Практикум по теории вероятностей и математической статистике

Санкт-Петербургский государственный  
университет 

Высшая школа менеджмента 
 
 
И. В. Березинец 
 
 
 

ПРАКТИКУМ 
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ 
 
 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
9-е издание, исправленное и дополненное 
 
 
 
 
 

Санкт-Петербург 

Издательство «Высшая школа менеджмента» 

2013 
 

ББК 22.17я.33 
УДК 519.2(075) 
 
Рецензенты: 
 
Б. К. Кирпичников, к. ф.-м. н., доцент (С.-Петерб. гос. ун-т), 
                   И. С. Меркурьева, к. ф.-м. н., доцент (С.-Петерб. гос. ун-т), 
 
Печатается по решению учебно-методической комиссии  
Высшей школы менеджмента СПбГУ 
 
 
 
Березинец И. В. 
Практикум по теории вероятностей и математической статистике / И. В. Березинец; Высшая школа менеджмента СПбГУ. — 
9-е изд., испр. и доп. — СПб.: Изд-во «Высшая школа менеджмента», 2013 — 163 с. 

ISBN 978-5-9924-0088-5 
 
 
Основной целью практикума является изучение и закрепление основ теории вероятностей и математической статистики, а также привитие 
навыков решения практических задач по данной дисциплине. 
Пособие предназначено для студентов 1 курса программы бакалавриата по направлению 082000 «Менеджмент» ВШМ СПбГУ, изучающих курс «Статистика–1», и полностью соответствует программе курса. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© И. В. Березинец, 2013 
© Высшая школа менеджмента СПбГУ, 2013

Б48 

 
 
 
СОДЕРЖАНИЕ 
 

Предисловие ......................................................................................................5 

Тема 1. Случайные события. Действия с событиями..............................6 
1.1. Задачи для решения в аудитории ..............................................9 
1.2. Задачи для самостоятельного решения...................................14 

Тема 2. Формула классической вероятности ..........................................17 
2.1. Задачи для решения в аудитории ............................................18 
2.2. Задачи для самостоятельного решения...................................22 

Тема 3. Теоремы о вероятности произведения и вероятности суммы 
случайных событий .......................................................................26 
3.1. Задачи для решения в аудитории ............................................27 
3.2. Задачи для самостоятельного решения...................................31 

Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.  
Схема независимых испытаний Бернулли...............................35 
4.1. Задачи для решения в аудитории ............................................36 
4.2. Задачи для самостоятельного решения...................................40 

Тема 5. Дискретные случайные величины.  
Закон распределения и числовые характеристики.................43 
5.1. Задачи для решения в аудитории ............................................46 
5.2. Задачи для самостоятельного решения...................................50 

Тема 6. Непрерывные случайные величины.  
Закон распределения и числовые характеристики.................54 
6.1. Задачи для решения в аудитории ............................................56 
6.2. Задачи для самостоятельного решения...................................59 

Тема 7. Основные законы распределений случайных величин ..........64 
7.1. Задачи для решения в аудитории ............................................71 
7.2. Задачи для самостоятельного решения...................................75 

Тема 8. Функция случайного аргумента ..................................................79 
8.1. Задачи для решения в аудитории ............................................80 
8.2. Задачи для самостоятельного решения...................................84 

Тема 9. Двумерный дискретный случайный вектор .............................87 
9.1. Задачи для решения в аудитории ............................................91 

9.2. Задачи для самостоятельного решения...................................96 

Тема 10. Свойства числовых характеристик случайных величин 
и случайных векторов.................................................................100 
10.1. Задачи для решения в аудитории ........................................101 
10.2. Задачи для самостоятельного решения...............................105 

Тема 11. Статистические законы распределения случайных величин
..........................................................................................................108 
11.1. Задачи для решения в аудитории ........................................111 
11.2. Задачи для самостоятельного решения...............................114 

Тема 12. Оценки параметров. Выборочные числовые характеристики
..........................................................................................................118 
12.1. Задачи для решения в аудитории ........................................120 
12.2. Задачи для самостоятельного решения...............................122 

Тема 13. Интервальное оценивание неизвестных математического 
ожидания и дисперсии ................................................................124 
13.1. Задачи для решения в аудитории ........................................126 
13.2. Задачи для самостоятельного решения...............................129 

