Экспериментальные методы построения математических моделей РЭА и технических процессов. Применение методов планирования для отыскания оптимальных технологических режимов

я 

MJL Годожяцына 
СЛ. Зотов 
ГЛ.Гкврнлко 

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЁТООЫ 
ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ 

МОДЕЛЕЙ РЭА И ТЕХНОЛОПИССКИХ 
ПРОЦЕССОВ. 
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ПЛАНИРОВАНИЯ 
аля ОТЫСКАНИЯ оптимальных 
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ 

Москва 
Издательство МГОУ 
1999 

о 

уда 621. 396. 6. 049. 77 
БЕК 327 844-02 
Г 61 

• Головицына М. В., Зотов С. П. Экспериментальные методы построения математических моделей РЭА и технологических процессов. 
Применение методов шинирования для отыскания оптимальных технологических режимов: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГОУ, 1999. 

В учебном пособии рассматриваются вопросы планирования активного эксперимента, перехода от полного к дробному факторному эксперименту и построения математических моделей, связывающих показатели качества технологического процесса изготовления РЭА с входными и управляющими параметрами этого процесса. 

Пособие предназначено студентам радиотехнических специальностей вузов. 

Рецензент к. т. н., доц. Е. И. Смышляев 

ISBN 5-7045-0460-4 

С. Л. Зотов, 
Г.И. Гаврилко, 
1999 

ВВЕДЕНИЕ 

Студенты, обучающиеся по специальности "Конструирование и 
технология радиоэлектрбнных систем" (РЭС) (специальность 200.800) 
изучают дисциплину "Теоретические основы конструирования, технологии и надежности РЭС". 

Одними из важнейших в курсе являются вопросы планирования и 
проведения активных экспериментов для построения математических 
(регрессионных) зависимостей выходных показателей качества, которые необходиш. при проектировании технологического процесса производства РЭС. 

МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ 

В прикладной статистике методы обработки экспериментальных 
данных принято разделять на пассивные и активные. 

При проведении пассивного эксперимента исследователь не вмешивается в процесс функционирования изучаемого объекта. Его роль 
заключается лишь в теш, чтобы снять информацию с функционирующего 
объекта и обработать ее в соответствии с принятой математической 
моделью объекта. 

Однако проведение даже таких простых и естественных наблюдений за состоянием изучаемого объекта не всегда возможно из-за технико-экономических соображений. 

Постановка активного эксперимента осуществляется по принятому 
заранее плану или программе. Такой эксперимент предусматривает, 
например, вмешательство в разные стадии разработки и производства 
объекта и далее в процесс его функционирования. 

Обычно чем активнее вмешательство в исследуемый процесс, тем 
с большей уверенностью можно ожидать извлечение из него информации, которая может быть использована для построения математической 
модели процесса и управления. 

Активный эксперимент - принципиально новый подход к экспериментированию, который состоит в том, что в каждом опыте варьируют 
одновременно все независимые переменные (факторы) по специальному 
плану. Однако как в случае пассивного, так и в случае активного 
эксперимента результат! могут быть представлены одной и той же полиномиальной математической моделью. 

- 
4 

Так же как и в пассивном эксперименте, в теории планирования 
эксперимента объект оптимизации рассматривается как "черный ящик", 
имеющий п входов и 1 выходов (рис. 1). Входы "черного ящика" называются факторами, в выходы - параметрами оптимизации. 

Управляющеевоздействия 
U 

Х4 
Р1 
Х4 

Объект 

проектирования 

(управления) 

Р1 

Х2 
Объект 

проектирования 

(управления) 

PZ 

'Хп 

Объект 

проектирования 

(управления) 
\pt 

Объект 

проектирования 

(управления) 

I f . . . . 1 

у
Возмущения 

Ж 

Выход 

Т 

Рис. 1 . Простейшая структура объекта 
проектирования (управления) 

Параметр оптимизации должен быть: 
а) эффективным с точки зрения достижения цели; 
б) по возможности универсальным, т.е. способным всесторонне 
характеризовать объект; 

в) количественным и выражаться одним числом; 
г) имеющим физический смысл, простым и легко вычисляемым; 
д) существующим для всех различных состояний объекта исследования. 

