Минимизация ошибки разложения сигналов в ряд по эквидистантным физически реализуемым функциям

Надійність технічних засобів
183

УДК 621.391.1

А.Н. ДЕГТЯРЁВ

Севастопольский национальный технический университет, Украина

МИНИМИЗАЦИЯ ОШИБКИ РАЗЛОЖЕНИЯ СИГНАЛОВ В РЯД ПО 
ЭКВИДИСТАНТНЫМ ФИЗИЧЕСКИ РЕАЛИЗУЕМЫМ ФУНКЦИЯМ

Рассматриваются условия существования ортогональных базисов, составленных из физически реализуемых эквидистантных функций. Показано, что существует интервал смещения базисных функций, 
при котором ошибка аппроксимации сигнала рядом минимальна.

Ключевые слова: физически реализуемые функции, эквидистантные функции, ортогональность, 
функционал ошибки, ряд.

Введение

Ошибка аппроксимации физических сигналов 

ортогональными рядами и скорость сходимости рядов зависят от выбора базисных функций. В работе 
[1] показано, что высокую скорость сходимости 
имеют ряды, составленные из базисов, полученных 
смещением импульсных характеристик физически 
реализуемых линейных фильтров. Там же предложен метод ортогонализации, позволяющий определить вес ортогональности для системы линейно независимых функций, однако условия существования 
такой системы не рассматривались. Также не рассматривалась методика получения интервала смещения эквидистантных функций, минимизирующего функционал ошибки аппроксимации сигнала эквидистантным рядом. Целью настоящей работы является устранение указанных «пробелов».

1. Условие существования физически 
реализуемых ортогональных базисов

Условие существования ортогонального базиса

вытекает непосредственно из условия ортогональности функций 
)t(
n
с весом 
)t(
h

,
m
n
,0

,
m
n
,1
td
)t(
h
)t(
)t(
m
n
(1)

где n=0, 1, 2, ….

В работе [1] показано, что вес ортогональности 

имеет вид 

m
n

m
n
mn
)t(
)t(
)t(
h
,             (2)

и для эквидистантных функций (
)
n
t(
)t(
n
, 

— интервал смещения) является периодической 

функцией. Подстановка (2) в (1) позволяет определить неизвестные постоянные 
mn .

Система (1) будет иметь решение (будет непро
тиворечивой), если выполняется условие

)t(
A
)t(
)t(
2
k
m
n
,
(3)

где А — постоянное число.

Будем считать, что 
)t(
0
— импульсная харак
теристика физически реализуемого фильтра, а остальные 
)t(
n
получены смещением
)t(
0
на ин
тервал времени 
.

Определим, для каких 
)t(
n
выполняется не
равенство (3). В простейшем случае импульсная 
характеристика линейного фильтра является общим
решением линейного однородного дифференциального уравнения 

0
)t(
a
)t(
a
...
)t(
a
)t(
a
0
n

/
0
1
n

)1
n
(
0
1

)
n
(
0
0
. (4)

Решение уравнения (4) имеет вид выражения

M

1
m

1m

m

pt
N

1
k

t
p

k
0
t
b
e
e
c
)t(
k

Q

1
l

1
l

l

t
L

1
n

n

t

n
t
q
t
sin
e
t
sin
e
d
n
. (5)

Очевидно, что система функций, полученных

смещением функции (5), будет удовлетворять неравенству (3), если это неравенство будет выполняться 
для системы функций, полученных смещением одного из слагаемых, входящих в выражение (5). 

Рассмотрим, будет ли выполняться условие (3) 

для импульсной характеристики вида 

pt

0
e
c
)t(1
)t(
,
(6)

где 1(t) — функция Хевисайда. С учетом (6) запишем левую часть неравенства (3)

)
m
t(
)
n
t(
0
0

)
m
t(
p
)
n
t(
p
e
c
)
m
t(1
e
c
)
n
t(1
.
(7) 

Для определенности примем 
n
m
, тогда

)
m
t(
)
n
t(
0
0

)
m
n
(
p
pt
2
2
e
e
c
)
m
t(1
.
(8)

Правая часть неравенства (3) имеет вид

k
p
2
pt
2
2
2
0
e
e
c
)
k
t(1
)
k
t(
.
(9)

Подставим (8) и (9) в (3) и получим

)
m
n
(
p
pt
2
2
e
e
c
)
m
t(1

k
p
2
pt
2
2
e
e
c
)
k
t(1
A
.     
(10)

Надійність технічних засобів
184

При 
m
k
, неравенство (10) не выполняется.

