Специальные функции математической физики
Покупка
Издательство:
Интеллект
Год издания: 2007
Кол-во страниц: 344
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-89155-165-7
Артикул: 130020.01.01
Доступ онлайн
В корзину
Классические ортогональные полиномы, ферические и гпиргеометрические функции, а также функции Бесселя рассматриваются с единой точки зрения как частные решения возникающего во многих задачах математической физики и квантовой механики дифференциального уравнения определенного типа
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.04: Прикладная математика
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
- 01.04.04: Прикладная математика
- ВО - Специалитет
- 01.05.01: Фундаментальные математика и механика
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
У ДК 519.6 ББК 22.19 Н62 Н и к и ф о р о вА . Ф., У в а р о вВ . Б . Н62 С пе ц и а л ь н ы е ф у н к ц и и м а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к и : У ч е б н о е по с о б и е/ А. Ф. Ни к и ф о р о в , В. Б. У в а р о в . — 3-е и з д . — До л г о пр у д н ы й: <ИНТ ЕЛЛЕКТ >, 2007. — 344 с . ISBN 978-5-89155-165-7 Кл а с с и ч е с к и ео р т о г о н а л ь н ы епо л и н о м ы , с ф е р и ч е с к и еиг и пе р г е о м е т р и ч е с к и еф у н к ц и и , ат а к ж еф у н к ц и и Бе с с е л яр а с с м а т р и в а ю т с ясе д и н о й т о ч к из р е н и як а кч а с т н ы ер е ш е н и яв о з н и к а ю щ е г о в ом н о г и хз а д а ч а хм а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к иик в а н т о в о й м е х а н и к и д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г оу р а в н е н и яо пр е д е л е н н о г от и па . Дл яр е ш е н и й э т о г оу р а в н е н и яспо м о щ ь ю о б о б щ е н и яф о р м у л ы Р о д р и г ан а йд е н ои н т е г р а л ь н о е пр е д с т а в л е н и е , и з к о т о р о г опо л у ч е н ыв с е о с н о в н ы е с в о йс т в ас пе ц и а л ь н ы хф у н к ц и й. П о с т р о е н ат а к ж ет е о р и як л а с с и ч е с к и хо р т о г о н а л ь н ы хпо л и н о м о вд и с к р е т н о й пе р е м е н н о й к а к н а р а в н о м е р н ы х , т а кин е р а в н о м е р н ы хс е т к а х , у с т а н о в л е н аи хс в я з ьс к о э ф ф и ц и е н т а м иКл е б ш а —Го р д а н аик о э ф ф и ц и е н т а м иР а к а . Р а с с м а т р и в а ю т с япр и л о ж е н и якз а д а ч а мм а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к и , к в а н т о в о й м е х а н и к иив ы ч и с л и т е л ь н о й м а т е м а т и к и . Кн и г апр е д н а з н а ч е н ад л яс т у д е н т о виа с пи р а н т о в , н а у ч н ы хр а б о т н и к о вии н ж е н е р о в -и с с л е д о в а т е л е й, ат а к ж ед л яв с е х , и м е ю щ и х д е л осм а т е м а т и ч е с к и м ир а с ч е т а м и . О н ам о ж е тб ы т ьи с по л ь з о в а н а пр ии з у ч е н и ит е о р е т и ч е с к о й им а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к и . Б Б К 22.19 У ДК 519.6 ISBN 978-5-89155-165-7 © 2007, н а с л е д н и к и © 2007, О О ОИД <ИНТ ЕЛЛЕКТ >, о р и г и н а л -м а к е т , о ф о р м л е н и е
О Г Л А В Л Е Н И Е П р е д и с л о в и ер е д а к т о р апе р в о г ои з д а н и я . . . . . . . . . . 7 П р е д и с л о в и ек ов т о р о м уи з д а н и ю . . . . . . . . . . . . . . 9 Г Л А В А I О С Н О В Ы Т Е О Р И И С П Е Ц И А Л Ь Н ЫХ ФУ Н К Ц И Й . . . . 12 § 1. Ди ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е д л я с пе ц и а л ь н ы х ф у н к ц и й 12 § 2. П о л и н о м ыг и пе р г е о м е т р и ч е с к о г от и па . . . . . . . . . 16 § 3. Ин т е г р а л ь н о епр е д с т а в л е н и ед л яф у н к ц и й г и пе р г е о м е т р и ч е с к о г от и па . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 § 4. Р е к у р р е н т н ы е с о о т н о ше н и яиф о р м у л ыд и ф ф е р е н ц и р о в а н и я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Г Л А В А II К Л А С С И Ч Е С К И ЕО Р Т О Г О Н А Л Ь Н ЫЕП О Л И Н О МЫ . . 31 § 5. О с н о в н ы е с в о йс т в а по л и н о м о в г и пе р г е о м е т р и ч е с к о г о т и па 31 1. П о л и н о м ыЯ к о б и , Ла г е р р аиЭ р м и т а(31). 2. Не к о т о р ы ес л е д с т в и я и зф о р м у л ыР о д р и г а(34). 3. П р о и з в о д я щ и еф у н к ц и и(35). 4. С в о йс т в оо р т о г о н а л ь н о с т и(38). § 6. Не к о т о р ы ео б щи ес в о йс т в ао р т о г о н а л ь н ы хпо л и н о м о в 41 1. Р а з л о ж е н и епр о и з в о л ь н о г опо л и н о м апоо р т о г о н а л ь н ы м по л и н о м а м(41). 2. Ед и н с т в е н н о с т ьс и с т е м ыо р т о г о н а л ь н ы хпо л и н о м о впр и з а д а н н о мв е с е(42). 3. Р е к у р р е н т н ы ес о о т н о ш е н и я(44). 4. Фо р м у л а Да р б у —Кр и с т о ф ф е л я(46). 5. С в о йс т в ан у л е й (47). 6. С в о йс т в ач е т н о с т и по л и н о м о в , в ы т е к а ю щ и еи зч е т н о с т и в е с о в о й ф у н к ц и и (48). 7. С в я з ьд в у хс и с т е мо р т о г о н а л ь н ы хпо л и н о м о в , д л як о т о р ы хо т н о ш е н и ев е с о вя в л я е т с яр а ц и о н а л ь н о й ф у н к ц и е й (49). § 7. Ка ч е с т в е н н о е по в е д е н и е и а с и м пт о т и ч е с к и е с в о йс т в а по л и н о м о вЯ к о б и , Ла г е р р аиЭ р м и т а . . . . . . . . . 52 1. Ка ч е с т в е н н о епо в е д е н и е(52). 2. Ас и м пт о т и ч е с к и ес в о йс т в аин е к о т о р ы ео ц е н к и(54). § 8. Р а з л о ж е н и еф у н к ц и й вр я д ы пок л а с с и ч е с к и мо р т о г о н а л ь н ы мпо л и н о м а м . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1. О б щ и ес о о б р а ж е н и я(60). 2. За м к н у т о с т ьс и с т е м ы о р т о г о н а л ь н ы х по л и н о м о в(62). 3. Т е о р е м ыр а з л о ж е н и я(64). 3
