О законе распределения размеров частиц пыли

ВЦСПС

ВСЕСОЮЗНЫЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ИНСТИТУТ ОХРАНЫ ТРУДА

(Москва)

НАУЧНЫЕ РАБОТЫ

ИНСТИТУТОВ ОХРАНЫ

ТРУДА ВЦСПС

Выпуск 3 (29)

ИЗДАТЕЛЬСТВО   ВЦСПС ПРОФИЗДАТ — 1964

Инж. В. Т. САМСОНОВ

(Московский институт охраны труда)

О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РАЗМЕРОВ ЧАСТИЦ ПЫЛИ

В связи с широким и разнообразным применением измельченных материалов в различных 

отраслях народного хозяйства дисперсный состав и другие дополнительные показатели, характеризующие эти материалы (величина полной и удельной поверхности, средний размер частиц, 
однородность частиц по размеру и форме и т. д.), изучали как в нашей стране, так и за рубежом. К настоящему времени накоплен большой экспериментальный и теоретический материал, к 
сожалению, разбросанный по многочисленным литературным источникам.

Дисперсный состав принято определять по геометрическим размерам частиц. Но для ча
стиц неправильной формы, характерных для большинства пылей, трудно выбрать какой-либо 
геометрический размер в качестве определяющего. Поэтому часто употребляют понятие «эквивалентный размер», что означает диаметр условной шарообразной частицы из того же вещества, 
производящей какое-либо действие, равновеликое действию измеряемой частицы неправильной 
формы. Поскольку для промышленной вентиляции обычным состоянием пыли является взвешенное в воздухе состояние, наибольший интерес представляет эквивалентный диаметр, определяемый по скорости витания в воздушной среде. Скорость витания в большинстве случаев 
более полно определяет поведение частиц пыли в воздушной среде и отношение к ряду способов 
пылеулавливания, чем какой-либо геометрический размер частицы. К тому же скорость витания 
включает в себя, кроме размера, плотность материала частиц и их форму.

Для решения задач промышленной вентиляции наиболее целесообразно определять дисперс
ный состав пыли во взвешенном состоянии, например, в воздуховоде перед пылеуловителем. В 
этом случае дисперсный состав будет естественным, ненарушенным. Но пока таких методов 
нет, поэтому приходится предварительно улавливать пыль для последующего анализа тем или 
иным способом. При этом необходимо

26
стремиться к полному улавливанию частиц пыли всех размеров, иначе дисперсный состав будет 
нарушен.

Г р а ф и к и распределения. Когда изучают не отдельные элементы, а их совокуп
ность, применяют статистические методы исследования и статистические законы распределения 
(например, в обществоведении, физике, гидроаэродинамике и ряде других прикладных дисциплин). Эти методы и законы с успехом могут быть применены и при исследовании дисперсного состава промышленных пылей.

В полидисперсной смеси частиц, расклассифицированной по крупности на фракции, общий 

вес равномерно не распределяется по отдельным фракциям, а на каждую фракцию приходится различная доля целого. Согласно этому полидисперсную смесь частиц можно рассматривать 
как некоторый статистический коллектив, или статистическую совокупность. Поэтому вопросы, 
связанные с изучением дисперсного состава, целесообразно решать при помощи методов теории вероятности и математической статистики.

Отдельные частицы пыли — это члены статистического коллектива. Количественным призна
ком, по которому производится классификация (разделение на фракции), есть    размер частицы, поэтому он является аргументом коллектива частиц пыли. Общее число частиц, или общий 
вес исследуемой пробы пыли, составляет объем коллектива, или объем статистической совокупности. Число частиц в каждой фракции, или их вес, можно назвать численностью фракции, частотой или абсолютной частостью. Частоты, отнесенные к объему совокупности, есть 
относительные частоты (весовые или численные выходы фракций, выраженные в процентах к 
общему весу или к общему числу частиц пыли).

Результаты дисперсионных анализов сводят в таблицы либо представляют в виде графиков 

зависимости весовых выходов фракций от величины частиц. При статистической обработке 
данных дисперсионных анализов принимается, что изменение размеров частиц представляет 
собой непрерывный ряд и для

геометрического изображения дисперсного состава может быть построена кривая плотно

сти распределения.

Рис.  1. Дифференциальная кривая распределения размеров частиц пыли

Такая кривая приведена на рис. 1. Она построена по данным дисперсионного анализа литей
ной пыли, взятой в воздуховоде из накатного укрытия выбивной решетки [1].