При варьировании факторы и параметры оптимизации принимают 
определенное число различных значений (уровней). Множество значений, которые могут принимать X и 
образуют область их определения. 

Варьируя факторы Xi на различных уровнях, на выходе "черного 
ящика" получают множество параметров оптимизации pj, характер изменения которых определяется свойствами исследуемого объекта, йз

- 5 
менения р3 в зависимости от Xj описывают математическими моделями 
вида 
. . . 
\ 

Pi * »(Xj). 
(1) 

Изменения значений р3 называет отклике»! "черного яадкаг" на 
изменения х^ Зависимость отклика от рассматриваемых факторов является функцией отклика, а геометрическое представление функции 
отклика - поверхностью отмшка. 

Задача поиска оптимальных условий поведения исследуемого объекта формулируется в таких двух постановках: определить условия 
поведение объекта,, щи которых несколько известных параметров оптимизации сохраняют заранее, известные оптимальные значения; определить условия поведения объекта, при которых один параметр оптимизации имеет оптимальное значение. 

Первая задача относится к классу так называемых многокритериальных задач. Второй кяасс задач - с универсальным оптимумом. В 
настоящее время он получил наибольшее распространение в технике 
конструирования и технологии производства промышленных изделий. 
Поскольку при такой постановке имеет место только один оптимум, 
т.е. один параметр оптимизации, он и является целевой функцией. 
Если задачи поиска оптшума сводятся к нахождению экстремума целевой функции, то такие задачи называют экстремальными. 

• Оптимальными считают такие эксперименты, которые позволяют 
получить максимальное количество информацииоб изучаемом объекте 
при минимальных (или заданных) затратах (времени, материальных 
средств и пр.). 

Взгляды на вопрос оптшальности планов менялись с течением 
времени. Вначале оптимальными считались ортогональные планы, позднее - ротатабельше.
Наилучшим экспериментом считается эксперимент X, минимизирующий Функцию потерь 

ROO = Т + НССХ)]. 
(2) 

где Т - затраты, необходиие для проведения эксперимента X, а также другие факторы, которые могут характеризовать общую 
стоимость эксперимента; 

4 - некоторый функционал качества оценивания, зависящий от 
дисперсионной матрицы оценок параметров. 

- 
6 

Вид функционала + определяется конечной целью эксперимента, 
бее четкого представления о которой нецелесообразно вообще проведет» работ, по планирование эксперимента. 

Функционал • считают равнш 
. _ 

•СС(Х)3 = kLCC(X)з, 
(3) 

где к 
постоянный норыируювдй множитель. 

L[С(X)] определяется тем способом сравнения экспериментов, которцЛ подходит к данной экспериментальной ситуации. 

Исходя.нреаде всего, из изложенных оценок плановэксперикятов, определяет далее некоторые критерии оппшальности. Предполагается, что ашфоксяаирующая модель выбрана правильно, случайная 
not ревность аддитивна и распределена по нормальному закону- Рассматриваются две характеристики: 

1) точность оценок параметров, описываемая плотностью их ковариационной матрицы; 

2) точность оценки модели в иатересупвдгй облзати, котораяпредставляет собой функцию 62<Р>. зависящую от ковариационной матриц* оценок. 

Такш образом, критерии, опташвьвосугй saaaa догшны овределять 
некоторые желательные свойства ковариационной матрицы. Выбираешй 
плав лучше других планов, если ему соответствует наименьшая ковагриашвюиная матрица. Поскольку такие аланы аошво не удается найти, 
то определяют некоторый функционал от ковариационной матрицы для 
характеристики ялашв. 

В зависимости от природы исследуемого объекта параметры оптимизации могут быть: экономическими, технические!, статистическими 
и т.д. В щюцессе исследования параметры оптимивации могут изменяться не только количественно, во я по своей физической природе. 
Нащямер, при освоении выпуска нового типа изделия на первой стадии производства нас, прежде всего, интересует выход продукции, 
далее, когда производство налажено, в качестве параметра оптимизации целесообразно использовать себестоимость изделия, затем имеет 
сшсл попытаться оптимизировать характеристики процесса. 