Тема 14. Проверка параметрических гипотез.......................................132 
14.1. Задачи для решения в аудитории ........................................137 
14.2. Задачи для самостоятельного решения...............................139 

Тема 15. Проверка непараметрических гипотез...................................142 
15.1. Задачи для решения в аудитории ........................................145 
15.2. Задачи для самостоятельного решения...............................149 

Приложение 1................................................................................................153 
Приложение 2................................................................................................155 
Приложение 3................................................................................................156 
Приложение 4................................................................................................157 
Приложение 5................................................................................................158 
Приложение 6................................................................................................159 
Приложение 7................................................................................................161 

Литература.....................................................................................................162 
 

 
 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Есть много разных и интересных сборников задач по теории вероятностей и математической статистике. Перед вами не задачник в его обычном понимании, а именно практикум. 
Программа курса Статистика-1, который читается студентам 1 курса 
программы бакалавриата  в Высшей школе менеджмента СанктПетербургского государственного университета, содержит восемь тем, 
охватывающих основы теории вероятностей и математической статистики. 
Практикум построен таким образом, что его структура и содержание 
полностью соответствует   темам  учебной программы. Это сделано с одной и очень важной целью: изучаемая дисциплина должны быть понятной и интересной для студентов. 
Для достижения указанной цели каждый раздел практикума снабжен необходимым минимумом теоретического материала, достаточного, 
для решения всех задач раздела. Помимо этого, каждый раздел состоит из 
двух частей: задач для решения в аудитории и задач для самостоятельного решения. Причем, это не просто набор отдельно взятых задач, а фактически, готовое практическое занятие по рассматриваемой теме. 
В свою очередь, структура и логика задач для самостоятельного решения выстроена так, чтобы студенты могли решать эти задачи, опираясь 
на задачи, разобранные в аудитории. 
Особенностью пособия является также и то, что большинство представленных в нем задач носят прикладную направленность и должны 
способствовать тому, что студенты будут подготовлены к восприятию и 
решению аналогичных задач, уже в рамках своих специальностей и специализаций. 
Автор выражает глубочайшую признательность рецензентам пособия: канд. физ.-мат. наук Б. К. Кирпичникову, канд. экон. наук И. С. Меркурьевой, канд. экон. наук И. В. Осколкову, взявших на себя труд ознакомиться с рукописью и высказать ряд конструктивных замечаний и пожеланий. 
Особая благодарность старшему преподавателю В. А. Андреевой и 
старшему преподавателю Э.М. Голубиной. Их внимательное отношение к 
этому пособию и помощь в редактировании сделали его намного лучше. 
В сборник включен ряд задач, предложенных ассистентом Н. В. Тихоновой. 
 
 
 
 

ТЕМА 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ДЕЙСТВИЯ С СОБЫТИЯМИ 
 

 Случайным экспериментом (опытом, испытанием) называют такой эксперимент, результат которого нельзя предсказать точно до его 
осуществления. В теории вероятностей изучаются только такие случайные эксперименты, которые можно повторять при одном и том же комплексе условий сколь угодно много раз (массовые). Причем всегда должна существовать возможность зарегистрировать результат опыта — 
случайное событие, хотя бы зрительно. 
 Для построения и изучения математической модели случайного 
эксперимента вводится понятие элементарного исхода. Под элементарными исходами  подразумеваются взаимоисключающие, неразложимые ни на какие другие, результаты случайного эксперимента. Обозначают элементарные исходы  . Совокупность всех элементарных исходов 
 , соответствующих рассматриваемому случайному эксперименту, называют пространством элементарных исходов и обозначают .  Дискретное пространство элементарных исходов  может  быть конечным (содержать конечное число элементарных исходов N): 



1
2
,
,...,
N
 

 
 

или счетным: 



1
2
,
,...,
,...
N
 

 
. 

Построение пространства элементарных исходов является первым 
этапом в задаче построения теоретико-множественной модели случайного 
эксперимента. Элементы пространства элементарных исходов несут в себе информацию о том, что может произойти в данном случайном эксперименте. Следует иметь в виду, что одному и тому же случайному эксперименту можно сопоставить разные пространства элементарных исходов. 
Исследователь строит теоретико-множественную модель в зависимости 
оттого, что он наблюдает в данном опыте (иными словами, что он считает 
исходами опыта) и какой информации ему будет достаточно для построения и изучения математической модели случайного эксперимента. 