§ 9. За д а ч ин ас о б с т в е н н ы ез н а ч е н и я , пр и в о д я щи екк л а с с и ч е с к и мо р т о г о н а л ь н ы мпо л и н о м а м . . . . . . . . . 69 1. П о с т а н о в к а з а д а ч и(69). 2. Кл а с с и ч е с к и е о р т о г о н а л ь н ы е по л и н о м ы к а кс о б с т в е н н ы е ф у н к ц и ин е к о т о р ы хз а д а чн ас о б с т в е н н ы е з н а ч е н и я (71). 3. За д а ч и к в а н т о в о й м е х а н и к и , пр и в о д я щ и ек к л а с с и ч е с к и м о р т о г о н а л ь н ы мпо л и н о м а м(75). § 10. С ф е р и ч е с к и еф у н к ц и и . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1. Р е ш е н и еу р а в н е н и я Ла пл а с ав с ф е р и ч е с к и х к о о р д и н а т а х (78). 2. С в о йс т в ас ф е р и ч е с к и хф у н к ц и й (83). 3. С в я з ьо д н о р о д н ы хг а р м о н и ч е с к и хпо л и н о м о вис ф е р и ч е с к и хф у н к ц и й (85). 4. О б о б щ е н н ы е с ф е р и ч е с к и е ф у н к ц и и(87). 5. Т е о р е м ас л о ж е н и я(94). § 11. Фу н к ц и ив т о р о г ор о д а . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 1. Ин т е г р а л ь н о епр е д с т а в л е н и е(96). 2. Ас и м пт о т и ч е с к о епр е д с т а в л е н и е (98). 3. Р е к у р р е н т н ы е с о о т н о ш е н и яиф о р м у л ыд и ф ф е р е н ц и р о в а н и я(99). 4. Не к о т о р ы е с пе ц и а л ь н ы е ф у н к ц и и , р о д с т в е н н ы е ф у н к ц и и в т о р о г ор о д аQ0(z): н е по л н ы еб е т а - иг а м м а -ф у н к ц и и , и н т е г р а л ь н а я по к а з а т е л ь н а яф у н к ц и я , и н т е г р а лв е р о я т н о с т и , и н т е г р а л ь н ы ес и н у с ик о с и н у с(100). § 12. Кл а с с и ч е с к и е о р т о г о н а л ь н ы епо л и н о м ыд и с к р е т н о й пе р е м е н н о й . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 1. Р а з н о с т н о еу р а в н е н и ег и пе р г е о м е т р и ч е с к о г от и па(105). 2. Р а з н о с т н ы еа н а л о г ипо л и н о м о вг и пе р г е о м е т р и ч е с к о г от и паии хпр о и з в о д н ы х(107). 3. С в о йс т в о о р т о г о н а л ь н о с т и(111). 4. П о л и н о м ыХ а н а , Ч е б ы ш е в а , Ме йк с н е р а , Кр а в ч у к аи Ша р л ь е(114). 5. Вы ч и с л е н и е о с н о в н ы хх а р а к т е р и с т и к(122). 6. С в я з ьспо л и н о м а м иЯ к о б и , Ла г е р р аиЭ р м и т а(124). 7. С в я з ьо б о б щ е н н ы хс ф е р и ч е с к и хф у н к ц и й с по л и н о м а м иКр а в ч у к а(128). § 13. Кл а с с и ч е с к и е о р т о г о н а л ь н ы епо л и н о м ыд и с к р е т н о й пе р е м е н н о й н ан е р а в н о м е р н ы хс е т к а х . . . . . . . . . . 129 1. Р а з н о с т н о еу р а в н е н и ен ан е р а в н о м е р н о й с е т к е(129). 2. Кл а с с и ф и к а ц и яс е т о к(131). 3. О с н о в н о ес в о йс т в ор а з н о с т н ы ху р а в н е н и й г и пе р г е о м е т р и ч е с к о г от и пан ан е р а в н о м е р н ы хс е т к а х(134). 4. Фо р м у л аР о д р и г а(139). 5. С в о йс т в оо р т о г о н а л ь н о с т и(145). 6. Вы ч и с л е н и е в е с о в ы хф у н к ц и й (149). 7. О с н о в н ы е х а р а к т е р и с т и к ипо л и н о м о в Р а к аид у а л ь н ы хпо л и н о м о вХ а н а(158). 8. Ас и м пт о т и ч е с к и ес в о йс т в а(160). 9. П о с т р о е н и ен е к о т о р ы хк л а с с о вн е р а в н о м е р н ы хс е т о кс по м о щ ь ю ф о р м у л ыДа р б у —Кр и с т о ф ф е л я(161). Г Л А В А III Ц И Л И Н ДР И Ч Е С К И ЕФУ Н К Ц И И . . . . . . . . . . . . . 164 § 14. Ди ф ф е р е н ц и а л ь н о еу р а в н е н и еБе с с е л яие г ор е ше н и е 164 1. Р е ш е н и е у р а в н е н и е Ге л ь м г о л ь ц а в ц и л и н д р и ч е с к и х к о о р д и н а т а х(164). 2. О пр е д е л е н и е ф у н к ц и й Бе с с е л я пе р в о г о р о д а и ф у н к ц и й Х а н к е л я(165). § 15. О с н о в н ы ес в о йс т в ац и л и н д р и ч е с к и хф у н к ц и й . . . . 169 1. Р е к у р р е н т н ы е с о о т н о ш е н и яиф о р м у л ыд и ф ф е р е н ц и р о в а н и я(169). 2. Ан а л и т и ч е с к о е пр о д о л ж е н и е и а с и м пт о т и ч е с к и е пр е д с т а в л е н и я(170). 3. Фу н к ц и о н а л ь н ы ес о о т н о ш е н и я(172). 4. Р а з л о ж е н и явс т е пе н н ы е р я д ы(173). § 16. Ин т е г р а л ь н о епр е д с т а в л е н и еЗо м м е р ф е л ь д а . . . . . . 175 1. Ин т е г р а л ь н о епр е д с т а в л е н и еЗо м м е р ф е л ь д ад л яц и л и н д р и ч е с к и х ф у н к ц и й (175). 2. Ин т е г р а л ь н ы епр е д с т а в л е н и яЗо м м е р ф е л ь д ад л я ф у н к ц и й Х а н к е л яиф у н к ц и й Бе с с е л япе р в о г ор о д а(177). 4
§17. С пе ц и а л ь н ы ек л а с с ыц и л и н д р и ч е с к и хф у н к ц и й . . . 179 1. Фу н к ц и и Бе с с е л яв т о р о г ор о д а(179). 2. Фу н к ц и и Бе с с е л япо л у ц е л о г опо р я д к а . П о л и н о м ы Бе с с е л я(181). 3. Фу н к ц и и Бе с с е л я м н и м о г оа р г у м е н т а(183). §18. Т е о р е м ыс л о ж е н и я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 1. Т е о р е м ас л о ж е н и яГр а ф а(187). 2. Т е о р е м ас л о ж е н и яГе г е н б а у э р а (188). 3. Р а з л о ж е н и ес ф е р и ч е с к о й ипл о с к о й в о л н ы попо л и н о м а м Ле ж а н д р а(193). §19. Кв а з и к л а с с и ч е с к о епр и б л и ж е н и е . . . . . . . . . . . 193 1. Кв а з и к л а с с и ч е с к о епр и б л и ж е н и ед л яр е ш е н и й у р а в н е н и й в т о р о г о по р я д к а (194). 