Асимптотические методы в анализе

Ильин А.М.

Данилин А.Р.

Асимптотические

методы  в
анализе

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517.928+517.15
ББК 22.16+22.1614
И 46

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 08-01-07004

И л ь и н А. М., Да н и л и н А. Р. Асимптотические методы в анализе. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 248 с. — ISBN 978-5-9221-1056-3.

В монографии систематически излагаются основные понятия и методы
асимптотического анализа, как классические, так и разработанные в последнее
время. Книга будет полезна студентам и аспирантам математических и технических специальностей, а также исследователям, столкнувшимся с асимптотическими проблемами.

Научное издание

ИЛЬИН Арлен Михайлович
ДАНИЛИН Алексей Руфимович

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В АНАЛИЗЕ

Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагель
Оригинал-макет: Д.В. Горбачев
Оформление переплета: Н.В. Гришина

Подписано в печать 24.11.08. Формат 6090/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 15,5. Уч.-изд. л. 16,0. Тираж 300 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15

ISBN 978-5-9221-1056-3

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2009

c⃝ А. М. Ильин, А. Р. Данилин, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Г л а в а 1. Асимптотические ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

§ 1. Пример вычисления интеграла . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
§ 2. Асимптотические ряды. Определение . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
11
§ 3. Свойства асимптотических рядов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

Г л а в а 2. Применение асимптотического метода для вычисления
сумм и рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

§ 4. Вывод формулы Эйлера. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
§ 5. Вспомогательные оценки. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
§ 6. Асимптотика частичной суммы гармонического ряда . .. . . . . . . . .
32

§ 7. О вычислении суммы ряда S =

∞
k=2

1

k ln2 k . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

Г л а в а 3. Метод Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37

§ 8. Предварительное исследование интеграла Лапласа . .. . . . . . . . . .
37
§ 9. Максимум показателя h(t) достигается на границе . .. . . . . . . . . .
39
§ 10. Максимум показателя h(t)
достигается
во
внутренней
точке.
Асимптотика интеграла F(λ) в частном случае. .. . . . . . . . . . . . .
41
§ 11. Максимум показателя h(t) достигается во внутренней точке. Общий случай. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
§ 12. Асимптотика гамма-функции Эйлера. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49

Г л а в а 4. Метод стационарной фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

§ 13. Асимптотика интеграла при отсутствии стационарных точек . .. . . .
57
§ 14. Асимптотика интеграла в частном случае . .. . . . . . . . . . . . . . . .
58
§ 15. Асимптотика интеграла в случае одной стационарной точки . .. . . .
63
§ 16. Асимптотика интеграла в общем случае . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
65
§ 17. Асимптотика функции Бесселя . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68

Оглавление

Г л а в а 5. Метод перевала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71

§ 18. Предварительное исследование интеграла . .. . . . . . . . . . . . . . . .
71

§ 19. Построение асимптотики интеграла методом перевала . .. . . . . . . .
73

§ 20. Асимптотика функции Эйри . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79

Г л а в а 6. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка на бесконечности . . .
85

§ 21. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
85

§ 22. Ограниченные колеблющиеся решения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
86

§ 23. Уравнения с экспоненциально растущими и с экспоненциально
быстро стремящимися к нулю решениями . .. . . . . . . . . . . . . . . .
92

§ 24. Общее
линейное
уравнение
второго
порядка.
Преобразования
Лиувилля. Примеры . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

§ 25. Метод ВКБ. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107

Г л а в а 7. Сингулярные задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113

§ 26. Сингулярные краевые задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Постановка задачи.
Оценка решения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113

§ 27. Построение и обоснование асимптотического ряда решения сингулярной краевой задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
118

§ 28. Простейшая бисингулярная задача . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131

§ 29. Процесс согласования асимптотических разложений . .. . . . . . . . .
142

§ 30. Асимптотика интеграла, зависящего от произведения разномасштабных функций . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154

Г л а в а 8. Начальная задача для дифференциального уравнения
с малым параметром при производной. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169

