Квазиуровни двухчастичного оператора Шредингера с малым потенциалом

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2008. №1

УДК 517.958 : 513.145.6

Л. Е. Баранова, Ю. П. Чубурин

КВАЗИУРОВНИ ДВУХЧАСТИЧНОГО ДИСКРЕТНОГО
ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С МАЛЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Исследуются собственные значения и резонансы двухчастичного дискретного
оператора Шредингера с малым убывающим потенциалом.

Ключевые слова: дискретный оператор Шредингера, малый потенциал, собственное значение, квазиуровень.

Введение

Рассматривается дискретный оператор Шредингера H = H0 + V (n − m),
действующий в пространстве l2(Z2d), d ∈ N. Здесь H0 определяется для
ψ(n, m) ∈ l2(Z2d) формулой

(H0ψ)(n, m) =
|(n′,m′)−(n,m)|=1
ψ(n′, m′),
n, m, n′, m′ ∈ Z2d,

где

|(ν, µ)| =

d
j=1
(|νj| + |µj|),
ν, µ ∈ Zd

( ν = (ν1, . . . , νd) и так далее), а ненулевая вещественная функция V (n) ,
определенная на Zd ( V (n − m) — потенциал парного взаимодействия),
удовлетворяет оценке

|V (n)| ⩽ Ce−a|n|,
(0.1)

где C, a > 0. В случае потенциала с (малым) параметром ε > 0 используем обозначение Hε = H0 + εV (n − m).
Операторы подобного вида изучались ранее, в частности, исследовались свойства собственных значений и резонансов N -частичного дискретного оператора Шредингера в терминах некоторого «резольвентного» определителя Фредгольма [1], свойства собственных значений двухчастичного кластерного оператора [2]; получены результаты, относящиеся