Структуры и хаос в нелинейных средах

Ахромеева Т.С.
Курдюмов С.П.
Малинецкий Г.Г.
Самарский А.А.

Структуры и

хаос в

нелинейных средах

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517.9, 519.6
ББК 22.161, 22.19
Н 56

А х р о м е е в а Т. С., Ку рд ю м о в С. П., М а л и н е цк и й Г. Г., С а м а рс к и й А. А. Структуры и хаос в нелинейных средах. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2007. — 488 с. — ISBN 978-5-9221-0887-4.

В книге дано достаточно полное и аккуратное обсуждение основных подходов к исследованию диссипативных структур, автоволновых процессов и
диффузионного хаоса в большом классе различных нелинейных сред. Акцент
сделан на классических результатах, полученных в ИПМ им. М. В. Келдыша
РАН в научных школах академика А. А. Самарского и чл.-корр. РАН С. П. Курдюмова, — на теории режимов с обострением и на теории диффузионного
хаоса.
Специалистам по математической физике, прикладной математике и нелинейной динамике, а также преподавателям, аспирантам, студентам.

ISBN 978-5-9221-0887-4

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2007

c⃝ Т. С. Ахромеева, С. П. Курдюмов,
Г. Г. Малинецкий, А. А. Самарский, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ко второму изданию . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Г л а в а 1.
Самоорганизация и стационарные диссипативные структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
13
1.1. Диссипативные структуры и моделирование морфогенеза . .. . . . . .
13
1.2. Самоорганизация . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

Г л а в а 2.
Cложная пространственная упорядоченность в нестационарных процессах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.1. Модель тепловых структур . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
27
2.2. Диссипативные структуры в средах с триггерными свойствами . .. .
49

Г л а в а 3.
Иерархия упрощенных моделей. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.1. Универсальное описание в окрестности термодинамической ветви
58
3.2. Иерархия упрощенных моделей для уравнения Курамото–Цузуки
68
3.3. Другие направления исследований . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

Г л а в а 4.
Одномерные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
4.1. Переход к хаосу. Сценарий Фейгенбаума . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.2. Перемежаемость . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.3. Аттракторы одномерных отoбражений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.4. Метастабильный хаос, кризисы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.5. Систематика циклов. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105

Г л а в а 5.
Двумерные отображения и диссипативные системы . . . .
110
5.1. Характеристики хаотических режимов. Гиперболичность . .. . . . . .
111
5.2. Разрушение инвариантных торов. Сценарий Рюэля–Такенса . .. . . .
123

Г л а в а 6.
Количественные характеристики хаоса . . . . . . . . . . . . .
139
6.1. Фракталы и сложная упорядоченность . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
6.2. Размерности странных аттракторов. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147

Оглавление

6.3. Обобщенные
размерности,
α-спектр
и
другие
характеристики
странных аттракторов. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
6.4. Определение фрактальной размерности по результатам измерений
174
6.5. Определение ляпуновских показателей по экспериментальным данным . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
6.6. О методах построения ζ-векторов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
6.7. Экспериментальное исследование маломодового хаоса . .. . . . . . . .
186
6.8. О задачах прогноза поведения хаотических систем . .. . . . . . . . . .
202

Г л а в а 7.
Переход к хаосу и дифференциальные уравнения. . . . . .
204
7.1. Система Лоренца. Гомоклинический взрыв. .. . . . . . . . . . . . . . . .
207
7.2. Усложнение аттракторов в двухмодовой системе . .. . . . . . . . . . . .
214
7.3. Странный аттрактор в динамической системе (3.15) . .. . . . . . . . .
221
7.4. Странные аттракторы в системах более высокой размерности . .. . .
237

Г л а в а 8.
От конечномерных систем к нелинейным средам . . . . . .
249
8.1. Простейшие автомодельные решения и простые циклы. .. . . . . . . .
250
8.2. Другие автомодельные и пространственно-симметричные решения
254
8.3. Пространственно-временная упорядоченность, неимеющая аналога
в двухмодовой системе. Задача построения полного набора автомодельных решений. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
256

Г л а в а 9.
Диффузионный хаос и другие стохастические режимы в
нелинейных диссипативных средах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
264
9.1. Диффузионный хаос в малых областях . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
265
9.2. Хаотические режимы в нелинейных средах и уравнение Курамото–Сивашинского . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
9.3. Хаос в системах с переносом . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
280
9.4. Маломодовый хаос в двух гидродинамических задачах . .. . . . . . .
282
9.5. Пространственно-временной хаос в системах, близких к интегрируемым . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
288
9.6. Априорные оценки размерности аттракторов. .. . . . . . . . . . . . . . .
291
9.7. Хаотические режимы в нелинейных средах. Альтернативные подходы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
306