При построении кривой плотности распределения по данным дисперсионного анализа, когда 

интервалы крупности имеют разную длину, необходимо   выходы   классов 
отнести   к   интер
валам   крупности

, то есть к единице изменения величины частиц
в пределах каждого интервала, и затем 

полученные значения построить по среднему размеру фракций (см. рис. 1).

Кривая плотности распределения наглядна. По ней легко определить фракцию с макси
мальным выходом. Но для ее обоснованного построения необходимо иметь большое количество 
опытных точек. Кроме того, сравнивать выходы фракций между собой можно только по площадям, что не совсем удобно.

27

Функция плотности распределения размеров частиц (дифференциальная)   имеет вид

..
(1)

при условии, что

где
— весовая доля частиц фракции
.

При решении некоторых технических задач более удобны суммарные (интегральные) кри
вые распределения, построенные по накопленным частостям. Накопленная частость — относительное количество пыли крупнее или мельче данного размера, которая содержится в исследуемой пробе. Суммарная кривая распределения менее чувствительна к интервалам крупности отдельных фракций, и по ней легко можно определить выход любой фракции как разность соответствующих ординат. Сравнение суммарных кривых между собой нагляднее и 

проще (рис. 2).

Интегральная функция распределения получается инте
грированием функции
в пределах от 0 до

(2).

Кривая плотности распределения и суммарная кривая полностью 
характеризуют дисперсный состав с точки зрения математической 
статистики.

Рис.  2.  Интегральная кривая распределения размеров частиц

Многие исследователи, выражая результаты дисперсионных анализов в виде кривых плотности распределения, заметили, что при 
большом разнообразии кривых дисперсных составов для различных 

материалов имеется некоторая устойчивость в форме этих кривых.

Характерно, что наиболее мелкие фракции дисперсного состава измельченных материалов изображаются, как 
правило, несимметричной кривой с одним максимумом. Этот факт отмечает Г. И. Ромашов [2], анализируя данные Розина и Раммлера. 
Р.Нагель и Р. Ибинг [3], основываясь на работах Виланда, приходят к выводу, что кривые дисперсного состава 
размолотого в шаровых мельницах материала имеют только один максимум.
Анализируя дисперсный состав сотен измельченных в вибромельнице материалов, Л. А. Фейгин и Л. И. 
Эдельман [4] приходят к выводу, что для всех исследованных продуктов виброизмельчения характерна резкая асимметрия кривых плотности распределения. Проф. Н. К. Разумовский [5] утверждает, 
что в природе вообще обычны только асимметричные кривые распределения.

В наших опытах, которые предполагается опубликовать позже, также получены асим
метричные кривые плотности распределения с одним максимумом как для искусственно измельченных материалов

28
(кварц, уголь, графит и др.), так и для пылей литейных цехов, образовавшихся в результате 
естественного многократного измельчения под действием высокой температуры и истирания при 
транспортировании. З а к о н ы р а с п р е д е л е н и я . Замеченная многими исследователями 
устойчивость формы кривых плотности распределения вызвала многочисленные попытки выразить в аналитической форме закономерности распределения размеров частиц.

В области промышленной вентиляции знание закона распределения размеров частиц 

промышленных пылей позволило бы легче решать различные теоретические и прикладные 
задачи:

обоснованно экстраполировать дисперсный состав по всему необходимому диапазону раз
меров частиц пыли (главным образом в самых мелких фракциях);

по данным весового распределения вычислять распределение частиц по их поверхности, 

числу частиц, объему и пр.;

обоснованно выбирать средние показатели, характеризующие пыль;
более точно производить технические расчеты (например, определение эффективности пы
леотделителей);

упростить исследование на моделях устройств для удаления и улавливания пыли, приго
товление пыли для экспериментов и пр.

Было предложено много различных уравнений для функций распределения. Но все они 

(кроме одного) носят чисто эмпирический характер. Эти формулы можно объединить в 
группы:

уравнения Мартина, Хейвуда, Нукиямы-Танасавы, Вейнига, полученные для описания ко
личественных частотных распределений;

уравнения Гриффитса, Трёша, полученные для объемных частотных распределений;
уравнения Розина-Раммлера-Шперлинга и Роллера, полученные при анализе инте
гральных объемных кривых распределения.

