Математика. Типовые задачи вступительных тестов для поступающих в 10 класс

Московский Государственный Технический университет 

им. Н. Э. Баумана

Специализированный учебно-научный центр

при МГТУ им. Н.Э. Баумана

Типовые задачи 

вступительных тестов 

для поступающих в 10 класс

(методическое пособие 

под общей редакцией И.Е. Денежкиной) 

Москва

2000

Целью настоящего сборника является ознакомление учащихся с уровнем 

требований, предъявляемых на вступительных экзаменах в СУНЦ при МГТУ 

им. Н.Э.Баумана и порядком их проведения. В сборнике приведены типовые 

варианты экзаменационных заданий по математике.
Авторами включенных в 

варианты задач являются преподаватели СУНЦ.

Составитель и редактор сборника    И.Е. Денежкина 

Компьютерный набор и верстка     И.Е. Денежкина

Типография                                     А.С. Рожин

Оглавление

1.
Введение..............................................................................................................................................4

2.
Структура экзаменационного задания по математике    и общие требования ..............................4

3.
Типовые варианты  экзаменационых заданий   для поступающих в 10 класс. .............................5

3.1.
Вариант 1 ( с решениями). .........................................................................................................5

3.2.
Вариант 2( с ответами)...............................................................................................................9

3.3.
Вариант 3( с ответами).............................................................................................................10

3.4.
Вариант 4( с ответами).............................................................................................................11

3.5.
Вариант  5( с ответами)............................................................................................................12

3.6.
Вариант  6 ( с ответами). ..........................................................................................................13

3.7.
Вариант 7...................................................................................................................................13

3.8.
Вариант 8...................................................................................................................................14

3.9.
Вариант 9...................................................................................................................................15

3.10.   Вариант 10..................................................................................................................................16

4.
Типовые варианты  экзаменационых заданий  для поступающих в 11 класс .............................17

4.1.
Вариант 111 ( с решениями). ................................................................................................17

4.2.
Вариант 112( с ответами). ........................................................................................................24

4.3.
Вариант 113 ( с ответами). .......................................................................................................25

4.4.
Вариант 114 ( с ответами). .......................................................................................................25

4.5.
Вариант 115...............................................................................................................................26

4.6.
Вариант 116...............................................................................................................................27

4.7.
Вариант 117...............................................................................................................................28

5.
Задачи для самостоятельного решения...........................................................................................29

5.1.
Текстовые задачи и задачи на прогрессии..............................................................................29

5.2.
Уравнения,  неравенства, системы..........................................................................................30

5.3 .    Задачи с параметром. ................................................................................................................31
5.4      Тригонометрия...........................................................................................................................32
5.5      Планиметрия. .............................................................................................................................33
5.6. Элементы стереометрии ( для поступающих в 11 класс).........................................................34
5.7.   Элементы математического анализа  ( для поступающих в 11 класс). ...................................35

6.
Заключение .......................................................................................................................................36

7.
Ответы ................................................................................... Ошибка! Закладка не определена.

1.
Введение

Специализированный учебно-научный центр при МГТУ им. Н.Э. Баума
на проводит набор учащихся в 10 и 11 классы по результатам письменных всту
пительных экзаменов по математике и физике. 

Продолжительность каждого экзамена - 4 астрономических часа (240 ми
нут). Форма проведения экзамена соответствует вступительным экзаменам в 

МГТУ и другие  технические ВУЗы. Это означает строгое соблюдение дисцип
лины, недопустимость использования  никаких справочников и учебников, ано
нимную проверку  экзаменационных работ и возможность ознакомиться  со 

своей проверенной работой и при  необходимости  проапеллировать ее в уста
новленном порядке. Перед началом экзамена учащийся получает стандартный 

бланк приемной комиссии для оформления работы и бумагу для черновых запи
сей. По завершении экзамена все выданные листы, включая черновики, подле
жат сдаче. Приносить на экзамен свою бумагу и выносить с экзамена  чернови
ки не разрешается. Черновики не проверяются. 

Пересдача  экзамена не допускается. 

В случае неявки на экзамен по причине болезни учащемуся после предъ
явления  им медицинской  справки предоставляется возможность сдачи пропу
щенного экзамена  в другом потоке.