2. Ас и м пт о т и ч е с к и е пр е д с т а в л е н и я д л я к л а с с и ч е с к и х о р т о г о н а л ь н ы х по л и н о м о в пр и б о л ь ш и х з н а ч е н и я х n (199). 3. Кв а з и к л а с с и ч е с к о епр и б л и ж е н и ед л яу р а в н е н и й со с о б е н н о с т ь ю . Кв а з и к л а с с и к ад л яц е н т р а л ь н о -с и м м е т р и ч н о г опо л я(202). 4. Ас и м пт о т и к ац и л и н д р и ч е с к и хф у н к ц и й пр иб о л ь ш и хз н а ч е н и я хпо р я д к а . Фо р м у л ыЛа н г е р а (204). 5. О пр е д е л е н и е с о б с т в е н н ы хз н а ч е н и й э н е р г и ид л яу р а в н е н и яШр е д и н г е р авк в а з и к л а с с и ч е с к о мпр и б л и ж е н и и . Фо р м у л аБо р а —Зо м м е р ф е л ь д а(205). Г Л А В А IV Г И П Е Р Г Е О МЕ Т Р И Ч Е С К И ЕФУ Н К Ц И И . . . . . . . . . 209 §20. У р а в н е н и я г и пе р г е о м е т р и ч е с к о г от и паи и хр е ше н и я 209 1. П р и в е д е н и е кк а н о н и ч е с к о м ув и д у(209). 2. П р е о б р а з о в а н и е у р а в н е н и й г и пе р г е о м е т р и ч е с к о г от и паву р а в н е н и ят о г ож ет и па(210). 3. Ги пе р г е о м е т р и ч е с к а яив ы р о ж д е н н а яг и пе р г е о м е т р и ч е с к а яф у н к ц и и(212). 4. Р е к у р р е н т н ы е с о о т н о ш е н и яиф о р м у л ыд и ф ф е р е н ц и р о в а н и яд л яф у н к ц и й F(α, β, γ, z) иF(α, γ, z) (215). 5. С о в о к у пн о с т ь р е ш е н и й г и пе р г е о м е т р и ч е с к о г оив ы р о ж д е н н о г ог и пе р г е о м е т р и ч е с к о г оу р а в н е н и я(218). 6. Р е ш е н и яу р а в н е н и яЭ р м и т а(220). §21. О с н о в н ы е с в о йс т в а ф у н к ц и й г и пе р г е о м е т р и ч е с к о г о т и па 221 1. Р а з л о ж е н и яв с т е пе н н ы е р я д ы(221). 2. Ф у н к ц и о н а л ь н ы е с о о т н о ш е н и яиа с и м пт о т и ч е с к и е пр е д с т а в л е н и я(223). 3. О с о б ы е с л у ч а и(231). §22. П р е д с т а в л е н и ер а з л и ч н ы хф у н к ц и й ч е р е зф у н к ц и иг и пе р г е о м е т р и ч е с к о г от и па . . . . . . . . . . . . . . . . 236 1. Не к о т о р ы еэ л е м е н т а р н ы еф у н к ц и и (236). 2. П о л и н о м ы Я к о б и , Ла г е р р аиЭ р м и т а(236). 3. Кл а с с и ч е с к и ео р т о г о н а л ь н ы епо л и н о м ы д и с к р е т н о й пе р е м е н н о й (238). 4. Фу н к ц и ив т о р о г ор о д а (239). 5. Ц и л и н д р и ч е с к и еф у н к ц и и (241). 6. Э л л и пт и ч е с к и еи н т е г р а л ы (242). 7. Фу н к ц и иУ и т т е к е р а(242). §23. О пр е д е л е н н ы еи н т е г р а л ы , с о д е р ж а щи еф у н к ц и иг и пе р г е о м е т р и ч е с к о г от и па . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Г Л А В А V Р Е ШЕ Н И Е Н Е К О Т О Р ЫХ З А ДА Ч МА Т Е МА Т И Ч Е С К О Й ФИ З И К И , К В А Н Т О В О ЙМЕ Х А Н И К ИИВ ЫЧ И С Л И Т Е Л Ь Н О Й МА Т Е МА Т И К И . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 §24. П р и в е д е н и е у р а в н е н и й вч а с т н ы хпр о и з в о д н ы хко б ы к н о в е н н ы м д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м у р а в н е н и я м м е т о д о м р а з д е л е н и япе р е м е н н ы х . . . . . . . . . . . . . . . . 246 1. О б щ а яс х е м ам е т о д а р а з д е л е н и япе р е м е н н ы х(246). 2. П р и м е н е н и е к р и в о л и н е йн ы хс и с т е мк о о р д и н а т (247). 5
§ 25. Кр а е в ы ез а д а ч им а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к и . . . . . . . 250 1. Р е ш е н и ек р а е в ы хз а д а чм е т о д о м р а з д е л е н и япе р е м е н н ы х(250). 2. За д а ч аШт у р м а —Ли у в и л л я . О с н о в н ы ес в о йс т в ас о б с т в е н н ы хз н а ч е н и й ис о б с т в е н н ы хф у н к ц и й (252). 3. О с ц и л л я ц и о н н ы ес в о йс т в а р е ш е н и й з а д а ч иШт у р м а —Ли у в и л л я(254). 4. Р а з л о ж е н и еф у н к ц и й пос о б с т в е н н ы мф у н к ц и я мз а д а ч иШт у р м а —Ли у в и л л я(260). 5. Кр а е в ы ез а д а ч ид л яу р а в н е н и яБе с с е л я(261). 6. Р а з л о ж е н и яДи н ии Фу р ь е —Бе с с е л я . Ин т е г р а лФу р ь е —Бе с с е л я(264). § 26. Р е ш е н и е н е к о т о р ы х о с н о в н ы х з а д а ч к в а н т о в о й м е х а н и к и 266 1. Р е ш е н и еу р а в н е н и яШр е д и н г е р ад л яц е н т р а л ь н о -с и м м е т р и ч н о г о по л я (267). 2. Р е ш е н и еу р а в н е н и я Шр е д и н г е р ад л я к у л о н о в с к о г о по л я(268). 3. Р е ш е н и еу р а в н е н и й Кл е йн а —Го р д о н аиДи р а к ад л я к у л о н о в с к о г опо л я(274). 4. Ко э ф ф и ц и е н т ы Кл е б ш а —Го р д а н аии х с в я з ьспо л и н о м а м иХ а н а(286). 5. 6j-с и м в о л ыВи г н е р аипо л и н о м ы Р а к а(295). § 27. П р и м е н е н и ес пе ц и а л ь н ы хф у н к ц и й вн е к о т о р ы хз а д а ч а хв ы ч и с л и т е л ь н о й м а т е м а т и к и . . . . . . . . . . . 297 1. Кв а д р а т у р н ы еф о р м у л ыт и паГа у с с а(297). 2. П р и м е н е н и е к л а с с и ч е с к и хо р т о г о н а л ь н ы хпо л и н о м о в д и с к р е т н о й пе р е м е н н о й д л яс ж а т и я и н ф о р м а ц и и(304). 3. П р и м е н е н и е м о д и ф и ц и р о в а н н ы хф у н к ц и й Бе с с е л явз а д а ч а хл а з е р н о г оз о н д и р о в а н и я(306). ДО П О Л Н Е Н И Е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 А. Га м м а -ф у н к ц и я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 1. О пр е д е л е н и е ф у н к ц и й Γ(z) иB(u, v) (309). 2. Фу н к ц и о н а л ь н ы е с о о т н о ш е н и я(310). 3. Ло г а р и ф м и ч е с к а япр о и з в о д н а яг а м м а -ф у н к ц и и (313). 