Ори выборе модели основная задана обстоит в том, чтобы подобрать такой нолинсм, который бы с необходйюй точностью удовлетворял требованиям математической модели и содержал возможно меньве 
коэффициентов. 

- 7 
Минимизация числа коэффициентов уравнения регрессии важна потому, что при прочих равных условиях для определения меньшего числа Коэффициентов требуется меньше опытов. Это составляет основную 
цель и преимущество активного эксперимента. 

Главное требование, предъявляемое к математической модели, 
это ее способность предвидеть отклики в тех состояниях, где эксперимент не проводился, т.е. предсказывать с требуемой точностью 
направление дальнейших опытов: в конечном счете - указывать в факторном пространстве последовательность точек, в которых необходимо 
проводить эксперимент для достижения искомого оптимума с минимальным числом опытов. 

Чтобы использовать линейную модель поиска оптимума целевой 
функции на поверхности отклика, надо проверить ее адекватность . 

В планировании эксперимента независимо от выбранного метода 
достижения оптимума целевой функции всегда используется последовательная шаговая стратегия, заключающаяся в том, что после каждого 
опыта (шага) производится анализ полученных результатов и на основании этого принимается решение о дальнейших исследованиях. 

Такой подход при проведении экспериментов имеет ряд существенных преимуществ: 

а) исследователь может количественно решить поставленную задачу, абстрагируясь от сложных и плохо изученных физико-химических 
явлений, происходящих в процессах; 

б) эксперименты ставятся небольшпш сериями по заранее составленной програше, оптимальной с точки зрения цели исследования, 
что исключает слепой хаотический поиск; 

в) для получения1 математического описания процесса требуется 
минимальное количество опытов, из которых информация навлекается с 
максимальной полнотой; это позволяет в несколько раз сократить 
расходы времени и средств на проведение опытов; 

г) по полученному математическому описанию возможно проведение оптимизации исследуемого процесса. 

Процесс достижения оптимума при использовании принципов последовательного эксперимента и линейных моделей заключается в следующем. В факторном пространстве выбирается' произвольная исходная 
точка. Далее рассматривается множество точек в окрестности первого 
, оптимума, образующих некоторую малую подобласть вокруг" исходной 
точки. Размеры этой подобласти согласуются о гч^ластью определения 

факторов, интервалом их варьирования и дабяраютря так, чтобы в, вей 
«шейная модель была адекватной. В выбранной таким образом маюй 
подобласти проводят первый эксперимент, на основании которого 
строится,первая линейная математическая модель, напршер, уравнение регрессии (коэффициенты этого уравнения определяют по данным, 
полученнда в результате эксперимента). 

В процессе проведения первого экспермента выявляется некотораяточка в первой подобласти, в которой значения целевой функции 
наилучше (из всех полученных в опыте). Эту точку (поскольку она 
расположена блике всех к оптшуму) называют наилучшей. 

Установление наилучшей точки дает возможность определить, с 
какой стороны от исходной точки расположен оптимум, и далее двигаться к нему по самому короткому пути в направлении градиента линейного приближения. 

Направление последнего определяется нормалью, проведенной из 
исходной точки к линиям разного отклика (равного выхода). Кривые 
равного опашка, характеризуювиеся уровнем р « const, аналогичны 
oq, своей физической природе. Процедура такого движения к оптимуму 
соответствует самому крутому пути. Отсюда и название метода - метод крутого восхождения. 
. 
После того, как на поверхности отклика в первой исследуемой 
подобласти выбраны исходная точка, интервалы варьирования факторов, проведен эксперимент и определены крэффшренты уравнения регрессии первой линейной модели, направление градиента задается однозначно и является единственным. Последуйте ошты ставят в направлении градиента вплоть до того, пота №блвдавтся улучшения в 
значениях целевой функции. Если одного линейного приближения оказывается недостаточно, то выбирают следующую подобласть, которая 
по сравнению с первой ближе к оптимуму. За исходную выбирают последнюю наилучшую точку первого линейного приближения. 