Получившие неудовлетворительную оценку на первом экзамене ко вто
рому экзамену не допускаются. 

Зачисление в школу проводится по результатам конкурса. Проходной 

балл определяется после окончания всех  вступительных экзаменов.

2.
Структура экзаменационного задания по математике    

и общие требования

Вариант экзаменационного задания  содержит примеры или задачи из 

разных разделов школьного курса. Для успешной сдачи экзамена по математике 

никаких специальных разделов, не включенных в стандартную программу по 

математике за 5-9 класс средней школы,  знать не надо. Более того, в связи с 

тем, что в некоторых  школах отдельные разделы программы изучаются  в раз

ные периоды учебного года или не изучаются совсем,  экзаменационное задание 

составляется таким образом, что для получения отличной оценки не обязатель
но  полностью решать  весь вариант. Если задача или пример учащемуся незна
комы, он может его пропустить.

В последние годы экзаменационный вариант состоит из десяти  заданий 

по алгебре и геометрии. Отличная оценка ставится за восемь полностью выпол
ненных заданий.

Никаких особых требований к оформлению работы, записи ответов, ис
пользованию математической символики не предъявляется. Каждый оформляет 

так, как его учили в школе. Однако, общие правила оформления работы должны 

быть соблюдены. Писать следует черной или синей пастой или чернилами ( не 

карандашом). Решение задачи по геометрии должно содержать грамотный 

(можно эскизный) чертеж со всеми необходимыми обозначениями. Каждое за
дание должно завершаться ответом на все поставленные в задании вопросы. 

Задание, содержащее  никак не обоснованный, даже правильный ответ, не счи
тается выполненным.

Задания, как правило, предполагают решения без использования микро
калькулятора.

3.
Типовые варианты  экзаменационых заданий

для поступающих в 10 класс.

3.1.
Вариант 1 ( с решениями).

1.1.Вычислить: 
2
9
2
2
5
15

1
3
0

1

.

Решение 
:

2
9
2
2
1
2

9
2
1

2

2
8

32
40

4
5

5
15

1
3
0

1

5
5

1

5

5

Ответ: 0,8

1.2.Решить неравенство:
1

2

1
3
x

Решение :
0
2
1
;
0
3
1

2

1
;
3
1

2

1

x
x

x
x

Последнее неравенство можно решить методом интервалов. Найдем кор
ни числителя (x = 1) и знаменателя (x = -2). Нанесем эти корни на числовую ось 

и  определим знаки дроби на полученных ин
тервалах. Так как дробно-рациональная функ
ция сохраняет свой знак  на каждом из интер
валов, достаточно определить этот знак в любой точке интервала. Составим 

таблицу значений функции

x
-3
0
2

f(x)
-4
0.5
-0.25

Таким образом, с учетом того,  что знаменатель не может быть равен   

нулю,    неравенство выполняется  при x ( -2; 1].

Ответ: -2 < x
1

1.3. Вычислить без помощи калькулятора:
4
5
sin
4

35
cos
.

Решение :

2
2
2

2
2

4
sin
4
3
cos

)
4
sin(
)
4
3
8
cos(
4
5
sin
4

35
cos

Ответ:
2

1.4. Диагональ равнобочной трапеции делит ее среднюю линию в отно
шении 2:3. Найти длину средней линии трапеции, если разность длин нижнего и 

верхнего основания равна 20.

Решение : Пусть длина  меньшего основа
ния  трапеции BC=x. Тогда большее осно
вание AD= x+20, средняя линия MN=x+10. 

Отрезок GN - средняя линия треугольника 

BCD, следовательно GN =  0,5 BC, в свою 

очередь MG - средняя линия  треугольника ABD , т.е. MG = 0,5 AD.  По условию 

MG:GN = 3:2, значит (x+20) : x = 3:2, отсюда x=40, а искомая длина MN = 50.

Ответ: MN = 50.

1. 5. Решить неравенство:
7
3
x
3
x
.

Решение: Преобразуем неравенство к виду x2 - 9 - 7 
0; x2 - 16 
0 ; 

(x - 4) (x + 4) 0. Это неравенство выполняется при x 4 и x -4. (Аналогично 

задаче 1.2).