4. Ас и м пт о т и ч е с к и епр е д с т а в л е н и я(315). 5. П р и м е р ы (318). Б. Ан а л и т и ч е с к и е с в о йс т в а иа с и м пт о т и ч е с к и е пр е д с т а в л е н и яи н т е г р а л аЛа пл а с а . . . . . . . . . . . . . . . . 318 О С Н О В Н ЫЕФО Р МУ Л Ы . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 1. Га м м а -ф у н к ц и я Γ(z) (325). 2. Ло г а р и ф м и ч е с к а я пр о и з в о д н а я г а м м а -ф у н к ц и иψ (z) (326). 3. О б о б щ е н н о е у р а в н е н и ег и пе р г е о м е т р и ч е с к о г от и па(326). 4. У р а в н е н и ег и пе р г е о м е т р и ч е с к о г от и па(327). 5. П о л и н о м ы г и пе р г е о м е т р и ч е с к о г от и па(328). 6. Не к о т о р ы ео б щ и е с в о йс т в ао р т о г о н а л ь н ы хпо л и н о м о в(329). 7. Кл а с с и ч е с к и ео р т о г о н а л ь н ы епо л и н о м ы (329). 8. С ф е р и ч е с к и еф у н к ц и и(330). 9. Кл а с с и ч е с к и е о р т о г о н а л ь н ы е по л и н о м ы д и с к р е т н о й пе р е м е н н о й (332). 10. Не к о т о р ы ес пе ц и а л ь н ы еф у н к ц и и , р о д с т в е н н ы еф у н к ц и я м в т о р о г ор о д аQ0(z) д л як л а с с и ч е с к и хо р т о г о н а л ь н ы хпо л и н о м о в(332). 11. Ц и л и н д р и ч е с к и еф у н к ц и и(334). 12. Ги пе р г е о м е т р и ч е с к и еф у н к ц и иF(α, β, γ, z) (337). 13. Вы р о ж д е н н ы е г и пе р г е о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и иF(α, γ, z) иG(α, γ, z) (338). 14. Фу н к ц и иЭ р м и т аHν(z) (339). С пи с о кл и т е р а т у р ы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 П р е д м е т н ы й у к а з а т е л ь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 У к а з а т е л ьо с н о в н ы хо б о з н а ч е н и й . . . . . . . . . . . . . . 343
П Р Е ДИ С Л О В И ЕР Е ДА К Т О Р АП Е Р В О Г О И З ДА Н И Я В с в я з ис ши р о к и мр а з в и т и е мч и с л е н н ы х м е т о д о в ив о з р а с т а н и е мр о л и в ы ч и с л и т е л ь н о г о э к с пе р и м е н т а в б о л ь ш о й с т е пе н ипо в ы с и л с яи н т е р е скс пе ц и а л ь н ы мф у н к ц и я м . Э т ос в я з а н осд в у м яо б с т о я т е л ь с т в а м и . Во -пе р в ы х , пр и р а з р а б о т к ем а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и ф и з и ч е с к о г оя в л е н и яд л япо н и м а н и яо с н о в н ы хз а к о н о м е р н о с т е й я в л е н и я и в ы я с н е н и я о т н о с и т е л ь н о й р о л и о т д е л ь н ы х э ф ф е к т о в и с х о д н у юз а д а ч уч а с т опр и х о д и т с яу пр о ща т ьд л ят о г о , ч т о б ым о ж н об ы л опо л у ч и т ьр е ше н и евл е г к оа н а л и з и р у е м о й а н а л и т и ч е с к о й ф о р м е . Во -в т о р ы х , пр ир е ше н и ис л о ж н ы хз а д а чн аЭ ВМ у д о б н о и с по л ь з о в а т ьу пр о ще н н ы ез а д а ч ид л яв ы б о р ан а д е ж н ы хиэ к о н о м и ч н ы хв ы ч и с л и т е л ь н ы х а л г о р и т м о в . О ч е н ь р е д к о пр иэ т о мм о ж н о о г р а н и ч и т ь с яз а д а ч а м и , пр и в о д я щи м икэ л е м е н т а р н ы мф у н к ц и я м . Кр о м е т о г о , з н а н и е с пе ц и а л ь н ы х ф у н к ц и й н е о б х о д и м о д л я по н и м а н и я м н о г и хв а ж н ы хв о пр о с о вт е о р е т и ч е с к о й им а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к и . На и б о л е еу по т р е б и т е л ь н ы м ис пе ц и а л ь н ы м иф у н к ц и я м ия в л я ю т с ят а кн а з ы в а е м ы ес п е ц и а л ь н ы еф у н к ц и им а т е м а т и ч е с к о йф и з и к и : к л а с с и ч е с к и ео р т о г о н а л ь н ы епо л и н о м ы (по л и н о м ы Я к о б и , Ла г е р р аиЭ р м и т а ), с ф е р и ч е с к и е , ц и л и н д р и ч е с к и еиг и пе р г е о м е т р и ч е с к и еф у н к ц и и . Т е о р и иэ т и хф у н к ц и й ии хпр и л о ж е н и я мпо с в я ще нц е л ы й р я дф у н д а м е н т а л ь н ы хи с с л е д о в а н и й. К с о ж а л е н и ю , вэ т и хи с с л е д о в а н и я хи с по л ь з у е т с яд о в о л ь н ог р о м о з д к и й м а т е м а т и ч е с к и й а ппа р а ти м н о ж е с т в ос пе ц и а л ь н ы х пр и е м о в . П о э т о м у д а в н ос у ще с т в у е тпо т р е б н о с т ьвпо с т р о е н и ит е о р и ис пе ц и а л ь н ы х ф у н к ц и й, о с н о в а н н о мн ао д н о й о б ще й ид о с т а т о ч н опр о с т о й и д е е . Ав т о р а мпр е д л а г а е м о й к н и г иу д а л о с ь н а йт иу д о б н ы й д л я и з у ч е н и яс по с о б и з л о ж е н и ят е о р и ис пе ц и а л ь н ы х ф у н к ц и й, о пи р а ю щи йс ян ао б о б ще н и еи з в е с т н о й ф о р м у л ы Р о д р и г ад л як л а с с и ч е с к и х о р т о г о н а л ь н ы х по л и н о м о в . Т а к о й по д х о д по з в о л я е тпо л у ч и т ь в я в н о м в и д еи н т е г р а л ь н ы епр е д с т а в л е н и я д л я в с е хс пе ц и а л ь н ы х ф у н к ц и й м а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к и и в ы в е с т и о с н о в н ы ес в о йс т в а э т и х ф у н к ц и й. В ч а с т н о с т и , спо м о щь ю пр е д л о ж е н н о г о м е т о д а м о ж н он а йт ир е ше н и ят е хл и н е йн ы хд и ф ф е р е н ц и а л ь н ы ху р а в н е н и й в т о р о г опо р я д к а , к о т о р ы е о б ы ч н ор е ша ю т с ям е т о д о мЛа пл а с а . Дл япо с т р о е н и ят е о р и ис пе ц и а л ь н ы хф у н к ц и й пр и м е н я е т с ям и н и м а л ь н ы й м а т е м а т и ч е с к и й а ппа р а т : о т ч и т а т е л ят р е б у е т с яв л а д е н и е л и шьо с н о в н ы м иф а к т а м ит е о р и ио б ы к н о в е н н ы хд и ф ф е р е н ц и а л ь 7