Анализ этих уравнений приведен в работах Н. А. Фукса [6], С. Е. Андреева [7] и 

др. Следует отметить, что все эти уравнения являются чисто эмпирическими приближениями к 
действительному распределению. Каждая такая формула применима к тем или иным группам 
дисперсных материалов и ни одна из них не имеет общего значения.

Наиболее широкое распространение как за рубежом, так и в нашей стране получила 

формула Розина-Раммлера-Шперлинга-Беннета (сокращенно Розина-Раммлера). Эта формула приводится в СНиП 
1-Г, 5-62 при построении диаграммы для выбора пылеуловителей, в Германских нормахDIN
4190 и пр.

Формула Розина-Раммлера имеет вид

,

(3)

где
- суммарный весовой выход частиц размером больше
;

- размер частиц, при котором выход

,

- постоянная, характеризующая степень измельчения;

- постоянная равномерности;

- основание натуральных логарифмов.

Если формулу  (3)  дважды прологарифмировать, получим

(3')

29

Уравнение  (3')  в координатах
, 
изображается пря
мой линией. Это упрощает применение формулы (3), так как постоянные
и 
можно 

определить непосредственно из графика соответственно как тангенс угла наклона прямой 
к оси абсцисс и как ординату, соответствующую выходу, равному 36,8%.

Показатель степени
характеризует рассеяние частиц по крупности. Чем больше
, 

тем больше однородность измельченного материала и большее количество его сосредоточено 
в узком диапазоне крупности.

Розин и Раммлер [8] обрабатывали статистическими методами, то есть построением 

кривых распределения, ситовые анализы продуктов дробилок и мельниц при работе с разными 
материалами. Из дробилок и мельниц обычно выдается продукт, прошедший через определенной величины отверстия, а крупные фракции, не прошедшие через эти отверстия, возвращаются на доизмельчение. Поэтому исследованные материалы оказывались с нарушенным дисперсным составом, усеченным в крупных фракциях. Розин и Раммлер, пытаясь найти уравнения кривых распределения для этих материалов путем выравнивания их по кривым Пирсона, 
пришли к выражению (3), которое оказалось удачным приближением к действительным усеченным распределениям размеров частиц грубоизмельченных материалов.

Широкое применение уравнения (3) получило в теории и практике измельчения угля в нашей 

стране и за рубежом. В дальнейшем урав-нение (3) без достаточного обоснования стали применять к мелкодис-персным материалам. В литературе отсутствуют исследования, подтверждающие применимость этого уравнения к фракциям размером менее60 мк, а также к промышленным пылям. Но во многих работах теоре-тически и экспериментально доказывается, 
что уравнения Розина-Раммлера к дисперсным составам в области мелких фракций применять нельзя. К такому выводу пришли в своих работах Гебеляйн [9], Батель [10], Фукс [6] и др.

Многие авторы отмечают также существенные недостатки уравнения (3). Для любой про
бы измельченного материала число частиц конечно. По уравнению (3) при
0 число частиц 

оказывается беско-нечным при
3. Лишь при
3 это число конечно. Но распределе
ние с таким большим числом равномерности встречается крайне редко. В области мелких 
фракций действительное распределение все больше отклоняется от кривой по формуле РозинаРаммлера.

Величина удельной поверхности, вычисляемая по уравнению, основанному на формуле (3), 

при
1 с уменьшением
непрерывно увеличивается, что противоречит физическому смыслу. 

При 1
(1,2 1,3) величина удельной поверхности медленно уменьшается. Поэтому ис
кусственно ограничивают минимальный размер частиц определенной величиной; вычисляемая 
удельная поверхность будет в основном зависеть от этого размера, выбор которого произволен.

Из уравнения (3) трудно получить уравнения для распределения

удельной поверхности и числа частиц. В координатах
,

выпрямляется график только весового распределения, графики других распределений не выпрямляются.

Все эти недостатки ставят под сомнение возможность применения уравнения Розина

Раммлера к мелкодисперсным материалам (мельче 60 мк).

Л о г а р и ф м и ч е с к и
н о р м а л ь н ы й
з а к о н
р а с п р е д е л е н и я
А.Н. 

К о л м о г о р о в а . Еще в 1941 году акад. А.Н. Колмогоров теоретически получил закон распределения размеров частиц, 

30
наиболее полно соответствующий действительным распределениям измельченных материалов 
[12]. Дальнейшее развитие этот закон получил в трудах проф. Н. К. Разумовского, Л. М. 
Черного, А. Ф. Филиппова и др.