Ответ: ( ; -4 ] [ 4 ; +
).

1. 6.  Сократить дробь и вычислить ее значение при 

7
6
m
;
7
4
n

2
2
2
2

4
4

n
4
mn
4
n
m

mn
n
2
.

Решение :
;
m
2

n

)
m
2
(
n

)
m
2
(
n

)
2
m
(
n

)
m
2
(
n

n
4
mn
4
n
m

mn
n
2
2

2
2

4

2
2

4

2
2
2
2

4
4

при 

7
6
m
;
7
4
n

7
2

56
16

7
)
6
14
(

16

7
6
2

49
16

Ответ: 2

7

.

1. 7. Найти третий член возрастающей геометрической прогрессии, со
стоящей из шести членов, если известно, что сумма первых трех членов равна 

26, а сумма последних трех членов равна 702.

Решение: Пусть a1- первый член прогрессии, а q - ее знаменатель. Тогда

n-ый член прогрессии an= a1 qn-1, n = 1, ... ,6. По условию 

702
)
q
q
1
(
q
a

26
)
q
q
1
(
a

702
a
a
a

26
a
a
a

2
3

1

2

1

6
5
4

3
2
1

По определению геометрической прогрессии первый член и знаменатель 

не равны нулю, поэтому можно поделить второе  уравнение  системы на первое, 

получим q3 = 27, q = 3.

Из первого уравнения найдем a1 = 2. Тогда a3 = 2 32 = 18.

Ответ:  a3 = 18.

1. 8. Решить уравнение: 
1
3
x
x
2
2
.

Решение : По определению модуля действительного числа 

0
a
,
a

0
a
,
a
a

Рассмотрим два случая:

a)x+3 0 т.е. x
-3. Исходное уравнение принимает вид: 4 +4x + x2 = x + 3 + 1;

x2 + 3x = 0 ; x(x+3) = 0; x1 = 0 , x2 = -3. Оба значения удовлетворяют условию 

x
-3.

b) x + 3 <0 т.е. x< -3 . Исходное уравнение принимает  вид:4+ 4x+x2 = -x-3+1 ; x2

+ 5x + 6 = 0 ; x1 = -2 , x2 = -3. Оба корня не удовлетворяют условию x< -3

Ответ: { 0 ; -3 }.

1. 9. Определить высоту прямоугольного треугольника, проведенную к 

гипотенузе, если известно, что биссектриса прямого угла делит гипотенузу на 

части в 15 и 20 см.

Решение: Пусть AH - высота, а AD - бис
сектриса прямого угла треугольника ABC.

По свойству биссектрисы 

BD:DC = AB:AC = 15:20=3:4. СB = 35. 

Пусть  AB = 3x,  CB = 4x.

По теореме Пифагора  (3x)2 +(4x)2=352. 

Отсюда  x = 7. 

Площадь треугольника  ABC :  S = 0,5 AC AB = 0,5

AH CB. Отсюда AH = AC AB/CB =  21 28/35 = 84/5.

Ответ:  16,8 см

1. 10. Найти a и b, если известно, что точка A(2;-1) является вершиной 

параболы 
.
b
ax
x
y
2
Построить график функции при найденных значе
ниях a и b. Указать область значений функции.

Решение : По свойству параболы абсцисса вершины, по условию равная 

2, может быть выражена через искомые параметры так: -a / 2 = 2. Отсюда пара

метр a = -4. Точка A лежит на параболе, следовательно ее координаты удовле
творяют уравнению  этой параболы, поэтому  -1 = 22 + (-4)2 + b. Отсюда пара
метр b = 3. Уравнение параболы  имеет вид : y = x2 - 4 x + 3.  Построим график  

этой функции. Координаты вершины известны. Точка пересечения графика с 

осью ординат  имеет нулевую абсциссу, подставив x = 0 в уравнение парабо
лы, получим  y = 3. Чтобы найти точки пересечения  параболы с осью абсцисс 

( точки, имеющие нулевую ординату), решим квадратное уравнение 
x2 - 4 x + 

3 = 0.

Его решения : x1 = 1; x2 = 3. 

Значит, график функции пересекает 

ось OX в точках (1 , 0) и ( 3, 0). Гра
фик функции представлен на рисунке.