 Результату случайного эксперимента — случайному событию, 
можно поставить в соответствие некоторое подмножество пространства 
элементарных исходов  


1
2
,
,...,
M
A
 


. В этом случае, под случайны
ми событиями понимают подмножества множества  и обозначают их 
латинскими буквами А, В, С. Говорят, что в результате эксперимента 
произошло событие A   , если в эксперименте произошел один из 
элементарных исходов, входящий в множество А. Если случайное событие 


1
2
,
,...,
M
A
 


 состоит из M элементарных исходов пространства  

Тема 1. Случайные события. Действия с событиями 

 

7 

, то в  этом случае говорят, что случайному событию А благоприятствует М элементарных исходов 

 Невозможным событием называют событие, которое не может 
произойти при данном комплексе условий в данном случайном эксперименте. Достоверное событие обязательно происходит в случайном эксперименте. Невозможное событие обозначают символом , а достоверное 
событие — . 
 
Невозможное событие   не содержит элементарных исходов данного случайного эксперимента, а достоверное  событие содержит все  
элементарные исходы случайного эксперимента. 
Введем следующие операции (действия) и отношения между событиями, на примере двух событий A и В. 
 Суммой двух случайных событий A и B  называется случайное 
событие, обозначаемое  АВ (или А+В), которое  происходит в случайном эксперименте, если осуществляется хотя бы одно из событий A 
или В. 
Случайное событие  АВ  состоит из всех элементарных исходов, 
принадлежащих или A, или B, или им обоим:   
АВ =

|
A
или
В
или
АиВ
 





. 

  
Произведением двух случайных событий A и B  называют   случайное событие, обозначаемое АВ (или АВ), которое осуществляется в 
случайном эксперименте тогда и только тогда, когда происходят оба случайных события A и B. 
Случайное событие АВ  состоит из общих элементарных исходов 
событий A и B: 
АВ =

|
АиВ
  
. 

Два события A и B называются несовместными, если они  не могут произойти одновременно в одном и том же случайном эксперименте. Произведение таких событий есть событие невозможное, то есть 
 АВ=. 
 Разностью двух случайных событий A и B называется случайное 
событие А\В, которое заключается в том, что случайное событие A происходит в случайном эксперименте, а случайное событие B – нет. 
Случайное событие А\В состоит  из элементарных исходов, принадлежащих A, но не принадлежащих B:  
А\В =

|
A
и
В
 



. 

И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике 

 

8 

Противоположным событием случайному событию A  называется 

случайное событие
A , которое состоит в том, что в данном случайном 
эксперименте случайное событие А не произошло. 

 Случайное событие
A  включает в себя  элементарные исходы, ко
торые  принадлежат пространству элементарных исходов , но не принадлежат случайному событию A: 

A =

|
и
A
 



. 

Отметим, что A = \А. 
Говорят, что событие А влечет за собой событие В и обозначают 
A
B

, если всегда, как только происходит событие А, происходит и событие В. 
Если A
B

, то множество элементарных исходов, из которых состоит событие А, является подмножеством по отношению к множеству 
элементарных исходов из которых состоит событие В.  
Два случайных события А и В тождественны друг другу, если 
A
B

 и, в свою очередь, B
A

. Обозначают этот факт А=В. 
При решении задач по теории вероятностей вам придется отвечать 
на вопросы о том, сколько всего элементарных исходов в данном случайном эксперименте (N) и сколько исходов благоприятствует  рассматриваемым в задачах случайным событиям. Есть задачи, в которых вы легко 
ответите на эти вопросы,  перечислив все исходы, из которых состоит ,  
и из которых состоят случайные события. Однако это лишь небольшой 
класс задач. В общем случае для ответа на вопрос о числе всех исходов 
случайного эксперимента или о числе исходов, благоприятствующих случайному событию А, используют комбинаторику. 

Правило умножения. Пусть требуется выполнить к упорядоченных, взаимоисключающих друг друга действий. Если первое из этих действий можно выполнить r1 способами, второе – r2 способами, к-ое действие – rk способами, тогда все к упорядоченных действий можно выполнить r способами, где 

 r = r1 r2…rк. 
Предположим, что имеется множество 


1
2
,
,...,
n
E
e e
e

, состоящее 

из n различных элементов. 