Г л а в а 10.
Простейшие типы упорядоченности в двумерных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
315
10.1. Упрощенная конечномерная система . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
316
10.2. Потеря устойчивости пространственно-однородного решения. .. . . .
320
10.3. Усложнение решений задачи в частных производных . .. . . . . . . . .
326
10.4. Спиральные волны в системах реакция–диффузия. .. . . . . . .. . . . .
337
10.5. Спиральные волны в некоторых возбудимых средах. .. . . . . . . . . .
345

Оглавление
5

Г л а в а 11.
Новые направления теории диссипативных структур . .
359
11.1. Сложные упорядоченные и стохастические режимы в дискретных
системах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
359
11.2. Сложная упорядоченность и хаос в пространственно-неоднородных
системах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
377

Список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
383
Дополнительный список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
405

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
407

Приложение 1. Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Пролог. Синергетика
и системный синтез . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
407

Приложение 2. Малинецкий Г. Г., Курдюмов С. П. Нелинейная динамика
и проблемы прогноза . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
425

Приложение 3. Малинецкий Г. Г., Подлазов А. В., Кузнецов И. В.
О национальной системе научного мониторинга . .. . . . . . . . . . . . .
452

Предисловие ко второму изданию

Книга в момент ее появления в 1992 г. представляла собой монографию, адресованную специалистам по математической физике, прикладной математике и нелинейной динамике. В ней было дано достаточно
полное и аккуратное обсуждение основных подходов к исследованию
диссипативных структур, автоволновых процессов и диффузионного
хаоса в большом классе различных нелинейных сред. При этом акцент был сделан на классическиe результаты, полученныe в последние
десятилетия в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша
РАН в научных школах академика А. А. Самарского и член-корр. РАН
С. П. Курдюмова, и высоко оцениваемых в мировом научном сообществе — на теории режимов с обострением и на теории диффузионного хаоса.
Книга стала весьма популярной и превратилась в библиографическую редкость. Оказалось, что она широко используется не только
исследователями, работающими в этой области, но и преподавателями,
аспирантами и студентами-старшекурсниками. С начала 90-х годов
развитие нелинейной динамики и теории самоорганизации во многом
шло за счет роста числа приложений, в ходе которого фундамент
проводимых исследований, которому и посвящена настоящая книга,
менялся мало. Поэтому книга не утратила актуальности, а приход
нового поколения исследователей в нелинейную динамику делает планируемое издание важным, полезным и своевременным.
В книге представлен в качестве приложений обзор нынешнего состояния этой области, а также обсуждение приложений нелинейной
динамики в области управления риском. Приложения докладывались
С. П. Курдюмовым и Г. Г. Малинецким на заседании Президиума РАН
и стали основой для развернувшихся в настоящее время работ по
созданию системы научного мониторинга опасных явлений и процессов
в природной, социальной и техногенной сферах.

Москва, 2006 г.
Г. Г. Малинецкий

Введение

В последние десятилетия большой интерес вызывает изучение нелинейных диссипативных сред. При исследовании таких сред было замечено, что в них часто происходит уменьшение числа степеней свободы, эффективно описывающих систему. В некоторых случаях удается
выделить несколько степеней свободы, к которым подстраиваются все
остальные. Они определяют динамику процессов и поэтому часто называются параметрами порядка. Факт их существования очень важен.
При изучении диссипативных систем он позволяет надеяться на их
упрощенное описание или же на построение целой иерархии упрощенных моделей. Можно ожидать, что на таком пути будет достигнуто
понимание многих сложных нелинейных явлений.
В связи с этим особое значение приобретает исследование простейших нелинейных моделей (часто их называют базовыми), которые возникают в различных областях естествознания. Такой подход
уже позволил выяснить ряд глубоких общих закономерностей, привел
к появлению новых идей и понятий (таких, как солитоны, странные
аттракторы, диссипативные структуры), помог обнаружить ряд новых
явлений.
Уменьшение числа степеней свободы означает, что в системе происходит самоорганизация. Другими словами, у нее появляются свойства,
которыми не обладает ни одна из подсистем. У целого появляются
свойства, которыми не обладают части.
Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, теорию самоорганизации
часто называют синергетикой. (Дословно — теорией совместного
действия.) Этот термин ввел Г. Хакен [193]. Он поясняет его следующим образом: «Я назвал новую дисциплину синергетикой. В ней
исследуется совместное действие многих подсистем (преимущественно
одинаковых или нескольких различных видов), в результате которого
на макроскопическом уровне возникает структура и соответствующее
функционирование. С другой стороны, для нахождения общих принципов, управляющих самоорганизующимися системами, необходимо
кооперирование многих различных дисциплин».
Возникновение структур, тесно связанных с диссипативными процессами (или, как их называют, диссипативных структур), оказалось общим свойством самых разных нелинейных систем. Сам
термин «диссипативная структура» был введен бельгийским ученым
И. Пригожиным. Работы ученых брюссельской школы, которую он
возглавляет, помогли установить связь между возникновением структур, феноменологическими моделями и представлениями неравновесной термодинамики. Они сыграли большую роль как в теоретическом,