§ 31. Постановка задачи. Построение формальной асимптотики . .. . . . .
169

§ 32. Обоснование асимптотического разложения. Система уравнений . .
175

§ 33. Промежуточный пограничный слой. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178

Г л а в а 9. Метод двух масштабов для дифференциального уравнения с малым параметром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199

§ 34. Постановка задачи. Построение формальной асимптотики . .. . . . .
199

§ 35. Обоснование асимптотического разложения. Уравнение Ван дер
Поля . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208

Оглавление
5

Г л а в а 10. Дифференциальные уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216

§ 36. Постановка задачи. Построение предельного решения . .. . . . . . . .
216
§ 37. Построение формальной асимптотики . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
§ 38. Существование и единственность решения. Оценка решения. Обоснование асимптотики . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222

Задачи и упражнения . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229

Список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246

ВВЕДЕНИЕ

Асимптотика — понятие, знакомое всем еще со школы по асимптотам гиперболы, занимает незаслуженно малое место в программе
университета. Между тем асимптотические методы и асимптотический
подход к явлениям отражены чуть ли не в половине современных исследований по математике, физике, механике и многим другим наукам.
В несколько упрощенном виде асимптотическое исследование состоит в отыскании приближенной простой формулы для вычисления
сложной функции. Именно так определяется асимптота гиперболы: для
удаленных точек гипербола приближенно может быть представлена
прямой. Хотя вид гиперболы и формула, ее определяющая, не очень-то
сложные, но прямая и формула, ее описывающая, все-таки несколько
проще. 1) А вот примеры трех более сложных задач, по существу
асимптотических, но совершенно простых по постановке.
1. На клетчатой бумаге, где длина стороны клетки равна 1, нарисован круг большого радиуса R (например 106). Сколько точек с целыми
координатами (т. е. вершин квадратов) находится внутри круга?
2. Сколько существует простых чисел, которые меньше числа n?
Это число обычно обозначается π(n). Например, π(100) = 25, π(200) =
= 46. А если n — большое число, например 109?
3. Как найти значение суммы величин, обратных натуральным
числам:
Z(m, n) = 1

m +
1

m + 1 +
1

m + 2 + ... + 1

n ?

Если n невелико, то поможет обычный калькулятор или, в крайнем
случае, компьютер. А если n велико? Что больше: Z1 = Z(1010, 2 · 1010),
Z2 = Z(1012, 2 · 1012), Z3 = Z(1015, 3 · 1015)? Тут уж вряд ли поможет
даже мощная ЭВМ, если заставить ее просто складывать столько
чисел.
Несмотря на схожесть этих вопросов и их внешнюю простоту,
перечисленные задачи довольно сложны.

1) Слово
«асимптотика»
происходит
от
греческого
слова
συμπτωτ´oς
(ср. слово «симптом») и частицы «a», означающей отрицание. Таким образом,
буквальный перевод означает несовпадение, что отражает лишь одно и не
самое главное свойство асимптотики. Более важным является как раз близость
асимптотики к тому, что она приближает.

Введение
7

Проще всего догадаться об ответе на первый вопрос. Ясно, что
число таких точек приближенно равно площади круга, т. е. πR2. Если
центр круга совпадает с одной из вершин квадрата, то, например, для
5 < R <
√

26 площадь круга заключена между значениями 78,5 и 81,7,
а число точек равно 81. Это уже неплохая точность. С увеличением R
относительная точность улучшается. Но какова разность между числом
точек и πR2? Чему она приблизительно равна, какой величине: какой
либо постоянной D, D1R, D2