н ы х у р а в н е н и й и т е о р и и ф у н к ц и й к о м пл е к с н о г о пе р е м е н н о г о . Э т он е с о м н е н н о ед о с т о и н с т в ок н и г и , т а кк а ки з в е с т н о , ч т об о л ь шо й о б ъ е м н е о б х о д и м ы хм а т е м а т и ч е с к и хз н а н и й, вт о м ч и с л еи пос пе ц и а л ь н ы мф у н к ц и я м , с о с т а в л я е то с н о в н о епр е пя т с т в и епр и и з у ч е н и ит е о р е т и ч е с к о й им а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к и . В пр о ц е с с ер а б о т ы н а дк н и г о й ч и т а т е л ьпр и о б р е т а е тн а в ы к и по л у ч е н и яа с и м пт о т и ч е с к и хф о р м у л , р а з л о ж е н и й вр я д ы , р е к у р р е н т н ы хс о о т н о ше н и й, р а з л и ч н о г ор о д ао ц е н о к , р а с ч е т н ы хф о р м у л иу ч и т с яв и д е т ьв н у т р е н н и ел о г и ч е с к и ес в я з им е ж д ус о в е р ше н н о р а з л и ч н ы м ин апе р в ы й в з г л я дс пе ц и а л ь н ы м иф у н к ц и я м и . В к н и г е н а м е ч е н ыс в я з и с д р у г и м и р а з д е л а м и м а т е м а т и к и и ф и з и к и . Бо л ь шо ев н и м а н и еу д е л е н ок в а н т о в о м е х а н и ч е с к и мпр и л о ж е н и я м . О с о б ы й и н т е р е с д л яи з у ч а ю щи хк в а н т о в у юм е х а н и к упр е д с т а в л я е т и з л о ж е н и е в о пр о с о вон а х о ж д е н и ид и с к р е т н о г ос пе к т р аэ н е р г и й и с о о т в е т с т в у ю щи хв о л н о в ы хф у н к ц и й д л яз а д а ч , пр и в о д я щи хки с по л ь з о в а н и юк л а с с и ч е с к и х о р т о г о н а л ь н ы х по л и н о м о в . Э т ив о пр о с ы а в т о р а му д а л о с ьи з л о ж и т ь б е з т р а д и ц и о н н о г ои с по л ь а о в а н и яо б о б щ е н н ы х с т е пе н н ы х р я д о в . Бл а г о д а р я э т о м у к р а с и в о и л е г к о р е ш а ю т с я т а к и ев а ж н ы ез а д а ч и к в а н т о в о й м е х а н и к и , к а кз а д а ч аог а р м о н и ч е с к о м о с ц и л л я т о р е , д в и ж е н и еч а с т и ц ы в ц е н т р а л ь н о м по л е , у р а в н е н и яШр е д и н г е р а , Ди р а к аиКл е йн а —Го р д о н ад л як у л о н о в с к о г о по т е н ц и а л а . За с л у ж и в а е т в н и м а н и ят а к ж е и з л о ж е н и е м е т о д а Ве н т ц е л я —Кр а м е р с а —Бр и л л ю э н ан ао с н о в ем е т о д аС т е к л о в а . Дл я с ф е р и ч е с к и х и ц и л и н д р и ч е с к и х ф у н к ц и й р а с с м о т р е н ыт е о р е м ы с л о ж е н и я , ши р о к опр и м е н я е м ы евт е о р и иа т о м н ы хс пе к т р о в , т е о р и ир а с с е я н и я , пр ир а с ч е т а хя д е р н ы хр е а к т о р о в . П р ии з у ч е н и и о б о б ще н н ы хс ф е р и ч е с к и хф у н к ц и й а в т о р ы в пл о т н у ю по д х о д я тк т е о р и ипр е д с т а в л е н и й г р у ппы в р а ще н и й ио б ще й т е о р и им о м е н т а к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я . В д а л ь н е йше мч и т а т е л ь м о ж е т у г л у б и т ь с в о и з н а н и я по с пе ц и а л ь н ы мф у н к ц и я мс по м о щь юк н и г , в к о т о р ы х с пе ц и а л ь н ы е ф у н к ц и и и с с л е д у ю т с я м е т о д а м и т е о р и и г р у пп. Дл я з а н и м а ю щ и х с я т е о р и е й р а з н о с т н ы х м е т о д о в пр е д с т а в я т и н т е р е с к л а с с и ч е с к и е о р т о г о н а л ь н ы е по л и н о м ыд и с к р е т н о й пе р е м е н н о й. Ст о ч к из р е н и я пр и б л и ж е н н ы х в ы ч и с л е н и й по у ч и т е л ь н о пр и м е н е н и е к в а д р а т у р н ы х ф о р м у л т и па Га у с с а д л я в ы ч и с л е н и яс у м ми по с т р о е н и япр и б л и ж е н н ы х ф о р м у л д л я с пе ц и а л ь н ы х ф у н к ц и й. За м е т и м , ч т о м н о г и е с у щ е с т в е н н ы е д л япр и л о ж е н и й в о пр о с ы , и з л а г а е м ы е вк н и г е , л и б ос л а б о о с в е ща ю т с я , л и б ос о в с е мн ез а т р а г и в а ю т с яву ч е б н о й л и т е р а т у р е . Кн и г ан а пи с а н ас пе ц и а л и с т а м и пом а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к еи к в а н т о в о й м е х а н и к е . О н ав о з н и к л авпр о ц е с с ер а б о т ыа в т о р о вн а д а к т у а л ь н о й пр о б л е м о й ф и з и к и пл а з м ы вИн с т и т у т епр и к л а д н о й м а т е м а т и к ии м . М. В. Ке л д ы шаАН С С С Р . В к н и г ес о д е р ж и т с яо ч е н ьб о л ь шо й м а т е р и а л , я с н оипо с л е д о в а т е л ь н ои з л о ж е н н ы й вм а л о м о б ъ е м е . Не с о м н е н н о , ч т опр е д л а г а е м а як н и г ао к а ж е т с япо л е з н о й ши р о к о м ук р у г уч и т а т е л е й. Ак а д е м и кА . А . С а м а р с к и й 8
П Р Е ДИ С Л О В И ЕК О В Т О Р О МУИ З ДА Н И Ю Р е ше н и ем н о г и хз а д а чт е о р е т и ч е с к о й им а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к и , с в я з а н н ы х , н а пр и м е р , си з у ч е н и е мпр о ц е с с о вт е пл о пр о в о д н о с т и и в з а и м о д е йс т в и я и з л у ч е н и я св е ще с т в о м , р а с пр о с т р а н е н и я э л е к т р о м а г н и т н ы хиз в у к о в ы хв о л н , с р а з р а б о т к о й т е о р и ия д е р н ы х р е а к т о р о вив н у т р е н н е г ос т р о е н и яз в е з д , пр и в о д и тки с по л ь з о в а н и ю р а з л и ч н ы хс пе ц и а л ь н ы хф у н к ц и й. Т а кк а кн апр а к т и к е с пе ц и а л ь н ы е ф у н к ц и ио б ы ч н ов о з н и к а ю т к а кр е ше н и ян е к о т о р ы хд и ф ф е р е н ц и а л ь н ы ху р а в н е н и й, т ос т о ч к и з р е н и ям а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к ие с т е с т в е н н ы мя в л я е т с ят а к о й по д х о д , пр и к о т о р о мв с е с в о йс т в а с пе ц и а л ь н ы х ф у н к ц и й