Введение

так и в экспериментальном изучении упорядоченности в открытых
системах.
Вот как характеризуют Г. Николис и И. Пригожин новое понятие,
появившееся в естественных науках: «...как удаленность от равновесия, так и нелинейность могут служить причиной возникновения
упорядоченности в системе. Между упорядоченностью, устойчивостью
и диссипацией возникает в высшей степени нетривиальная связь.
Чтобы четче выделить эту связь, мы будем называть упорядоченные
конфигурации, появляющиеся вне области устойчивости термодинамической ветви, диссипативными структурами... Такие структуры могут
существовать вдали от равновесия лишь за счет достаточно большого
потока энергии и вещества... Диссипативные структуры являют собой
поразительный пример, демонстрирующий способность неравновесности служить источником упорядоченности» [151].
Возникновение упорядоченности в открытых нелинейных системах
на первый взгляд кажется парадоксальным. В равновесных системах
диссипативные процессы уничтожают любую упорядоченность — устанавливается термодинамическое равновесие. В нелинейных открытых
системах диссипация выступает в совершенно ином качестве. Ее совместное действие с другими процессами приводит к возникновению
структур, она влияет на их тип, форму, размеры.
При изучении открытых нелинейных систем в последние годы был
получен ряд важных результатов. Анализ сравнительно простых математических моделей, таких, как системы «реакция–диффузия», уравнения Лоренца, одномерные отображения (xn+1 = f(xn, λ)), стал источником новых идей, привел к разработке ряда математических теорий.
Разумеется, использование упрощенных моделей, идей и представлений синергетики не должно подменять глубокого анализа конкретной
ситуации. Однако эти представления могут определить направление
исследований, что во многих случаях оказывается очень важным. Об
этом свидетельствует быстрый рост исследований, где применяются
методы и представления теории диссипативных структур, и появление
многих содержательных экспериментальных работ, посвященных явлениям самоорганизации.
В качестве примеров здесь можно привести исследование сценариев
перехода к турбулентности и анализ маломодового хаоса в гидродинамических системах [225], изучение колебательных химических
реакций [358], поведения активных биологических сред [166], динамики морфогенетических процессов [32, 273] и ряд других. Оказалось, что для решения многих конкретных задач в физике плазмы,
микроэлектронике, гидродинамике, химической кинетике, астрофизике, во многих других областях необходимо ответить на ряд общих вопросов. Каковы механизмы возникновения пространственно-временной
упорядоченности в нелинейных средах? Могут ли простые структуры
быть объединены в сложные, каковы законы организации возникающих структур? Как происходит переход от простейших упорядоченных