R
или совсем другой величине? А если
одному из этих выражений, то чему тогда равны постоянные D, D1
или D2? Можно ли еще уточнить выражение для числа таких точек?
Это типичные вопросы для асимптотического анализа. Оказывается,
данная задача очень трудна и в ее решении имеются лишь отдельные
достижения. (Кстати, искомое число целых точек равно, с точностью
до легко вычисляемого множителя, числу не превосходящих числа R
частот свободных колебаний закрепленой по краю прямоугольной мембраны.)
Решение второго вопроса — тоже очень сложная задача. Показано (П. Л. Чебышёв, 1848 г.), что π(n) приблизительно равно
n

ln n. Более того, для достаточно больших n справедливы оценки

0,9212 ... < π(n) ln n

n
< 1,1055 ... Получение более точных формул сопряжено с очень большими трудностями.
А вот ответ на третий вопрос с весьма исчерпывающей полнотой дан еще в 1740 г. Л. Эйлером: Z(1, n) = ln n + C + rn, где
C = 0,5711 ... — постоянная Эйлера (известно ее значение с огромным
числом десятичных знаков, но до сих пор неизвестно, рациональна

она или нет), а |rn| < 2

n. Так что без всяких ЭВМ легко видеть,

что с точностью до 9 десятичных знаков Z1 = Z(1010, 2 · 1010) ≈
≈ Z2 = Z(1012, 2 · 1012) ≈ ln 2 = 0,693 147 18 ... , Z3 = Z(1015, 3 · 1015) ≈
≈ ln 3 = 1,098 612 28 ... Значит, Z3 > Z1, Z3 > Z2, а вот что больше,
Z1 или Z2, ответ на этот вопрос будет дан в гл. 2, где будет получена
полная асимптотическая формула для Z(m, n). Первые два вопроса,
упомянутые выше, не будут далее рассматриваться в данном пособии,
их изучение требует весьма глубоких математических методов.
Большую роль играют асимптотические методы в математической
физике. По сути дела, асимптотическими являются понятия луча света,
волнового пакета, групповой скорости и многих других физических
явлений. С другой стороны, наиболее сильные результаты в теории
вероятностей, в математической статистике и в такой сугубо математической дисциплине, как теория чисел, также являются асимптотическими (например, распределение простых чисел, как это показано

Введение

в задаче 2). Асимптотическое исследование в широком смысле этого
слова, состоящее в нахождении простого приближенного выражения
для более сложного объекта, фактически составляет основу стандартного курса математического анализа (достаточно вспомнить определение дифференциала и формулу Тейлора).
В книге излагаются основы асимптотического анализа, метод перевала (исследование интегралов от быстро убывающих или быстро
колеблющихся функций) и ряд асимптотических задач из теории дифференциальных уравнений.
Знак ▼ означает окончание доказательства теоремы или леммы.
Знак ∞, если не оговорено противное, означает +∞.
В заключение отметим, что читать книгу можно выборочно. В гл. 1
даются общие определения и основные свойства асимптотических рядов, которые необходимы для понимания остального материала книги.
После просмотра главы 1 можно приступать к чтению почти любой из
остальных глав, связи между которыми весьма незначительны.
Совершенно независимы главы 2, 3, 7, 9 и 10. В гл. 4 только в
§ 15 имеется небольшая ссылка на § 11, в гл. 5 только окончательный
вывод формулы апеллирует к гл. 3. Основное содержание гл. 6 тоже
абсолютно независимо, лишь примеры в § 24 опираются на § 17 и § 20.
Изложение примеров в § 30 не зависит от всех остальных параграфов.
Глава 8 наиболее сложна для изучения и требует знакомства с гл. 7.

Г л а в а 1

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ

§ 1. Пример вычисления интеграла

Требуется найти значение очень простого интеграла

I =

52
sin x10 dx
(1.1)

с некоторой приемлемой точностью (например, найти первые пять
значащих десятичных цифр). Грубая оценка интеграла I очевидна:
52
f(x) dx
⩽

