К теории функционально-дифференциальных включений с импульсивными воздействиями


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.911.5


° А. И. Булгаков, А. И. Коробко, О. В. Филиппова

К ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ ¹

Рассматриваются функционально-дифференциальные включения с вольтерро-вым по А. Н. Тихонову многозначным отображением и импульсными воздействиями. Сформулированы теоремы о продолжаемости решений и установлена связь априорной ограниченности решений с глобальной разрешимостью системы.

Ключевые слова: функционально-дифференциальные включения, вольтерровость по А. Н. Тихонову, априорная ограниченность, выпуклость по переключению, разложимость.


   Данная работа посвящена вопросу о продолжаемости решений задачи

Коши для функционально-дифференциального включения с вольтерро
вым по А. Н. Тихонову многозначным отображением и импульсными воз

действиями. Отметим, что дифференциальные уравнения с импульсными

воздействиями исследовались в монографиях [1, 2].
   Пусть U С [a, b] — измеримое по Лебегу множество. Обозначим через

Lⁿ (U) пространство суммируемых по Лебегу функций x : U —> Rⁿ с нормой ||х|фп (и) = J |x (s)\ds. Ес ли Ф С Lⁿ [ a,b ], то будем говорить, что множество Ф выпукло по переключению (разложимо), если для любых x,y Е Ф и любого измеримого множества e С [a, b] выполнено включение

X(e)x + X([a,b]\e)У Е Ф, где X(•) — характеристическая функция. Множество

всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ln[a,b] обозначим через S(Lⁿ[a,b]).
   Пусть, далее, tk — конечный набор точек, удовлетворяющих неравенствам a < 11 < ... < tₘ < b. Обозначим через Cⁿ [a,b] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [ a, 11], (11 ,t ₂], ..., (tₘ,b] ограниченииix функций x : [a,b] ^ Rⁿ,~ имеющих пределы справа в точках tk, k = 1, 2 ,...,m. Норму в Cⁿ [ a,b] определим равенством ||x|gₙ[ₐb] = sup{|x(t)|: t Е [a,b]}. Далее, если т Е (a,b], то про

   ¹Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 07-01-00305), Рособразования (темплан 1.6.07), Норвежской национальной программы научных исследований FUGE и Норвежского комитета по развитию университетской науки и образования (NUFU), грант PRO 06/02.