 Сочетанием из n элементов множества Е по к называется произвольный  набор из к элементов  множества Е. Различными считаются 
только те сочетания, которые отличаются составом элементов.  

Тема 1. Случайные события. Действия с событиями 

 

9 

 Число сочетаний из n по к обозначают 
k
n
C  и вычисляют по фор
муле: 

 
)!
(!
!
k
n
k
n
C k
n


. 

Отметим, что   по определению принимают, что !
1
2
3
...
n
n
 
 

, 

а 0!
1

 и   1!
1

. Легко показать, что имеют место следующие равен
ства: 
1
n
C
n

 и   
1
n
n
C
n
 
, а  
0
1
n
C 
и   
1
n
n
C 
. 

 Размещением из n элементов множества Е по к называется упорядоченный набор из к  произвольных элементов множества Е. Отличаются друг от друга те размещения, которые состоят из различных элементов или, если элементы одинаковые, то различен порядок их следования. 

 Число размещений из n по к обозначают  
k
n
A
 и вычисляют по 

формуле: 

)!
(
!
k
n
n
A k
n


. 

 Перестановками из n элементов множества Е называют размещения из n элементов этого множества по n. 

 Число перестановок из n элементов  обозначают 
n
P
 и находят 

по следующей формуле: 
!
n
P n

. 

 

1.1. 
ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ 

Задача 1.1.1.  Компания ОАО «Пилигрим» проводит  тендер по выбору поставщика для реализации проекта по изданию корпоративного 
средства массовой информации (журнала). В первом этапе конкурса приняли участие 9 компаний, среди которых были 5 российских и   4 зарубежных и из которых нужно будет отобрать 2  компании для участия во 
втором этапе. Наблюдают за тем, сколько российских компаний пройдет 
во второй тур.  
1. Опишите пространство элементарных исходов . 
2.  Сколько всего элементарных исходов  (N) будет в таком случайном эксперименте?  
Задача 1.1.2. (Продолжение Задачи 1.1.1.) Стало известно, что для 
участия во втором этапе тендера были отобраны две компании: российская и зарубежная,  из которых выбрать в итоге нужно только одну.  

И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике 

 

10 

          1. Опишите пространство элементарных исходов  для такого случайного эксперимента, в предположении, что: а) наблюдают за тем, какая 
именно компания выиграет тендер; б) наблюдают за тем, сколько зарубежных компаний выиграет тендер.  
2. Сколько всего элементарных исходов  (N)  будет в  в каждом 
случае? 
Задача 1.1.3. Руководство крупного супермаркета утверждает, что 
объем продаж в значительной степени зависит от качества обслуживания 
покупателей. Для того, чтобы выявить взаимосвязь объема продаж от качества обслуживания было принято решение провести опрос покупателей 
универмага. Специфика опроса такова, что  существенным показателем 
являлся тот факт, постоянный или случайный покупатель универмага 
принимает участие в опросе. В начале торгового дня менеджер отдела 
маркетинга опрашивает двух покупателей, первыми зашедшими в универмаг. Наблюдают за тем, постоянный или случайный покупатель участвует в опросе. 
1. Опишите пространство элементарных исходов этого случайного 
эксперимента. Сколько всего элементарных исходов будет в этом случайном эксперименте? 
2. Опишите через элементарные исходы следующие случайные события: 
А= Только один покупатель был постоянным; 
В=  Оба покупателя оказались постоянными; 
С= Среди этих двух покупателей не оказалось постоянных ; 
D= По крайней мере один покупатель был случайно зашедшим в универмаг; 
3. Укажите, сколько исходов благоприятствует каждому случайному событию. 
    4. Для каждого случайного события найдите противоположное ему 
событие.  
    5. Выполните следующие действия со случайными событиями: 

 D
C
А
\
\
, 
D
В 
, 
 

В
А
D
А
\


. 
6. Решите эту же задачу, в предположении, что наблюдателя интересует, сколько постоянных покупателей было среди двух опрошенных. 
Задача 1.1.4. В Санкт-Петербургских  автосалонах дилеров  «Парк 
М», «АВТО Гамма» и «РРТ ВЫБОРГСКОЕ» были приобретены три автомобиля  марок «BMW»,  «SKODA» и  «HYUNDAI» соответственно.  
Наблюдают за тем, какой автомобиль из этих трех через 120 дней потребует   гарантийного ремонта. 