52
dx = 3, но она не дает возможности получить более

точное значение I.
Стандартный путь вычисления по формулам трапеций, Симпсона
и т. д. не приводит к результату. Программы прежних лет типа Maple,
Mathematica и т. п. отказывались считать этот интеграл, то объявляя,
что он расходится, то «зависая». Это вполне понятно, так как подынтегральная функция описывает достаточно интенсивные колебания —
ее производная 10x9 cos x10 достигает значений 1,9 × 107, а вторая производная — 3 × 1014. Поэтому простое использование приближенных
методов квадратур с автоматическим удвоением числа точек разбиений
отрезка приводит к беспорядочным изменениям приближенных значений и не достигает требуемой точности. Более современные мощные
специализированные программы, конечно, справляются с вычислением
этого интеграла, но они, по-видимому, используют как раз асимптотические методы. Покажем, как работает асимптотический метод на этом
простейшем примере.
После замены переменной y = x10 интеграл I приобретает вид

1
10 ·

510210
y−9/10 sin y dy, где подынтегральная функция уже не являет
ся быстро колеблющейся. Зато появляется другая неприятность —
очень большой промежуток интегрирования, — с которой также не

Гл. 1. Асимптотические ряды

могут справиться простейшие квадратурные методы. Но именно это
обстоятельство — большие значения пределов интегрирования — дает
возможность применить простой асимптотический метод.
Введем обозначение

Z(t, α) =

∞t
y−α sin y dy.

Этот интеграл сходится, как известно, при t > 0 и любом α > 0, а

I = 1

10 ·
Z
210; 9

10

− Z
510; 9

10

.
(1.2)

Интеграл Z(t, α) при больших значениях t легко вычисляется методом интегрирования по частям:

Z(t, α) =

+∞
t
y−α sin y dy = −y−α cos y
+∞

t
− α

+∞
t
y−α−1 cos y dy =

= t−α cos t − α
y−α−1 sin y|+∞
t
+ (α + 1)

+∞
t
y−α−2 sin y dy
=

= t−α cos t + α · t−α−1 sin t − α(α + 1)

+∞
t
y−α−2 sin y dy.

Проинтегрируем по частям еще два раза и в результате получим

Z(t, α) = cos t

tα
+ sin t

tα+1 · α − cos t

tα+2 · α(α + 1) −

− sin t

tα+3 · α(α + 1)(α + 2) + R(t, α),
(1.3)

где R = R(t, α) = α(α + 1)(α + 2)(α + 3) ·

+∞
t

sin y
yα+4 dy — остаток. Убе
димся, что остаток достаточно мал, оценив его по абсолютной величине:

|R(t, α)| =
α(α + 1)(α + 2)(α + 3) ·

+∞
t

sin y
yα+4 dy
⩽

⩽ α(α + 1)(α + 2)(α + 3) ·

+∞
t
y−α−4 dy = α(α + 1)(α + 2) · t−α−3.

§ 2. Асимптотические ряды. Определение
11

Подставив α = 9

10, t = 210, получим, что

R
210, 9

10

< 6 · 2
10(− 9

10 −3) < 1,2 · 10−11,
R
510, 9

10

< 6 · 5−39 < 4 · 10−20.

Из формулы (1.3) имеем

Z
210, 9

10

≈ 0,001 928 149 7,
Z
510, 9

10

≈ −5,112 053 778 46 · 10−7.

Окончательно из (1.2): I ≈ 1,927 638 5 · 10−4, причем все десятичные
знаки верные! Для получения 5 значащих цифр можно было бы ограничиться меньшим числом членов в формуле (1.3). Если продолжить
интегрирование по частям, то можно получить еще б´ольшую точность.
Можно ли получить таким образом любую наперед заданную точность?
Это мы выясним в следующем параграфе.

§ 2. Асимптотические ряды. Определение

Снова рассмотрим пример прошлого параграфа. Немного удобнее
исследовать интеграл

V (t) =

∞t

eiy

y dy,
Z(t, 1) = Im V (t).

Интегрируя по частям, получаем

V (t) = −eit

it − eit

(it)2 − 2 eit

(it)3 − 3! eit

(it)4 − ...

... − (n − 1)! eit

(it)n + n!