Функция принимает все значе
ния от наименьшего до бесконечно
сти. Наименьшего значения парабола  

достигает  в вершине, это значение 

равно -1.

Ответ: a = -4 ; b = 3 ;

Ef = [-1; +
)

3.2.
Вариант 2( с ответами).

2.1. Вычислить: 
.
2
1
25
,
0
5

1
1

2
3

3
4

2.2.Решить неравенство: 
1
x
4

x
4
sin
)
x
(
f

2.3.Вычислить без помощи калькулятора:
.
6

11
ctg
3

22
tg

2.4.Радиус вписанной в ромб окружности равен  
3
8
, а один из углов 

ромба равен 120

xcos2)4

2

x

(sin)

2

x

3(cos

4
4 . Найти длину меньшей диагонали ромба. 

0
2
4

2

1

0

1

2

3

4

5

y( )
x

z( )
x

x

2.5.Решить неравенство:
5
2
x
2
x
.

2.6.Сократить дробь и вычислить ее значение при при a =

2
1 , b = - 5

8

b
a
a
2

a
4
ab
4
ab

4
4

2

.

2.7.Найти разность арифметической прогрессии, у которой  шестой член 

составляет 60% от третьего,  а сумма  третьего и шестого членов равна 48.

2.8.Решить уравнение:
1
1
x
2
x
2
.

2.9. В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высо
ту в отношении 12:5, а боковая сторона равна 60 см. Определить  основание 

треугольника.

2.10. Определить значение a, если известно,что прямая x=1 является 

осью симметрии параболы 
2
x
8
a
ax
y
2
2
и ветви параболы направле
ны вверх. Построить график функции при найденном значении a. Указать об
ласть значений функции.

3.3.
Вариант 3( с ответами).

3. 1.Два пешехода выходят навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние 

между которыми 30 км . Если первый выйдет на 2 часа раньше второго , то 

он встретит второго пешехода через 4,5 часа после своего выхода. Если вто
рой выйдет на 2 часа раньше первого , то он встретит первого пешехода че
рез 5 часов после своего выхода. С какой скоростью идѐт каждый пешеход ?

3. 2 Упростить выражение : 
.
1

1

2

2
1

b
b

b
b

3. 3 Вычислить sin2
, если tg
= 2.

3. 4 Решить уравнение  2 х4 
7х2
4=0

3. 5 Решить неравенство : 
.
3
22
6

x

3. 6 Решить уравнение : 
.
2
1

3

x

x
x

3. 7 Решить систему неравенств : 
.

3
2
1
5
4

1
2

2
10

x
x

x

3. 8 Решить систему уравнений :
.
12

7

2

2

x
y

x
y

3. 9 Построить график функции у = x2
6x + a,если известно, что  еѐ наимень
шее значение равно 1.

3. 10
Средняя линия равнобокой трапеции , описанной около круга, равна 68 

см. Определить радиус этого круга , если нижнее основание трапеции больше верхнего на 64 см.

3.4.
Вариант 4( с ответами).

4.1.Вычислить:

.
11
7
2
,
0
630
1
2
5

5
4

4.2.Решить неравенство: 
2
1

1
x
3

1

4.3.Вычислить без помощи калькулятора:
.
3

7
tg
6

37
ctg

4.4.В равнобочной трапеции острый угол при нижнем основании равен 

60 , длина боковой стороны равна 10. Длина отрезка, соединяющего конец 

верхнего основания с серединой нижнего основания, также равна 10. Найти пе
риметр трапеции.

4.5.Решить неравенство:
5
2
1 2
x
x
.

4.6.Сократить дробь и вычислить ее значение при при a = 4

7

, b =

7
5

3
3
3
2

5
5

3
4
b
ab
b
a

b
ab
.

4.7.Три числа образуют арифметическую прогрессию. Сумма первого и 

второго числа равна 132, а отношение третьего числа к первому равно 3. Найти 

третье число.

4.8.Решить уравнение:
3
3
4
1 2
x
x
.

4.9.В равнобедренном  треугольнике высота равна 20 см, а основание от
носится к боковой стороне как 4:3. Определить радиус круга, вписанного в тре
угольник.