в ы в о д и л и с ь б ы н е по с р е д с т в е н н ои зд и ф ф е р е н ц и а л ь н ы ху р а в н е н и й, в о з н и к а ю щи х пр и м а т е м а т и ч е с к о й по с т а н о в к е з а д а ч и . В с о о т в е т с т в и и с э т и м а в т о р а м и б ы лр а з р а б о т а нм е т о д , по з в о л я ю щи й и з л о ж и т ьт е о р и ю с пе ц и а л ь н ы хф у н к ц и й, и с х о д яи з д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г оу р а в н е н и яв и д а u+ e τ(z) σ(z) u+ e σ(z) σ2(z) u=0, (1) г д е σ(z), e σ(z) — по л и н о м ын е в ы ше в т о р о й с т е пе н и , e τ(z) — по л и н о мн е в ы ше пе р в о й с т е пе н и . У р а в н е н и е (1) с о д е р ж и т к а кч а с т н ы е с л у ч а и д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы еу р а в н е н и я , пр и в о д я щи ек с пе ц и а л ь н ы мф у н к ц и я мвм а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к еик в а н т о в о й м е х а н и к е . Кн и г а по с т р о е н а по с л е д у ю ще м у пл а н у . В г л . I р а с с м о т р е нк л а с с пр е о б р а з о в а н и й u=(z)y, в р е з у л ь т а т е к о т о р ы х с по м о щ ь юс пе ц и а л ь н о г о в ы б о р а ф у н к ц и и (z) у р а в н е н и е (1) пр е о б р а з у е т с я в у р а в н е н и е т о г о ж е т и па . С р е д ит а к и х пр е о б р а з о в а н и й в ы б и р а ю т с япр е о б р а з о в а н и я , пе р е в о д я щи еу р а в н е н и е(1) ву р а в н е н и еб о л е епр о с т о г ов и д а σ(z)y+τ(z)y+λy=0, (2) г д еτ(z) — по л и н о м н ев ы шепе р в о й с т е пе н и , λ — по с т о я н н а я . Бу д е мн а з ы в а т ьу р а в н е н и е (2) у р а в н е н и е мг и п е р г е о м е т р и ч е с к о г от и п а , ае г ор е ше н и я— ф у н к ц и я м иг и п е р г е о м е т р и ч е с к о г от и п а . Т е о р и яэ т и хф у н к ц и й с т р о и т с явс л е д у ю ще й по с л е д о в а т е л ь н о с т и . 9
С н а ч а л ад о к а з ы в а е т с я , ч т опр о и з в о д н ы еф у н к ц и й г и пе р г е о м е т р и ч е с к о г от и пат а к ж ея в л я ю т с я ф у н к ц и я м и г и пе р г е о м е т р и ч е с к о г о т и па . Э т о с в о йс т в о по з в о л я е тпо с т р о и т ь с е м е йс т в о ч а с т н ы х р е ше н и й у р а в н е н и я(2), с о о т в е т с т в у ю щи хо пр е д е л е н н ы мз н а ч е н и я м λ, и с х о д я и з о ч е в и д н о г о р е ше н и я у р а в н е н и я (2): y(z)=const пр и λ=0, Т а к и е р е ше н и я я в л я ю т с я по л и н о м а м и о т н о с и т е л ь н о пе р е м е н н о й z. Ес т е с т в е н н о ео б о б ще н и еи н т е г р а л ь н о г опр е д с т а в л е н и яд л яэ т и хпо л и н о м о вд а е тв о з м о ж н о с т ьв ы в е с т ии н т е г р а л ь н о е пр е д с т а в л е н и ед л я пр о и з в о л ь н ы х ф у н к ц и й г и пе р г е о м е т р и ч е с к о г от и па , с о о т в е т с т в у ю щи хл ю б ы мз н а ч е н и я мλ. Спо м о щь ю э т о г о и н т е г р а л ь н о г опр е д с т а в л е н и яипр е о б р а з о в а н и й у р а в н е н и я(2) в у р а в н е н и ят о г ож ев и д ам о г у т б ы т ьпо л у ч е н ы в с ео с н о в н ы ес в о йс т в ар а с с м а т р и в а е м ы хф у н к ц и й: р а з л о ж е н и явс т е пе н н ы ер я д ы , а с и м пт о т и ч е с к и е пр е д с т а в л е н и я , р е к у р р е н т н ы е иф у н к ц и о н а л ь н ы е с о о т н о ше н и я . Р а з в и т а ят е о р и япо з в о л я е тн а х о д и т ьпо л н у ю с о в о к у пн о с т ьр е ше н и й у р а в н е н и я(1). Т а к и мо б р а з о м , по с л еи з у ч е н и яг л . I ч и т а т е л ьпо л у ч а е тд о с т а т о ч н опо л н о епр е д с т а в л е н и еот е о р и ис пе ц и а л ь н ы хф у н к ц и й. Гл а в ы II—IV по с в я ще н ы р е а л и з а ц и ин а м е ч е н н о й пр о г р а м м ы д л як о н к р е т н ы хф у н к ц и й г и пе р г е о м е т р и ч е с к о г от и па— к л а с с и ч е с к и хо р т о г о н а л ь н ы хпо л и н о м о в , с ф е р и ч е с к и х , ц и л и н д р и ч е с к и хи г и пе р г е о м е т р и ч е с к и хф у н к ц и й. Э т иг л а в ы м о ж н оч и т а т ьвпр о и з в о л ь н о мпо р я д к епо с л еи з у ч е н и яг л . I. Т е о р и як л а с с и ч е с к и хо р т о г о н а л ь н ы хпо л и н о м о ви з л а г а е т с яв г л . II. Э т ипо л и н о м ы я в л я ю т с ян а и б о л е епр о с т ы м ис пе ц и а л ь н ы м и ф у н к ц и я м и . В т ож ев р е м я , о пи р а я с ьн аф о р м у л уР о д р и г а д л як л а с с и ч е с к и хо р т о г о н а л ь н ы хпо л и н о м о в , л е г к опр и йт ики н т е г р а л ь н ы м пр е д с т а в л е н и я м д л я д р у г и х с пе ц и а л ь н ы х ф у н к ц и й м а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к и , н а пр и м е рд л яф у н к ц и й Бе с с е л я(г л . III) иг и пе р г е о м е т р и ч е с к и хф у н к ц и й (г л . IV). Ло г и ч е с к а яс х е м апо с т р о е н и ят е о р и ик л а с с и ч е с к и хо р т о г о н а л ь н ы хпо л и н о м о ве с т е с т в е н н ы мо б р а з о мпе р е н о с и т с ян ас л у ч а й, к о г д а д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е з а м е н я е т с яр а з н о с т н ы м . П р ит а к о мо б о б ще н и ив о з н и к а ю т к л а с с и ч е с к и е о р т о г о н а л ь н ы е по л и н о м ы д и с к р е т н о й пе р е м е н н о й, т е о р и як о т о р ы хр а с с м о т р е н ав§ §12, 13. Гл а в а V по с в я ще н а пр и л о ж е н и я м . С л е д у е то т м е т и т ь , ч т о в к н и г ер а с с м о т р е н ы пр а к т и ч е с к и в с ео с н о в н ы ез а д а ч и к в а н т о в о й м е х а н и к и , д о пу с к а ю щи ер е ше н и евя в н о й ф о р м е , и по с т р о е н и е э т и х р е ше н и й пр о в е д е н о е д и н ы м м е т о д о м . Дл я ф и з и к о вм о ж е т пр е д с т а в и т ьи н т е р е ср а с с м о т р е н н а явк н и г еу д и в и т е л ь н опр о с т а я с в я з ьши р о к ои с по л ь з у е м ы хвк в а н т о в о й м е х а н и к ек о э ф ф и ц и е н 10