Таким 
образом, 
из 
функций 
вида

)
n
t(
p

n
e
c
)
n
t(1
)t(
составить ортогональный 

с весом базис нельзя.

Рассмотрим, можно ли составить ортогональ
ный базис из функций вида

)
n
t(
p

2

)
n
t(
p

1
0
2
1
e
c
e
c
)
n
t(1
)
n
t(
. (11)

Запишем левую часть (3), приняв 
n
m
,

)
n
t(
p

2

)
n
t(
p

1
m
n
2
1
e
c
e
c
)
n
t(1
)t(
)t(

)
m
t(
p

2

)
m
t(
p

1
2
1
e
c
e
c
)
m
t(1

t
p
2
)
m
n
(
p
2
2
1
1
1
e
e
c
)
m
t(1

)
e
e(
e
c
c
)
n
p
m
p
(
)
m
p
n
p
(
t)
p
p
(

2
1
2
1
2
1
2
1

t
p
2
)
m
n
(
p
2
2
2
2
2
e
e
c
.
(12)

Правая часть неравенства (3) имеет вид

)
k
t(
p
2
2
1

2
0

2
k
1
e
c
)
k
t(1
)
k
t(
)t(

)
k
t(
p
2
2
2

)
k
t(
p
)
k
t(
p

2
1
2
2
1
e
c
e
c
c
2

t
p
2
k
p
2
2
1
1
1
e
e
c
)
k
t(1

)
p
p
(t
)
p
p
(
k

2
1
2
1
2
1
e
e
c
c
2

t
p
2
k
p
2
2
2
2
2
e
e
c
.           
(13)

Неравенство (3) не выполняется, если (12) и 

(13) пропорциональны, то есть

.
e
A
2
e
e

,
e
A
e

,
e
A
e

)
p
p
(
k
)
n
p
m
p
(
)
m
p
n
p
(

k
p
2
)
m
n
(
p
2

k
p
2
)
m
n
(
p
2

2
1
2
1
2
1

2
2

1
1

Полученная система имеет решение, если

2
1
p
p
или, если 
m
n
, что противоречит исходным 

условиям.

Таким образом, из функций вида (11) можно 

составить ортогональный базис.

Рассмотрим, можно ли составить ортогональ
ный базис из функций вида

)
n
t(
)t(
0
n

)
n
t(
p

2

)
n
t(
p

1
e
)
n
t(
c
e
c
)
n
t(1
.  (14)

Запишем левую часть неравенства (3), приняв 

для определенности 
n
m
,

)
m
t(
)
n
t(
0
0

)
n
t(
p

2

)
n
t(
p

1
e
)
n
t(
c
e
c
)
m
t(1

)
m
t(
p

2

)
m
t(
p

1
e
)
m
t(
c
e
c

pt
2
)
m
n
(
p
e
e
)
m
t(1

)
m
t
)(
n
t(
c
)
n
m
t
2
(
c
c
c
2
2
2
1

2
1
.(15)

Правая часть неравенства (3) примет вид 

2
)
k
t(
p

2

)
k
t(
p

1

2
k
e
)
k
t(
c
e
c
)
k
t(1
)t(

pt
2
k
p
2
e
e
)
k
t(1

2
2
2
2
1

2
1
)
k
t(
c
)
k
t(
c
c
2
c
.
(16)

Запишем условия, при которых выражения (15) и 
(16) равны (т.е. неравенство (3) не выполняется),

,
nm
)
n
m
(t
t
k
tk
2
t

,n
m
k
2

2
2
2
2
2
(17)

Система (17) имеет единственное решение 

n
m
k
.

Полученный результат противоречит исходным 

данным, поэтому из функций вида (14) можно составить ортогональный базис. 

