Специальные главы электротехники. Аналитический метод расчета индукционных систем с постоянными магнитами


Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ



А.И. ИНКИН, А.В. БЛАНК, А.И. АЛИФЕРОВ





                СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ




            АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ИНДУКЦИОННЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ


Утверждено Редакционно-издательским советом университет в качестве учебного пособия









НОВОСИБИРСК

2013

УДК 621.313.84(075.8)
     И 653

Рецензенты:
В.К}. Нейман, д-р техн. наук, проф.;
В.А. Хрусталев, д-р техн. наук, проф.

Работа выполнена на кафедрах автоматизированных электротехнологических установок и теоретических основ электротехники


        Инкин А.И.

И 653 Специальные главы электротехники. Аналитический метод расчета индукционных систем с постоянными магнитами: учеб. пособие / А.И. Инкин, А.В. Бланк, А.И. Алиферов. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2013.- 116 с.
            ISBN 978-5-7782-2075-1
          Учебное пособие предназначено для студентов магистерской подготовки по направлению 140400 - «Энергетика и электротехника» магистерской программы «Автоматизированные электронологические комплексы», изучающих дисциплину «Специальные главы электротехники». В пособии даются теоретические основы формирования расчетных методик параметров электромагнитного и температурного полей посредством каскадных схем замещения применительно к исследованию электротепловых процессов в системах индукционного нагрева с постоянными магнитами. Особое внимание в пособии уделяется постановке задачи и обоснованию допущений, принимаемых при разработке расчетных методик, создаваемых на базе решения совместных электромагнитных и тепловых задач.



УДК 621.313.84(075.8)



ISBN 978-5-7782-2075-1

© Инкин А.И., Бланк А.В., Алиферов А.И., 2013
                                            © Новосибирский государственный технический университет, 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие..............................................6
Основные обозначения.....................................7
Введение.................................................8
Глава 1. МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И СЛОИСТЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЯВНОПОЛЮСНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН......................................9
  1.1. Кусочно-непрерывные собственные функции при описании поля возбуждения электрической машины с постоянными магнитами..............................................9
  1.2. Описание поля возбуждения электрической машины с постоянными магнитами на базе одной кусочно-непрерывной собственной функции...................................22
Вопросы для самопроверки................................28
Глава 2. КАСКАДНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ УСТАНОВОК ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ...............................................29
  2.1. Типовое активное Е-Н-звено на базе плоской развертки в декартовой системе координат........................31
   2.1.1. Постановка задачи.............................31
   2.1.2. Типовое Е-Н-звено при усреднении магнитных свойств дискретно-однородной полосы..........................35
   2.1.3. Параметры Е-Н-звена на базе кусочно-непрерывной собственной функции..................................40
  2.2. Расчет электромагнитного поля системы постоянные магниты-садка на базе плоской развертки...............50
   2.2.1. Каскадная схема...............................50

3

   2.22.  Численный расчет системы постоянные магниты-садка.........................................53
   2.2.3. Сравнительный анализ аналитического и численного расчетов системы постоянные магниты-садка.............57
 2.3. Каскадная А-Н-схема замещения системы постоянные магниты-садка на базе плоской развертки..................60
   2.3.1. Постановка задачи...............................60
   2.3.2. Типовое активное А-Н-звено при усреднении магнитных свойств дискретно-однородной полосы...................61
   2.3.3. Параметры активного А-Н-звена на базе кусочно-непрерывной собственной функции...............64
   2.3.4. Каскадная схема.................................67
 2.4. Цилиндрическая слоистая модель и каскадная А-Н-схема замещения системы постоянные магниты-садка...............71
   2.4.1. Постановка задачи...............................71
   2.4.2. Параметры активного А-Н-звена на базе кусочно-непрерывной собственной функции...............74
   2.4.3. Параметры активного А-Н-звена при усреднении магнитных свойств дискретно-однородной подобласти паз-клиновидный магнит................................79
   2.4.4. Параметры А-Н-схемы замещения немагнитной садки..81
   2.4.5. Каскадная схема.................................85
   2.4.6. Сравнительный анализ аналитического и численного расчетов системы постоянные магниты-садка в цилиндрической системе координат....................86
Вопросы для самопроверки..................................90
Глава 3. ПРИНЦИПЫ СИНТЕЗА КАСКАДНЫХ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ В НАГРЕВАЕМОЙ НЕМАГНИТНОЙ ЗАГОТОВКЕ.......................91
3.1. Температурное поле в стержне круглого сечения с внутренним тепловыделением..............................91

4

  3.2. Решение связанных электромагнитно-тепловых задач на базе универсальных каскадных схем замещения........
   3.2.1. Постановка задачи.............................
   3.2.2. Индукционный нагрев цилиндрического немагнитного проводника...........................................
Вопросы для самопроверки................................
Библиографический список................................