Введение
9

к сложным стохастическим режимам? Существуют ли эффективные
способы управления процессами в диссипативных системах? Попытки
ответить на эти вопросы позволили выделить некоторые черты, характерные для нелинейных сред. Остановимся на некоторых из них.
Обычно с целого класса начальных данных в таких системах происходит выход на один и тот же установившийся режим, другими
словами, наблюдается «забывание» деталей начальных данных. Это
позволяет поставить вопрос о направлении процессов, об их «цели».
Для замкнутых систем ответ на него дает второе начало термодинамики. Для ряда нелинейных сред ответ оказывается аналогичным.
С течением времени в них устанавливаются однородные по пространству стационарные распределения. Для моделей, которые их описывают, можно по аналогии с обыкновенными дифференциальными уравнениями построить функцию Ляпунова, которая и определяет направление процессов [90, 197].
Однако анализ многих математических моделей показывает, что
описанная ситуация является не правилом, а исключением. Обычно
установившийся режим является более сложным. Его математическим
образом является предельное множество, к которому притягиваются
траектории в фазовом пространстве системы. Часто его называют
аттрактором.
В гамильтоновых системах, где энергия сохраняется, ситуация может быть совершенно иной — при мало отличающихся значениях
энергии или других интегралов (которые определяются начальными
данными) решения не стремятся друг к другу [135].
«Забывание» начальных данных намного упрощает исследование
открытых диссипативных систем. Можно ожидать, что в системе будет существовать конечное число различных структур и что для их
анализа удастся использовать сравнительно простой математический
аппарат.
Исследования показали, что во многих случаях установившиеся
режимы в нелинейных диссипативных средах обладают инвариантногрупповой структурой. В простейших ситуациях это могут быть автомодельные решения, стационары, бегущие или стоячие волны. Часто
наблюдаются также двух- или трехчастотные режимы. Современные
методы инвариантно-группового анализа позволяют найти полный набор автомодельных решений изучаемых уравнений [153]. Для большого класса стохастических режимов характерна масштабная инвариантность [323]. Аттрактор оказывается подобным себе на разных
пространственных масштабах. Инвариантные решения все чаще выступают не как исключения или частные случаи, а как асимптотика
большого класса других решений.
Таким образом, в зависимости от начальных данных в сравнительно
простых диссипативных системах может происходить выход на решения качественно различных типов — стационарные, периодические,
многочастотные или стохастические. Такое поведение было зафикси

Введение

ровано и в ряде экспериментальных работ. Например, в работе [376]
отмечалось, что в течении Куэтта–Тейлора (движение жидкости между
вращающимися цилиндрами) при определенных значениях параметра
было зафиксировано более 100 различных установившихся режимов.
То есть в одной и той же открытой диссипативной системе ход процессов на развитой стадии, их «цели» могут быть различными.
Наличие нескольких аттракторов тесно связано с новыми возможностями управления процессами в нелинейных средах. В самом деле,
в фазовом пространстве можно выделить границы, разделяющие области притяжения различных аттракторов. Малое изменение начальных
данных вблизи этой границы может привести к качественно различному поведению на развитой стадии. Это свойство является общим
для многих открытых нелинейных систем. В большинстве из них есть
определенная область параметров или стадия, где система особенно
чувствительна к воздействиям, согласованным с ее внутренними свойствами. (В ряде работ их называют резонансным возбуждением системы [121].) Далее мы увидим, что амплитуда и продолжительность
воздействий зачастую менее важны, чем их соответствие свойствам
среды (в простейших случаях это может быть определенный профиль
начальных данных или определенный тип их симметрии). Резонансное
воздействие может существенно изменить ход процессов. Появляется надежда, что исследование внутренних свойств нелинейных сред,
изучение законов организации диссипативных структур даст новые
инструменты воздействия на сложные системы.
Принципиальную роль в исследовании диссипативных структур и
явлений самоорганизации играет использование компьютеров. Оказалось, что анализ большинства нелинейных математических моделей
требует сочетания современных аналитических методов с большими
сериями расчетов на ЭВМ. Такое сочетание сегодня все чаще называют
вычислительным экспериментом. Анализ результатов вычислительного эксперимента может приводить к появлению новых понятий и
представлений, а иногда и к предсказанию новых явлений.
Если ранее в задачах синергетики основное внимание уделялось
стационарным диссипативным структурам, то в последние годы исследователям удалось продвинуться в понимании сложной пространственной и временной упорядоченности. Обзор некоторых важных результатов содержится в этой книге.
Для анализа стохастического поведения во многих случаях не требуется учета огромного количества степеней свободы, оно может быть
понято в рамках упрощенных моделей, учитывающих взаимодействие
нескольких переменных. Поэтому подход синергетики, связанный с построением иерархии упрощенных моделей, оказывается здесь очень
эффективным. Их исследование в ряде случаев позволяет выявить не
только качественные, но и универсальные количественные закономерности, характерные для многих нелинейных систем [263].