Рассмотрим, можно ли составить ортогональ
ный базис из функций вида

)
n
t(1
)
n
t(
)t(
0
n

)
n
t(
cos
e
c
)
n
t(

1

)
n
t(
sin
e
c
)
n
t(

2
.        
(18)

Запишем левую часть неравенства (3), приняв 

для определенности 
n
m
,

)
m
t(
)
n
t(
)t(
)t(
0
0
m
n

)
n
t(
cos
e
c
)
m
t(1
)
n
t(

1

)
n
t(
sin
e
c
)
n
t(

2

)
m
t(
cos
e
c
)
m
t(

1

)
m
t(
sin
e
c
)
m
t(

2

)
m
n
(
t
2
e
e
)
m
t(1

)
m
n
t2
(
cos

2

c
c
2
2

2
1

)
m
n
t2
(
sin
c
c
)
n
m
(
cos
2

c
c

2
1

2
2

2
1
.(19)

Правая часть неравенства (3) запишется как

)
k
t(
)t(
2
2
k

)
k
t(
cos
e
c
)
k
t(1
)
k
t(

1

2
)
k
t(

2
)
k
t(
sin
e
c

k
2
t
2
e
e
)
k
t(1

)
k
t(
2
cos

2

c
c

2

c
c
2
2

2
1

2
2

2
1

)
k
t(
2
sin
c
c
2
1
.                   (20)

Неравенство (3) не является истинным, если 

выражения (19) и (20) равны, т.е.

).
k
t(
2
sin
)
m
n
t
2
(
sin

,1
)
n
m
(
cos

),
k
t(
2
cos
)
m
n
t
2
(
cos

Решение полученной системы имеет вид

,l
2
T
k
n

,l
2
T
k
m

(21)

где l—целое число,
T
2
,T—период функций (18).

Надійність технічних засобів
185

Из (21) следует, что если 2

T
является целым 

числом, то неравенство (3) не выполняться.

Таким образом, из функций (18) можно соста
вить ортогональный базис, если период T базисных
функций не кратен 2
.

2. Существование оптимального 

интервала смещения базисных функций

Пусть детерминированный сигнал 
)t(s
пред
ставляется рядом

N

0
n

n
n
)t(
a
)t(s
,

где 

н
T

0

n
n
td
)t(
h
)t(
)t(s
a
, 
н
T — интервал наблюде
ния сигнала.

Функционал ошибки представления сигнала 

рядом записывается как

н
T

0

2
N

0
n

n
n

s

td

E

)t(
a

E

)t(s
I

)
(
E
E

td)
n
t(
a
)t(s

2
2

s

T

0

N

0
n

0
n

н

,             (22)

где 

T

0

2
N

0
n

0
n
td
])
n
t(
a
[
E
— энергия ряда, ап
проксимирующего сигнал,
s
E — энергия сигнала.

Покажем, что существует 
, при котором 

функционал (22) принимает минимальное значение. 

Рассмотрим предельные значения функционала 

(22). При бесконечно малых значениях 
имеем

I
lim

0

н

н

T

0

2
N

0
n

0
n
s

T

0

N

0
n

0
n

0

td
)t(
a
E

td)t(
a
)t(s

lim
2
2

E
E

td
)t(
)t(s

2
2

s

T

0

0

н

,
(23)

где 

н
T

0

2
0
td
)t(
E
— энергия функции 
)t(
0
.

Таким образом, 

const
I
lim

0

и является конечной величиной.

При бесконечно больших значениях 
выра
жение (22) перепишется в виде

I
lim

н

н

T

0

2
N

1
n

0
n
0
s

T

0

N

1
n

0
n
0
0

td
)
n
t(
a
)t(
a
E

td
))
n
t(
a
)t(
a(
)t(s

2
2
.

Поскольку
)
n
t(
)
n
t(1
)
n
t(
0
0
, 

а 
)t(s
и 
)
n
t(
0
имеют конечную энергию, то

const

E
E

td
)t(
)t(s

2
2
I
lim

s

T

0

н

.

Интеграл ошибки минимален и равен нулю, ес
ли выполняется равенство

N

0
n

n
)
n
t(
a
)t(s
.

Таким образом, существует 
, при котором 

функционал (22) принимает минимальное значение.