т о вКл е б ша —Г ´ о р д а н асо р т о г о н а л ь н ы м ипо л и н о м а м ид и с к р е т н о й пе р е м е н н о й — по л и н о м а м иХ´ а н а , ат а к ж ес в я з ьк о э ф ф и ц и е н т о в Р а к ´ аск л а с с и ч е с к и м и о р т о г о н а л ь н ы м и по л и н о м а м и д и с к р е т н о й пе р е м е н н о й н ак в а д р а т и ч н о й с е т к е . Т а к к а к з н а к о м с т в о с о с в о йс т в а м и г а м м а -ф у н к ц и и Э йл е р а я в л я е т с ян е о б х о д и м о й пр е д по с ы л к о й д л яи з у ч е н и яс пе ц и а л ь н ы х ф у н к ц и й, т овДо по л н е н и и , по м е ще н н о м вк о н ц ек н и г и , д а е т с я т е о р и я г а м м а -ф у н к ц и и . Зд е с ьж еи з л а г а ю т с я с в о йс т в аи н т е г р а л аЛа пл а с а , к о т о р ы е и с по л ь з у ю т с япр ипо л у ч е н и иа н а л и т и ч е с к о г о в ы р а ж е н и я и а с и м пт о т и ч е с к и х пр е д с т а в л е н и й д л я с пе ц и а л ь н ы х ф у н к ц и й. В к о н ц ек н и г ипр и в е д е н ыт а к ж ео с н о в н ы еф о р м у л ы . Бо л е е по д р о б н у юи н ф о р м а ц и юо с т р о е н и и к н и г и м о ж н о по л у ч и т ь , и с по л ь з у я о г л а в л е н и е ипр и в е д е н н у юн и ж е с х е м у з а в и с и м о с т и г л а в : I II III IV V О с н о в н о й м а т е р и а лк н и г ии з л а г а л с явк у р с ел е к ц и й пом е т о д а м м а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к и , ч и т а в ше м с явт е ч е н и ер я д ал е тн а ф а к у л ь т е т ет е о р е т и ч е с к о й иэ к с пе р и м е н т а л ь н о й ф и з и к иМо с к о в с к о г ои н ж е н е р н о -ф и з и ч е с к о г ои н с т и т у т а , ат а к ж е вс пе ц к у р с а хн а ф и з и ч е с к о м , х и м и ч е с к о мф а к у л ь т е т а хиф а к у л ь т е т ев ы ч и с л и т е л ь н о й м а т е м а т и к иик и б е р н е т и к иМГУ . Во в т о р о ми з д а н и иу д а л о с ь у л у ч ши т ь р я д д о к а з а т е л ь с т в , в ч а с т н о с т и , д а т ьн о в о ед о к а з а т е л ь с т в оо с н о в н о й т е о р е м ы , н ак о т о р у ю о пи р а е т с яв с е с о д е р ж а н и е к н и г и . Не к о т о р ы е па р а г р а ф ын а пи с а н ы пр о ще , спр и в л е ч е н и е м н о в о г ом а т е р и а л а . Впе р в ы евл и т е р а т у р е д а н ои з л о ж е н и ет е о р и и к л а с с и ч е с к и хо р т о г о н а л ь н ы хпо л и н о м о в д и с к р е т н о й пе р е м е н н о й н ар а в н о м е р н ы хин е р а в н о м е р н ы хс е т к а х , р а с с м о т р е н ы и хпр и л о ж е н и явф и з и к е . Ав т о р ыг л у б о к о б л а г о д а р н ыа к а д е м и к уА. А. С а м а р с к о м у , в з я в ше м у н а с е б я т р у д по р е д а к т и р о в а н и юпе р в о г о и з д а н и я к н и г и , з а е г о по с т о я н н о е в н и м а н и е и б о л ь ш у юпо м о щ ь в р а б о т е н а д к н и г о й. Ав т о р ыб л а г о д а р н ыТ . Т . Ц и р у л и с у , В. Я . Ар с е н и н у , Б. Л. Р о ж д е с т в е н с к о м у , с о т р у д н и к а мк а ф е д р ыт е о р е т и ч е с к о й ия д е р н о й ф и з и к иМИФИ, а т а к ж е С . К. С у с л о в у з а по л е з н ы е з а м е ч а н и я по с о д е р ж а н и юк н и г и . А . Ф . Н и к и ф о р о в , В . Б . У в а р о в . 11
Г Л А В А I О С Н О В Ы Т Е О Р И И С П Е Ц И А Л Ь Н ЫХ ФУ Н К Ц И Й § 1. Ди ф ф е р е н ц и а л ь н о еу р а в н е н и ед л яс п е ц и а л ь н ы хф у н к ц и й Мн о г и ев а ж н ы ез а д а ч ит е о р е т и ч е с к о й им а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к ипр и в о д я т кд и ф ф е р е н ц и а л ь н о м уу р а в н е н и ю u+ e τ(z) σ(z) u+ e σ(z) σ2(z) u=0, (1) г д еσ(z), e σ(z) — по л и н о м ы н е в ы шев т о р о й с т е пе н и , e τ(z) — по л и н о мн ев ы шепе р в о й с т е пе н и . У р а в н е н и ят а к о г ов и д ав о з н и к а ю т , н а пр и м е р , пр ир е ше н и иу р а в н е н и й Ла пл а с аиГе л ь м г о л ь ц а вр а з л и ч н ы хк р и в о л и н е йн ы хс и с т е м а хк о о р д и н а тм е т о д о м р а з д е л е н и япе р е м е н н ы х , пр ир а с с м о т р е н и ио с н о в н ы хз а д а чк в а н т о в о й м е х а н и к и : д в и ж е н и еч а с т и ц ы вс ф е р и ч е с к и -с и м м е т р и ч н о м по л е , г а р м о н и ч е с к и й о с ц и л л я т о р , р е ше н и еу р а в н е н и й Шр е д и н г е р а , Ди р а к аиКл е йн а —Го р д о н ад л як у л о н о в с к о г опо т е н ц и а л а , д в и ж е н и е ч а с т и ц ы во д н о р о д н о м э л е к т р и ч е с к о м и м а г н и т н о м по л е . Кр о м е т о г о , ку р а в н е н и ю (1) пр и в о д я тт а к ж ем н о г и ем о д е л ь н ы ез а д а ч и а т о м н о й, м о л е к у л я р н о й ия д е р н о й ф и з и к и . Ч а с т н ы м ир е ше н и я м и у р а в н е н и й в и д а(1) я в л я ю т с яс л е д у ю щи е к л а с с ыс пе ц и а л ь н ы хф у н к ц и й — к л а с с и ч е с к и е о р т о г о н а л ь н ы е по л и н о м ы(по л и н о м ыЯ к о б и , Ла г е р р а иЭ р м и т а ), с ф е р и ч е с к и е , ц и л и н д р и ч е с к и е иг и пе р г е о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и . Э т иф у н к ц и ич а с т о н а з ы в а ю т с п е ц и а л ь н ы м иф у н к ц и я м им а т е м а т и ч е с к о йф и з и к и . Вс ю д увд а л ь н е йше мб у д е мпр е д по л а г а т ь , ч т опе р е м е н н а яz и к о э ф ф и ц и е н т ыпо л и н о м о вσ(z), e σ(z), e τ(z) м о г у т пр и н и м а т ьл ю б ы е в е ще с т в е н н ы еи л ик о м пл е к с н ы ез н а ч е н и я . П о пы т а е м с яспо м о щь ю з а м е н ы u=(z)y пр и в е с т иу р а в н е н и е (1) кб о л е епр о с т о м ув и д упу т е м с пе ц и а л ь н о г ов ы б о р аф у н к ц и и (z). Им е е м y+ 2 + e τ σ y+ + e τ σ + e σ σ2 y=0. (2) 12