101
101

102
113
114

        ПРЕДИСЛОВИЕ

   Настоящее учебное пособие преследует цель развить у молодых специалистов навыки и умения в использовании аналитических методов расчета электромагнитных и температурных полей применительно к установкам индукционного нагрева с постоянными магнитами. Описываемые в учебном пособии расчеты базируются на использовании каскадных схем замещения, разработанных совместными усилиями сотрудников кафедры АЭТУ и кафедры ТОЭ Новосибирского государственного технического университета.
   В первой главе излагаются принципы синтеза слоистых цилиндрических моделей электрических машин с возбуждением от постоянных магнитов. Материал первой главы служит основой при разработке каскадных схем для расчета электромагнитного поля в установке индукционного нагрева с постоянными магнитами, представленных во второй главе. Третья глава посвящена синтезу каскадных схем для расчета температурного поля в проводнике круглого сечения с внутренним тепловыделением. Кроме этого, в третьей главе приводится пример использования каскадных схем для решения нелинейной связанной электромагнитно-тепловой задачи в установке индукционного нагрева с постоянными магнитами.
   При расчете электромагнитных и температурных полей для каждой рассматриваемой в учебном пособии задачи формируется каскадная схема замещения. Система уравнений Кирхгофа, записанная для этой схемы, представляет собой систему алгебраических уравнений или систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения такой системы уравнений удобно использовать современные пакеты компьютерной математики.
   Так как численное решение системы уравнений Кирхгофа обычно не представляет большого труда, методы и конкретные алгоритмы ее решения в учебном пособии не рассматриваются.

    ОСНОВНЫЕ ООЗНАЧЕНИЯ                                        
Е   - напряженность электрического поля                        
Н   - напряженность магнитного поля                            
В   - магнитная индукция                                       
Фм  - скалярный магнитный потенциал                            
А   - векторный магнитный потенциал                            
ц   - абсолютная магнитная проницаемость среды                 
Ц0  - магнитная проницаемость вакуума                          
Y   - удельная электрическая проводимость среды                
Вг  - остаточная индукция постоянного магнита                  
Н   - коэрцитивная сила постоянного магнита                    
Ьм  - ширина постоянного магнита                               
Kt  - высота постоянного магнита                               
р   - число пар полюсов электрической машины                   
рк  - корень характеристического уравнения;                    
п   - собственное число задачи Штурма-Лиувилля                 
т   - полюсное деление; время (при расчете температурного поля)
t   - время (при расчете электромагнитного поля)               
ю к - круговая частота к-й гармоники электромагнитного поля    
V   - окружная скорость                                        
а   - радиус круглого проводника                               
т   - температура                                              
Тж  - температура омывающего воздуха                           
X   - теплопроводность                                         
Ср  - теплоемкость                                             
а   - коэффициент теплоотдачи                                  
р   - плотность                                                
(р  - объемная плотность внутренних источников тепла           

        ВВЕДЕНИЕ

   Разработка новых расчетных методов и инженерных расчетных методик в области электротехнологии невозможна без исследования электромагнитных и температурных полей в объемах электротехнических устройств. В настоящее время для моделирования электромагнитных и температурных полей, как правило, применяются прикладные программные пакеты, которые позволяют на основе метода конечных элементов рассчитывать поля в средах с переменными физическими свойствами.
   Вместе с тем при решении подобных задач остаются востребованными и аналитические расчетные методы вследствие их относительной простоты и доступности.
   Аналитические методы обладают еще одним немаловажным преимуществом. Их можно использовать для предварительных и тестовых расчетов на начальной стадии создания численной модели, а также для обобщения результатов расчета с целью выработки рекомендаций при постановке и решении более сложных задач.
   В настоящем учебном пособии рассматривается аналитический метод расчета электромагнитных и температурных полей, базирующийся на использовании слоистых моделей и каскадных схем замещения. Отличительная особенность этих каскадных схем состоит в том, что их параметры получены на основе принципа эквивалентности решениям уравнений электродинамики (в случае расчета электромагнитного поля) или решениям уравнения теплопроводности (в случае расчета температурного поля).
   Совместное использование электромагнитных и тепловых каскадных схем позволяет решать связанную электромагнитно-тепловую задачу - одну из наиболее сложных задач при расчете нестационарного температурного поля в установках электронагрева.

ГЛАВА 1

МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И СЛОИСТЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЯВНОПОЛЮСНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН

1.1. КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ ОПИСАНИИ ПОЛЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МАШИНЫ С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ
   Постоянные магниты, как правило, используются для создания поля возбуждения в синхронных электрических машинах. Преимущества применения постоянных магнитов в качестве источника поля возбуждения очевидны: на возбуждение не тратится дополнительная энергия, а также отпадает необходимость в щеточном узле - наиболее уязвимом узле машины.
   До недавнего времени широкому применению постоянных магнитов в системах возбуждения препятствовали недостатки традиционных магнитных материалов: малая остаточная индукция, подверженность старению, способность размагничиваться под действием внешних магнитных полей. Именно этих недостатков лишены постоянные магниты из редкоземельных металлов, и главным их недостатком следует считать высокую цену. Но успехи в технологии получения редкоземельных металлов ведут к их значительному удешевлению, а следовательно, к широкому распространению в электротехнике.
   В синхронной электрической машине магниты, чаще всего имеющие призматическую форму, установлены на роторе, и поэтому ротор является явнополюсным (рис. 1.1).
   При аналитическом моделировании полей в электрических машинах, когда их активные объемы представляются в виде совокупности кусочно-однородных областей, предпочтение часто отдается методу разделения переменных. Однако использование гладких собственных функций задачи Штурма-Лиувилля при взаимопересекающихся границах областей с различными физическими свойствами (что характерно

9

для явнополюсных электрических машин) значительно усложняет расчетную модель и, как следствие, существенно ограничивает возможности реализации метода в инженерной практике.


