16

0

0

v
a

v
a

−
=

−
=

⎧
⎨⎪

⎩⎪

,

,

получаем a  = 2 м/с2, v0 = 8 м/с.
Сказанное выше позволяет построить графики а(t) и v(t) (см.
рис. 1.5).
По определению средней скорости движения имеем vср = 
= sполн/tполн = 4 м/c.
Ответ: v0 = 8 м/с, vср = 4 м/c.

Рис. 1.5

1.1.24. Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью v0 = 10 м/с и с постоянным ускорением a = 
= –5 м/с2 (рис. 1.6). Определить, чему равен путь s, пройденный 
точкой, и модуль ее перемещения Δr спустя время t = 4 с после 
начала отсчета времени.

Решение. Выберем систему координат, поместив начало отсчета в точку начала движения, и начертим график изменения скорости v(t) = v0 – a t. Путь — это площадь заштрихованной фигуры, 
ограниченной графиком v(t) и осью времени t, таким образом, 
s = 20 м. Напишем формулу изменения координаты от времени 
x(t) = v0t – a t2/2, подставим v0 = 10 м/c, a  = 5 м/c2, t = 4 c, подсчитаем и получим х = 0 (т.е. точка вернулась в исходное положение), следовательно, перемещение Δr = 0, так как перемещение — 
это вектор, соединяющий начальное и конечное положения точки 
и направленный в сторону конечной точки перемещения.
Ответ: s = 20 м, Δr = 0.

1.1.25. За время τ тело прошло путь s, причем его начальная 
скорость увеличилась в k раз. Определить величину ускорения 
тела a.
Решение. Обозначим начальную скорость движения v0, а ускорение а. Движение равноускоренное, поэтому можно воспользоваться формулами (1.1.8) и (1.1.9):

v = v0 + aτ, s = v0τ + aτ2/2, v = kv0. 

Рис. 1.6