Акад. А. Н. Колмогоров математически обосновал некоторую общую схему процесса из
мельчения, при которой плотность распределения размеров частиц по мере измельчения 
асимптотически стремится к логарифмически нормальному закону. Он предположил, что распределение логарифмов размеров частиц не зависит ни от абсолютных размеров частиц исходного материала, ни от применяющихся методов измельчения. При этом не только линейные размеры частиц подчиняются этому закону, но и любые другие характеристики частиц, зависящие 
от размера.

Функция плотности логарифмически нормального распределения выражается

,
(4)

а интегральная функция логарифмически нормального распределения имеет вид

,

(5)

где 
- частость наблюдения величины х;

- размер частиц;

- медиана распределения;

- стандартное отклонение (среднее квадратическое). Медианой распределения с плотно
стью
называют такое значение
, при котором справедливо равенство

то есть половина всех частиц имеет размер больше х0, другая половина — меньше

,

то есть 
есть среднее геометрическое размеров частиц.

Здесь —вес фракции.
Дисперсия в логарифмически нормальном распределении характе-ризует размытость функции
относительно максиму-ма и может быть названа степенью полидисперсности измельченного
материала. Чем больше величина дисперсии, тем больше размытостьданного распределения.

(5')

то есть
есть стандартное отклонение от среднего геометрического размера.

Интеграл в правой части уравнения (5) не выражается через элементарные функции. Произ
ведя замену переменных в виде

,
(6)

31

получим

.
(7)

Величину называют нормированной величиной. Функция 
табулирована. Табулиро
ваны также функция Лапласа

и функция  Крампа

,

связанные с функцией
следующим образом:

.

Величину нормированного распределения называют квантилью. Квантиль t изменяется от до + 
, тогда как
- от 0 до 1.

Из уравнения (6) находим

.

Это уравнение указывает, что
есть функция соответствующего

значения
в уравнении (7). Если  в  прямоугольных   координатах по оси абсцисс отложить 

значения
, а по оси ординат значения
, по
следнее уравнение в этих координатах изобразится прямой 
линией. Это так называемая диаграмма квантилей. На 
ось абсцисс удобнее нанести логарифмическую шкалу, а 
на ось ординат —вероятностную шкалу. В результате получим вероятностно-логарифмическую сетку (рис. 3). Построение такой сетки рассматривается в работе [13] и др. 
Применение вероятностно-логарифмической сетки упрощает проверку применимости логарифмически нормального закона. Если в этой сетке точки опытного распределения 
ложатся на одну прямую, значит, это распределение подчиняется логарифмически нормальному закону. Сетка дает 
наглядное представление о всяком отклонении от логарифмически нормального распределения: всякое отклонение   опытных   точек от прямой укажет на систематиче
ское влияние какой-либо причины, регулирующей распределение частиц.

Параметры распределения 
и 
определяются 

по графику предельно просто. Поскольку в полулогарифмических координатах кривая распределения становится 

симметричной, то значение
, соответствующее 50%-ному выходу, даст
.

32

Из уравнения  (61)  получаем: при =0,
=50% и отрезок на оси 

даст 
; при =1
=84,13% и
.

Отсюда

.

Угловой коэффициент прямой равен

, то есть
,

где
- угол, образованный  прямой с положительным   направлением

оси
.

Не только кривая накопленных частостей, но и кривые распределения начальных моментов в 

вероятностно-логарифмической: сетке изображаются прямой линией.  Начальный момент 
-й 

степени 
для  размеров частиц от 0 до 
выражается следующим уравнением:

Рис. 3. Кривые распределения в вероят
ностно-логарифмической сетке:

=   0: кривая объемного  распределения; 

=-1: кривая   распределения,  пропорциональная   удельной   поверхности  частиц; <
=-3: 

кривая  распределения,   пропорциональная 
числу частиц

.

(8) Сделаем замену пере
менной в уравнении (8):

,

откуда получаем

и

.

После замены уравнение (8) примет вид

.

(8’)Выражение показателя 

степени можно представить так

и тогда уравнение (8') примет вид

.

Сделаем еще раз замену переменной:

.

Окончательно получаем

(9) .