Рис. 1.1. Ротор синхронной электрической машины с призматическими постоянными магнитами, намагниченными в радиальном направлении

   Для снятия этого ограничения требуется постановка новой задачи теории электрических машин и разработка общего метода решения уравнений магнитостатики для всей дискретно-однородной полосы, включающей в себя и полюса с конечным значением магнитной проницаемости, и межполюсные пространства при произвольных условиях на ее двух параллельных, в расчетном смысле гладких, границах.
   При использовании такого метода устраняются пересечения границ разделов сред, существенно сокращается их общее число, вследствие чего резко уменьшается объем математических операций при реализации метода в целом.
   Как известно, определенный класс задач математической физики решается методом разделения переменных с помощью кусочногладких собственных функций. Главное достоинство частных кусочногладких решений заключается в том, что в отличие от гладких каждое

10

из них (следовательно, и решение в целом) удовлетворяет двум физическим условиям в точке сопряжения различных участков.
   Поставим задачу получить аналитическое решение на базе кусочно-непрерывных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, описывающее поле возбуждения синхронной машины с постоянными магнитами, намагниченными в радиальном направлении. Прежде всего определим допущения, положенные в основу решения.
   Допущение первое. На основании данных из [1] полагаем, что кривая размагничивания постоянных магнитов представляет собой линейную функцию (рис. 1.2)


В = Вг + ^-Н,                      (1.1)
г Н

где Вг и Нс - остаточная индукция и коэрцитивная сила магнита.
    Допущение второе. Особенность аналитического расчета электромагнитного поля в системах с постоянными магнитами заключается в том, что постоянные магниты должны ограничиваться координатными поверхностями, следовательно, в цилиндрической системе координат призматическому постоянному магниту необходимо искусственно придать клиновидную форму (рис. 1.3). Будем далее считать, что в процессе намагничивания в клиновидном образце создается радиальный


Рис. 1.2. Кривая размагничивания постоянного магнита

Рис. 1.3. Клиновидный постоянный магнит

11

магнитный поток Ф, так что в каждой точке объема постоянного магнита вектор магнитной индукции имеет одну радиальную составляющую, а азимутальная составляющая вектора магнитной индукции равна нулю. Если при этом учесть, что такое искусственно созданное магнитное поле должно удовлетворять принципу непрерывности магнитного потока:

С В dS = О  или div В = О ,


нетрудно показать, что в каждой точке объема магнита остаточная индукция удовлетворяет соотношению

Вг =

Ф
2(®-Р) rlz

£.
r

т& lz - длина магнита в осевом направлении.
   Таким образом, в отличие от призматических образцов, для которых предполагается, что они намагничиваются в однородном магнитном поле, остаточная индукция клиновидного магнита является функцией текущей координаты r. В связи с этим полагаем, что в теле магнита, изображенного на расчетной схеме (рис. 1.4), линии индукции магнитного поля располагаются вдоль оси r, а различным точкам магнита соответствует семейство кривых размагничивания, аппроксимированных прямыми с постоянным углом наклона к осям В и Н (см. рис. 1.2). Тогда для всех точек в объеме магнита отношение остаточной индукции к коэрцитивной силе будет постоянным:

Вг      „
—— = const = п .
                        Н

   Это значит, что в направлении намагничивания магнитная проницаемость магнита равна p ₍ .В направлении, перпендикулярном намагничиванию, магнитная проницаемость магнита равна рО.
   В итоге магнитная проницаемость дискретно-однородной кольцевой подобласти паз-клиновидный магнит в направлении оси Оr определяется функцией рᵣ(а), изображенной на рис. 1.5, или в аналитической форме:

12

ц ₀ паз;

Ц г (а)

Вг
Ц . = гНс

магнит.

(1-2)

Рис. 1.4. Расчетная схема задачи о поле возбуждения синхронной машины с постоянными магнитами

   Допущение третье. Пространственное распределение остаточной индукции в подобласти паз-клиновидный магнит задано функцией Вг (г, а), изображенной на рис. 1.6, которая на полюсном делении описывается выражением


0 паз;

Вг (г, а) = <

I г

Вг

магнит,

(1-3)

где Вг - остаточная индукция исходного призматического магнита.
   Допущение четвертое. При расчете магнитного поля синхронной машины с постоянными магнитами на роторе расчетная область представляет собой многослойную дискретно-однородную структуру.

13