В результате получают вторую формальную линейную математическую модель, отличающуюся от предыдущей значениями коэффициентов 
регрессии. Далее определяют новое направление градиента линейного 
приближения и последующие опыты ставят в этом направлении. 

, Описаннуюпроцедуру продолжают, пока набяедаются улучшения в 
значениях целевой функции, т.е. до тех пор, пока справедлива линейная модель. После чего (обычно это бывает вблизи оптимума) переходят от линейной к более сложной нелинейной математической мо

- 9 
дели, которая более детально и точно характеризует подобласть оптимума. Процедура поиска оптимума целевой функции методом крутого 
восхождения показана на рис. 2. 

Рис. 2. Поиск оптимальной области методом 
крутого восхождения 

Существуют и другие методы поиска оптимума: композиционный 
план, классический метод (метод Гаусса - Зейделя) и другие. 
Все методы делятся на два класса: 
первый класс использует только оценки функции; 
второй класс применяет, наряду с оценками функций, еще информацию о градиенте. Первые известны как прямые методы поиска, вторые - как градиентные. 

Преимущества прямых методов поиска - возможность использования их в случаях, когда градиент неизвестен ЕЛИ когда градиент не 
существует (функция ошибок имеет разрьвы), а также простота программирования. Основной недостаток - снижение скорости сходимости 
вблизи минимума. 

Преимущество градиентных методов - высокая скорость сходимости вблизи минимума, недостатки - сложность вычисления градиентов, 
особенно при численном дифференцировании, и программирования 
вследствие применения матричной алгебры. 

Методы оптимизации, в которых не оценивается градиент в аналитическом виде, относят к прямым методам поиска, так как при этом 
численное дифференцирование включает в себя оценку функций. 

- 10 
Рассмотрим применение методов планирования эксперимента для 
отыскания оптимальных технологических режимов. Часто задачи, возникающие в производстве, формулируются (фазу как задачи поиска 
экстремума некоторого показателя качества, например, требуется подобрать такие режимы проведения технологических операций, чтобы 
напучить максимальный процент выхода годных приборов, минимальное 
отклонение размеров и т. д. 

Опимизация процесса начинается обычно в условиях, когда он 
уже подвергался некоторым исследованиям, т. е. уже имеется некоторая априорная информация. На основе анализа этой информации происходит выбор границ областей изменения факторов. 

После определения общей области факторного пространства необходимо приступить к следующему важному этапу - выбору основных 
уровней и интервалов варьирования для каждого исследуемого фактора. 

Проведение этого этапа также основано на анализе априорной 
информации. В качестве исходной точки проведения эксперимента берут обычно ту точку факторного пространства, где предположительно 
будет получен наилучший результат. Исключением является случай, 
когда эта точка лежит на границе (или весьма'близко к границе) области определения фактора. Тогда необходию основной уровень выбирать с некоторым сдвигом от наилучших условий. 

Может случиться, что координаты наилучшей точки неизвестны, 
но есть сведения о некоторой подобласти, в которой процесс идет 
достаточно хорошо. Тогда основной уровень выбирается либо в центре, либо в случайной точке этой подобласти. Исходную точку проведения эксперимента выбирают в качестве основного уровня фактора. 

После выбора основного уровня необходимо определить для каждого фактора уровни, на которых он будет варьироваться в эксперименте. Обычно эти уровни берутся симметричными относительно основного уровня. 

Расстояние между основным уровнем и верхним (или'Нижний 
уровнем образует интервал варьирования. Таким образом, задача выбора уровней сводится к задаче выбора интервалов варьирования. 

Выбор интервала варьирования - ответственный, неформализованный этап планирования эксперимента, связанный с анализом априорной информации (точность измерения факторов, возможный диапазон 
измерения параметров оптимизации). Поэтому рекомендаций по 'оДнозначноыу выбору кнтгразлоз не существует.