∞t

eiy

inyn+1 dy. 1)
(2.1)

Если n < t, то каждый следующий член выписанной суммы меньше
предыдущего и дает более точное приближение функции V (t). Поэтому
при больших значениях t несколько членов выписанной суммы дают
очень хорошее приближение (как это было показано в § 1). Но если при
фиксированном t число членов неограниченно увеличивать, то видно,
что приближение, наоборот, ухудшается — члены суммы неограниченно растут с ростом n. (Нельзя желать слишком многого!)

1) Проще всего проверить эту и подобные формулы, дифференцируя почленно левую и правую части предполагаемого равенства.

Гл. 1. Асимптотические ряды

Мы имеем пример асимптотического приближения:

∀ n ∈ N
V (t) =

n−1
k=0
k!
−eit

(it)k+1 + Rn(t),
(2.2)

где

|Rn(t)| =
n!

∞t

eiy

inyn+1 dy
< (n − 1)! · t−n.

Ценность формулы (2.2) возрастает с ростом t. Так мы приходим к пониманию асимптотического представления функции, примером которого является (2.2). Асимптотика не имеет смысла до тех пор, пока
не указано, о каком предельном переходе идет речь. 1) Формула (2.2)
носит асимптотический характер, если оговорено, что t → ∞. Согласно
приведенной оценке остаточного члена Rn(t) его модуль по порядку не
превосходит модуля последнего члена суммы (2.2). Но легко улучшить
эту оценку. Для этого надо еще раз проинтегрировать Rn(t) по частям.
В результате получим оценку

|Rn(t)| =
−n!
eit

(it)n+1 + (n + 1)!

∞t

eiy

in+1yn+2 dy
< 2n! · t−n−1.
(2.3)

Формула (2.2) — это пример асимптотического представления.

О п р е д е л е н и е 2.1. Пусть функция F(t) определена при всех
достаточно больших t. Будем говорить, что для функции F(t) справедливо асимптотическое представление при t → ∞, если для этих t

F(t) =

n
k=0
ψk(t) + Rn(t),

где каждый последующий член суммы по порядку меньше предыдуще
го, т. е. lim
t→∞
ψk+1(t)
ψk(t)
= 0, а lim
t→∞
Rn(t)
ψn(t) = 0.

Это определение весьма общее, и во многих задачах удобнее конкретизировать вид функций ψk(t).
Начнем с определения асимптотического разложения по степеням
аргумента t.

1) Точно так же не имеет смысла и само понятие предела функции f(x), если не указано, о каком предельном переходе аргумента идет речь, обязательно
должно быть сказано: x → 0, или x → ∞, или x → x0 и т. п.

§ 2. Асимптотические ряды. Определение
13

О п р е д е л е н и е 2.2. Пусть функция f(t) определена при t > A
для некоторого положительного A. Ряд

∞
k=0
akt−k
(2.4)

называется асимптотическим рядом функции f(t) при t → ∞, если
для любого натурального n и любого t > A справедливо неравенство

f(t) −

n
k=0
akt−k< Mnt−n−1,
(2.5)

где Mn — некоторая положительная постоянная, вообще говоря зависящая от n.
В случае выполнения неравенств (2.5) говорят также, что функция f(t) разлагается в асимптотический ряд (2.4) при t → ∞, что
записывается в виде

f(t)
as=

∞
k=0
akt−k,
t → ∞.

Таким образом, в рассмотренном выше примере равенство (2.2)
может быть записано в виде

−e−it
∞t

eiy

y dy
as=

∞
k=1
(k − 1)! i−kt−k,
t → ∞.
(2.6)

Если сделать замену t = x−1, то аналогично предыдущему приходим
к определению асимптотики при x → 0.

О п р е д е л е н и е 2.3. Пусть функция f(x) определена при 0 <
< x < b для некоторого b > 0. Ряд

∞
k=0
akxk
(2.7)

называется асимптотическим рядом функции f(x) при x → +0, если
для любого натурального n и любого x ∈ (0; b) справедливо неравенство
f(x) −

n
k=0
akxk< Mnxn+1,
(2.8)

где Mn — некоторая положительная постоянная, вообще говоря зависящая от n.