Для полного распределения размеров частиц от 0  до
имеем

= 1    и  
.                 (10)

3    Заказ   358
33

Если обозначить коэффициент перехода от натуральных к десятичным логарифмам через 

=0,4343, получим

,

Уравнение (9) с учетом уравнения (10) будет иметь следующий вид:

.
(10')

Из уравнения (10') следует, что с возрастанием 
относительная доля момента увели
чивается по такому же закону, что и накопленные частости для частиц размером 
. Следо
вательно, в вероятностно-логарифмической сетке кривые распределения моментов различных степеней будут изображаться параллельными прямыми (см. рис. 3).

Момент нулевой степени равен
и представляет

собой нормированное весовое распределение размеров частиц.

Большой интерес представляют моменты минус первой и минус третьей степени. Момент 

минус первой степени пропорционален удельной поверхности частиц. Если в известное уравнение для величины удельной поверхности

подставить функцию плотности логарифмически нормального распределения (4), получим

или

.,
(11)

где
- плотность материала частиц.

Полная удельная поверхность при
= 1 выражается

.                                    (11')

Из уравнения (11) следует, что распределение удельной поверхности частиц подчиняется 

логарифмически нормальному закону и, следовательно, в вероятностно-логарифмической сетке 
изображается прямой линией, параллельной линии распределения размеров частиц. Уравнение 
(11') получили Г. С. Штыхнов [14], Н. Н. Пономарев [11] и др.

По уравнению (10') легко можно осуществить переход к линиям моментов любой степени. В 

общем случае этот переход идентичен изменению нормированной величины
на величину

Для каждого момента суммарная линия в диаграмме квантилей отклоняется по оси орди
нат на отрезок, равный
, а параллельный

сдвиг по оси абсцисс происходит на величину
.

Линия распределения удельной поверхности сдвинута вверх по отношению к линии весово
го распределения 
на величину отрезка, равного 
, и влево на отрезок, равный
.

Момент минус третьей степени пропорционален количеству частиц в смеси. Если предпо
ложить, что все частицы имеют одинаковую плот
34
ность материала
, а форма частиц шарообразная, можно определить число зерен в интер
вале размеров от 0 до
:

,

или

, 
(12)

Для полного распределения уравнение для числа частиц примет вид (при
=1)

(12')

Таким образом, численное распределение размеров частиц также подчиняется логарифмиче
ски нормальному закону. Уравнение (12) позволяет по известному весовому распределению 
найти распределение числа частиц. Линия распределения по числу частиц сдвинута по отношению к линии весового распределения вверх на отрезок, равный
, и влево на отрезок, 

равный ехр (
).

Уравнение (10') позволяет просто определить ряд других характеристик пыли, например 

средний размер частиц и др.

Логарифмически нормальному закону подчиняется также распределение скоростей витания 

частиц, обтекание которых находится в ламинарной области, если распределение логарифмов 
размеров нормальна.

Функция распределения скоростей витания имеет вид

,
(13)

где
- скорость витания частиц пыли;

- доля частиц, имеющих скорость витания 
;

- среднее квадратическое отклонение скоростей витания;
- медиана.

В вероятностно-логарифмической сетке распределение скоростей витания также изобража
ется прямой линией с углом наклона к оси абсцисс

.

Покажем связь между параметрами распределения размеров и скоростей витания частиц. 

По закону Стокса скорость витания пропорциональна квадрату геометрического размера частиц:

,

где
- геометрический размер частицы;
- коэффициент.
учетом уравнения (5') для
имеем

7

.                                                                               (14)
35

или

Медиана
может быть определена из уравнения

(15)

Правильность соотношения (14) экспериментально подтвердил Куркин, определяя дис
персный состав сажевого аэрозоля одновременно по скоростям витания и по проектированным размерам.

Рис. 4. Графики распределения размеров частиц в вероятностно-логарифмической сетке (слева), в 

сетке Розина-Раммлера   (справа). Молотый

полевой шпат 4900.
Условные обозначения:

—
помол  серии  III в вероятностно-логарифмической сетке;

—
помол серии III в сетке Розина-Раммлера;

—
помол  серии   IV в  вероятностно-логарифмической  сетке;

—
помол  серии  IV в  сетке Розина-Раммлера

Применение з а к о н а
А. Н, Колмогорова. Таким образом, логарифмиче
ски нормальный закон распределения имеет большие преимущества по сравнению с законом 
Розина-Раммлера. Как пишет проф. Н. А. Фукс в предисловии к работе [11], "логарифмически 
нормальное распределение —это пока единственное распределение, которое может быть получено теоретически для систем, образующихся при длительном диспергировании. По ряду причин,