Пусть случайный сигнал 
)t(
x
на интервале на
блюдения 
н
T
аппроксимируется рядом

N

0
n

n
n
)t(
y
)t(
x
,

где

н
T

0

n
n
td
)t(
h
)t(
)t(
x
y

являются случайными коэффициентами.
Функционал ошибки
представления случайного 

сигнала в виде ряда записывается как

н
T

0

2
N

0
n

n
n

x

td

E

)t(
y

E

)t(
x
M
I
,
(24)

где 

н
T

0

2
N

0
n

n
n
td
])t(
y
[
M
E
— математическое 

ожидание энергии ряда, аппроксимирующего сиг
нал,
td)t(
x
E

н
T

0

2

x
— энергия сигнала, M
—

оператор математического ожидания.

Существование 
, при котором функционал 

(24) принимает минимальное значение, показывается аналогично случаю разложения в ряд детерминированного сигнала.

Надійність технічних засобів
186

3. Определение оптимального интервала 

смещения базисных функций

Будем считать, что детерминированный сигнал

)t(s
является выходным сигналом некоторого 

фильтра
с импульсной характеристикой 
)t(
0
. 

Входным сигналом данного фильтра является сигнал
)t(
f
. Коэффициентами ряда, в данном случае, 

будут являться отсчеты сигнала 
)t(
f
, взятые в мо
менты времени n
. Заметим, что сигнал 
)t(
f
имеет 

модуль спектральной плотности, равный 1, а, следовательно,
)t(
f
содержит дельта-функцию.

В рассматриваемом случае интеграл ошибки 

запишется как

)
(
E
E

td
)
n
t(
)t(s
)
n
(
f

2
2
I

s

0

0

0
n
.
(25)

Определим энергию ряда, аппроксимирующего 

сигнал, с учетом того, что первое слагаемого ряда 
представляет собой импульсную характеристику 
фильтра
)t(
0

0

2

1
n

0
0
td
)
n
t(
)
n
(
f
)t(
)
(
E

0
1
n

0
0

0

2
0
td)
n
t(
)
n
(
f
)t(
2
td
)t(

0

2

1
n

0
td
)
n
t(
)
n
(
f
.
(26)

Первое слагаемое в сумме (26) представляет 

собой энергию импульсной характеристики фильтра

td)t(
E

0

2
0
. 
(27)

Рассмотрим второй интеграл в выражении (26)

0
1
n

0
0
td)
n
t(
)
n
(
f
)t(

1
n
1
n
0

0
0
)
n
(
R
)
n
(
f
td
)
n
t(
)t(
)
n
(
f
,

где выражение

0

0
0
td
)
n
t(
)t(
)
n
(
R

представляет собой отсчет корреляционной функции импульсной характеристики линейной системы, 
взятый в моменты времени n
.

Преобразуем третье слагаемое в (26)

0

2

1
n

0
td
)
n
t(
)
n
(
f
J

0

0
0

1
m
1
n

td
)
n
t(
)
m
t(
)
m
(
f)
n
(
f
.

Выражение 

0

0
0
td
)
n
t(
)
m
t(
))
m
n
(
(
R

является
отсчетом
корреляционной 
функции 

))
m
n
(
(
R
импульсной характеристики 
)t(
0

фильтра, взятом в момент времени 
)
m
n
(
, поэто
му можно записать

))
m
n
(
(
R
)
m
(
f)
n
(
f
J

1
m
1
n

.

Проведем 
группировку 
слагаемых
при 

))
m
n
(
(
R
и получим

)
)
m
n
((
f)
n
(
f
)
m
(
R
2
)
n
(
f
E
J

1
n
1
m
1
n

2
.

Таким образом, 

1
n

2

1
n

)
n
(
f
E
)
n
(
R
)
n
(
f
2
E
)
(
E

)
)
m
n
((
f)
n
(
f
)
m
(
R
2

1
n
1
m

.
(28)

Подставляя (28) в (25), получим зависимость функционала ошибки от 
. Данная зависимость позво
ляет определить оптимальное значение 
. 