Дл ят о г оч т о б ыу р а в н е н и е (2) н е б ы л об о л е е с л о ж н ы м , ч е ми с х о д н о еу р а в н е н и е(1), е с т е с т в е н н опо т р е б о в а т ь , ч т о б ы к о э ф ф и ц и е н т пр иyи м е лв и дτ(z)/ σ(z), г д еτ(z) — н е к о т о р ы й по л и н о мн ев ы шепе р в о й с т е пе н и . Т о г д ад л яф у н к ц и и(z) по л у ч и му р а в н е н и е / =π(z)/ σ(z), (3) г д е π(z)=[τ(z)−e τ(z)]/ 2 (4) е с т ьпо л и н о мн ев ы ше пе р в о й с т е пе н и . Т а кк а к = + 2 = π σ + π σ 2 , т оу р а в н е н и е(2) пр и н и м а е т в и д y+ τ(z) σ(z) y+ e σ(z) σ2(z) y=0, (5) г д е τ(z)=e τ(z)+2π(z), (6) σ(z)= e σ(z)+π2(z)+π(z)[e τ(z)−σ(z)]+π(z)σ(z). (7) Фу н к ц и и τ(z) и σ(z) я в л я ю т с я по л и н о м а м и с о о т в е т с т в е н н о н е в ы шепе р в о й ив т о р о й с т е пе н и . П о э т о м уу р а в н е н и е(5) я в л я е т с я у р а в н е н и е м т о г ож ет и па , ч т оиу р а в н е н и е(1). Т а к и м о б р а з о м , м ын а шл ик л а с с пр е о б р а з о в а н и й, н е м е н я ю щи хт и п у р а в н е н и я , — э т опр е о б р а з о в а н и яу р а в н е н и я(1) спо м о щь ю з а м е н ы u=(z)y, г д еф у н к ц и я(z) у д о в л е т в о р я е т у р а в н е н и ю (3), вк о т о р о мπ(z) — пр о и з в о л ь н ы й по л и н о мпе р в о й с т е пе н и . Во с по л ь з у е м с я пр о и з в о л о м вв ы б о р епо л и н о м аπ(z) д л я т о г о , ч т о б ы с р е д и в с е х в о з м о ж н ы хв и д о ву р а в н е н и я (5) в ы б р а т ь н а и б о л е епр о с т о й иу д о б н ы й д л яи с с л е д о в а н и яс в о йс т вр е ше н и й. Вы б е р е мк о э ф ф и ц и е н т ы по л и н о м аπ(z) и зу с л о в и я , ч т о б ы в х о д я щи й в(5) по л и н о мσ(z) д е л и л с яб е з о с т а т к ан аσ(z), т . е . σ(z)=λσ(z), (8) г д е λ — по с т о я н н а я . Э т ов о з м о ж н о , т а кк а к , пр и р а в н и в а як о э ф ф и ц и е н т ы пр ир а з л и ч н ы хс т е пе н я хz во б е и хч а с т я хр а в е н с т в а(8), м ы по л у ч а е м т р иу р а в н е н и яо т н о с и т е л ь н от р е хн е и з в е с т н ы хпо с т о я н н ы х— по с т о я н н о й λ ид в у хк о э ф ф и ц и е н т о впо л и н о м аπ(z). В р е з у л ь т а т еу р а в н е н и е(5) б у д е т и м е т ьв и д σ(z)y+τ(z)y+λy=0. (9) 13
Бу д е мн а з ы в а т ьу р а в н е н и е (9) у р а в н е н и е мг и п е р г е о м е т р и ч е с к о г о т и п а , ае г ор е ше н и я— ф у н к ц и я м иг и п е р г е о м е т р и ч е с к о г от и п а . В с о о т в е т с т в и ис э т и му р а в н е н и е (1) е с т е с т в е н н он а з в а т ьо б о б щ е н н ы му р а в н е н и е мг и п е р г е о м е т р и ч е с к о г от и п а *). Дл яо пр е д е л е н и я по л и н о м аπ(z) и по с т о я н н о й λ пе р е пи ше м у с л о в и е(8) вв и д е π2+(e τ−σ)π+σ−kσ=0, г д е k=λ−π(z), (10) Ес л ис ч и т а т ьпо с т о я н н у ю k и з в е с т н о й, т овр е з у л ь т а т ер е ше н и я к в а д р а т н о г оу р а в н е н и яд л яπ(z) по л у ч и м π(z)= σ−e τ 2 ± uσ−e τ 2 2 − e σ+kσ. (11) Т а кк а кπ(z) — по л и н о м , т опо д к о р е н н о ев ы р а ж е н и ед о л ж н о пр е д с т а в л я т ь с явв и д е к в а д р а т ан е к о т о р о г опо л и н о м а . Э т ов о з м о ж н ол и шьвс л у ч а е , к о г д ад и с к р и м и н а н тпо л и н о м ав т о р о й с т е пе н и , с т о я ще г опо дк о р н е м , р а в е н пу л ю . Изэ т о г оу с л о в и я по л у ч а е м у р а в н е н и ед л япо с т о я н н о й k, в о о б щег о в о р я , к в а д р а т н о е . П о с л ео пр е д е л е н и яk н а х о д и м π(z) поф о р м у л е(11), аз а т е м (z), τ(z), λ с по м о щь ю(3), (6), (10). О ч е в и д н о , ч т о с в е д е н и е у р а в н е н и я(1) ку р а в н е н и ю(9) м о ж е т б ы т ь о с у ще с т в л е н он е с к о л ь к и м и с по с о б а м ивс о о т в е т с т в и исв ы б о р о м р а з л и ч н ы хз н а ч е н и й по с т о я н н о й k ив ы б о р о м р а з л и ч н ы хз н а к о ввф о р м у л е(11) д л яπ(z). Р а с с м о т р е н н о епр е о б р а з о в а н и епо з в о л я е тв м е с т ои з у ч е н и яи с х о д н о г о у р а в н е н и я (1) о г р а н и ч и т ь с я и з у ч е н и е м б о л е епр о с т о г о у р а в н е н и я(9). Пр и ме р . П р и в е д е мкв и д у(9) у р а в н е н и еБе с с е л я z2u+zu+(z2−ν2)u=0 спо м о щь ю з а м е н ы u=(z)y. У р а в н е н и еБе с с е л яя в л я е т с яч а с т н ы м с л у ч а е м у р а в н е н и я (1) пр и σ(z)=z, e τ(z)=1, e σ(z)=z2−ν2. *) Ес л иσ(z) — по л и н о м в т о р о й с т е пе н и , т оу р а в н е н и е(1) я в л я е т с яч а с т н ы м с л у ч а е м у р а в н е н и я Р и м а н аст р е м я р а з л и ч н ы м и о с о б ы м и т о ч к а м и , к о г д ао д н а и зо с о б ы хт о ч е кл е ж и тн аб е с к о н е ч н о с т и . У р а в н е н и еР и м а н аи з у ч а е т с явк у р с а х поа н а л и т и ч е с к о й т е о р и и д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы ху р а в н е н и й (с м . [18, 19], ат а к ж е к н и г и : Г олуб е в В. В. Ле к ц и и поа н а л и т и ч е с к о й т е о р и и о б ы к н о в е н н ы х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й. — М.—Л.: Го с т е х и з д а т , 1941; А й нс Э . Л. О б ы к н о в е н н ы ед и ф ф е р е н ц и а л ь н ы еу р а в н е н и я . — Х а р ь к о в , 1939). 14
Доступ онлайн
В корзину