Введение
11

Двадцать лет назад Р. Фейнман одной из ключевых задач науки
будущего считал анализ процессов в нелинейных средах, построение качественной теории нелинейных уравнений в частных производных [190]. За прошедшие годы в этом направлении был сделан важный шаг.
Синергетика представляет собой междисциплинарный подход — она
помогает увидеть место конкретных исследований в общей картине,
во многих случаях определяет приоритеты, помогает выработать язык,
на котором удобно говорить о нелинейных явлениях. Последнее представляется особенно важным. Сейчас быстро возникают и активно
развиваются новые научные направления. Поэтому анализ общих представлений, взаимосвязей между ними вызывает особый интерес.
При этом возникают две тенденции. Тенденция к сверхспециализации самого междисциплинарного подхода. Уже появились сборники
по биологической синергетике, социосинергетике, синергетике разрушения. И тенденция к переходу на философский уровень, на котором
трудно говорить о конкретных задачах. Поэтому все чаще встает вопрос, есть ли у синергетики будущее. Это во многом определяется тем,
насколько интересные задачи удастся поставить в различных областях.
Это зависит и от того, насколько интересными окажутся ответы на
вопросы, поставленные при создании синергетики.
Один из таких вопросов — анализ процессов в нелинейных средах,
построение иерархии упрощенных моделей. Результаты последних лет
говорят о значительном прогрессе в этой области.
Мы охарактеризуем ряд математических результатов, касающихся
сложной пространственной и временной упорядоченности, и приведем
ряд физических ситуаций, в которых эти результаты эффективно используются. В книге рассматривается иерархия упрощенных моделей,
возникающая в теории систем реакция–диффузия.
Естественно, книга не охватывает очень многих областей, где математическое моделирование нелинейных явлений и идеи синергетики
играют фундаментальную роль. Среди них глобальные модели [148],
теория гиперциклов Эйгена [Д25], многие математические модели экономики, социологии и психологии [Д13, Д19, Д22], теория нейронных
сетей, позволяющая поставить вопрос о моделировании обучения и
саморазвития [Д6], а также множество других.
В последние годы появилось несколько подробных обзоров, посвященных переходу к турбулентности в гидродинамических системах [68]. Поэтому основное внимание мы уделим другим работам,
в которых изучается сложная пространственная и временная упорядоченность, прежде всего имея в виду системы типа реакция–диффузия
и некоторые другие модели.

Книга рассчитана на сравнительно широкий круг читателей. Вероятно, математикам будет интересно, какие результаты имеют ключевое
значение при анализе конкретных математических моделей, а также

Введение

какие вопросы остаются открытыми. Многим специалистам в области физики, техники, химии, биологии будет полезно познакомиться
с рядом современных математических подходов, активно используемых
в теории самоорганизации. Большая часть книги доступна студентам
старших курсов.
Библиография в этой работе не претендует на полноту. В основном
она содержит либо работы, где те или иные результаты изложены
в наиболее полной и доступной форме, либо оригинальные работы,
в которых можно уточнить важные детали, касающиеся обсуждаемых
задач.

Г л а в а 1

САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТАЦИОНАРНЫЕ
ДИССИПАТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ

Важным классом математических моделей, отражающим многие
общие свойства нелинейных сред, стали системы типа реакция–диффузия. По-видимому, впервые модель такого типа была использована
А. Тьюрингом при математическом моделировании морфогенеза [384].
В этой работе, вышедшей более 35 лет назад, были получены результаты, определившие развитие большого научного направления.
А. Тьюринг выдвинул гипотезу, позволяющую обьяснить возникновение морфологических и физиологических различий клеток в ходе
развития организма. Он предположил, что возникновение структур
в первоначально однородной ткани может быть объяснено диффузионными процессами и простейшими химическими реакциями. Реакции
описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений.
Учет диффузионных процессов приводит к системе параболических
уравнений
ut = Duxx + Q(u)

(u — вектор; Q — векторная функция; D — диагональная матрица).
Если Q — линейная функция, то при t → ∞ ∥u∥ ∼ eλt (т. е. либо
∥u∥ → 0, либо ∥u∥ → ∞). Чтобы описывать возникновение структур,
функция Q(u) должна быть нелинейна. Нелинейность может быть
связана с законом действующих масс (при этом в Q(u) входят произведения концентраций) либо с другими факторами.
Рассмотрим возникновение стационарных диссипативных структур
на примере нескольких математических моделей биологии.

1.1. Диссипативные структуры
и моделирование морфогенеза

Одной из наиболее интересных задач, стоящих перед современной
биологией, является исследование процессов, которые управляют развитием органов, т. е. включают в определенной последовательности и