Тема 1. Случайные события. Действия с событиями 

 

11 

1. Опишите пространство элементарных исходов  и укажите, 
сколько всего элементарных исходов будет в этом случайном эксперименте. 
2. Опишите через элементарные исходы следующие случайные события: 
А= Только один автомобиль из этих трех потребует  ремонта ; 
В= Хотя бы один автомобиль из этих трех потребует  ремонта ; 
С= Два автомобиля из этих трех потребуют  ремонта ; 
D=По крайней мере два автомобиля из этих трех потребуют ремонта. 
E= Все три автомобиля будут исправны в течении указанного периода; 
3. Укажите, сколько исходов благоприятствует каждому случайному событию. 
4. Для каждого случайного события найдите противоположное ему 
событие.  
5. Выполните следующие действия со случайными событиями: 

 D
C
А
\

, 
D
E 
, 
 

C
А
D
В



, а затем дайте словесное описание 
полученных результатов. 

Задача 1.1.5. Эксперимент состоит в том, что подбрасывают монету, а затем тетраэдр с пронумерованными гранями. Фиксируют, на какую 
сторону упадет монета, и на какую грань упадет тетраэдр. 
1. Перечислите элементарные исходы этого случайного эксперимента и запишите пространство элементарных исходов . 
2. Примените правило умножения и ответьте на вопрос: сколько 
исходов благоприятствует каждому случайному событию А, В, С, D? 
Проверьте ваше решение непосредственным вычислением, описав через 
элементарные исходы случайные события: 
А= Выпал герб и грань с нечетным номером; 
В= Выпал четный номер; 
С= Выпал герб или нечетное число. 
D= Дважды выпал герб. 
3. Напишите события противоположные данным и выполните дей
ствия 
со 
случайными 
событиями: 


D
В
А


, 
D
А 
, 


 

В
А
D
C



. 

Задача 1.1.6. Случайный эксперимент заключается в том, что из коробки, содержащей три карточки с номерами 3, 5, 7, наудачу вынимают 

И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике 

 

12 

одну за другой все карточки, прикладывают друг к другу и читают полученное трехзначное число.  
1. Опишите пространство элементарных исходов  такого случайного эксперимента и  следующие случайные события:  
А = Получилось четное число; 
В = Число делится на 7; 
С = Число делится на 3. 
2. Будут ли случайные события В и С совместными? Несовместными? Придумайте пример двух несовместных случайных событий для этого случайного эксперимента. 
3. Придумайте сами случайное событие, которое не может произойти в данном случайном эксперименте? Как называется такое случайное 
событие? 
4. Приведите свой пример события, которое обязательно произойдет 
в данном эксперименте. Как называется такое случайное событие? 
Задача 1.1.7. Предположим, что решение о покупке акции принимают, подбрасывая монету (математическая абстракция). При этом схема 
выбора следующая: если выпадает герб, то покупают акцию А, если выпадает решка, то покупают акцию В. Если монета падает на ребро, то 
принимают решение не покупать ценную бумагу. 
1. Ответьте на вопрос, какие элементарные исходы возможны в таком эксперименте, сколько их? 
2. Верно ли следующее утверждение: «Если герб не выпадет, то будет 
куплена акция В»? 
3. Можно ли утверждать, что «Если акция не куплена, то решка не 
выпала»? 
Задача 1.1.8. Для того чтобы оценить эффективность завершившейся телевизионной  рекламной кампании нового продукта отдел маркетинга крупного  завода по производству продуктов детского питания  проводит телефонный опрос потребителей, Для этого была разработана специальная анкета, на основе которой проводились опросы    на следующий 
день после просмотра передачи (day – after recall interview).   При телефонном опросе номер телефона абонента выбирался случайным образом. 
Очевидно, что   возможны следующие ситуации: абонент не возьмет 
трубку. Тогда менеджер, проводящий опрос,  звонит следующему респонденту. Если респондент берет трубку, то он может отказаться отвечать 
на вопросы или вступить в диалог и ответить на вопросы анкеты. Начало 
опроса пришлось на конец рабочего дня,  и менеджер планировал сделать 
только два звонка. Из всех вопросов анкеты в момент опроса его интересовал только один: видел ли респондент рекламу нового продукта по те