Пример. Пусть задан детерминированный сиг
нал

)
e
3
e
3
35
e
12
e
3
10
(
)t(1
)t(s
t
t
2
t3
t
5
,

спектральная плотность которого имеет вид

)
5
j
)(
3
j
)(
2
j
)(
1
j(

)
5
j
)(
3
j(
)
j(
S
.

Необходимо представить 
)t(s
в виде ряда

0
n

0
)
n
t(
)
n
(
f
)t(
s~
)t(s
,

В котором функции 
)
n
t(
0
имеют модуль 

спектральной плотности, совпадающий с модулем 
спектральной плотности сигнала 
)t(s

)
4
)(
1
(

1
)
(
S
)
(

2
2
,            (29)

и минимальный аргумент спектральной плотности, а 
коэффициенты 
)
n
(
f
являются отсчетами сигнала 

)t(
f
, поступающего на вход фильтра амплитудно
частотной характеристикой вида (29).

Решение. Определим функцию 
)t(
0
. Изобра
жение по Лапласу от функции 
)t(
0
не должно 

иметь нулей и полюсов в правой половине комплексной плоскости. Используя методику определения комплексных коэффициентов передачи минимально-фазовых цепей, изложенную в работе [2], 

Надійність технічних засобів
187

получим спектральную плотность функции 
)t(
0
в 

виде 

)
2
j
)(
1
j(

1
)
j(
. 
(30)

Обратное преобразование Фурье от выражения 

(30) дает функцию 
)t(
0

)
e
e(
)t(1
)t(
t
2
t

0
.

Тогда базисные функции запишутся как

)
e
e(
)
n
t(1
)
n
t(
)
n
t(
2
)
n
t(

0
. (31)

Спектральная плотность сигнала 
)t(
f
имеет 

вид

)
5
j
)(
3
j(

)
5
j
)(
3
j(

)
j(
K

)
j(
S
)
j(
F
.
(32)

Определим сигнал 
)t(
f
, взяв обратное преоб
разование Фурье от выражения (32)

)
e
40
e
24
(
)t(1
)t(
)t(
f
t
5
t
3
.

После необходимых вычислений получим ана
литическое выражение зависимости функционала 
ошибки от  интервала 
. Графическое изображение 

данной зависимости показано на рисунке 1. 

Рисунок 1 — Зависимость функционала ошибки от 

интервала смещения базисных функций

Интеграл ошибки достигает своего минималь
ного значения 0,000844452, если интервал смещения 
базисных функций равен 0,132654. 

На рисунке 2 показаны графические изображе
ния сигнала и результата разложения его в ряд.

Функционал ошибки разложения случайного 

сигнала 
)t(
x
в ряд по эквидистантным функциям 

задается равенством (24), преобразовав которое получим

)
(
E
E

td)
n
t(
y
)t(
x
M

2
2
I

x

T

0

N

0
n

0
n

н

.    (33)

Базисные функции 
)
n
t(
0
имеют модуль 

спектральной плотности 
)
(
, связанный с энерге
тическим спектром 
)
(
X
сигнала 
)t(
x
соотношени
ем

)
(
X
)
(
2
,

а)                                                                         

б)

1 — сигнал; 2 — ряд.

Рисунок 2 — Результат аппроксимации сигнала 

эквидистантным рядом

и определяются аналогично базисным функциям, 
используемым при разложении в ряд детерминированного сигнала. 

Будем считать, что 
)t(
x
является выходным 

сигналом фильтра с квадратом модуля амплитудночастотной характеристики равным 
)
(
X
. Входным 

сигналом указанного фильтра является случайный 
сигнал 
)t(
y
.

Определим E
в равенстве (33)

н
T

0

2
N

0
n

0
n
td
])
n
t(
y
[
M
E

н
T

0

0
0

N

0
n

N

0
m

td
)
m
t(
)
n
t(
)
m
(
y
)
n
(
y
M

н
T

0

0
0

N

0
n

N

0
m

td
)
m
t(
)
n
t(
)
m
(
y
)
n
(
y
M

N

0
n

T

0

0
0

N

0
m

y

н

td
)
m
t(
)
n
t(
)
m
,
n
(
R
.

При вычислениях было учтено, что

)
m
,
n
(
R
)
m
(
y
)
n
(
y
M
y

является корреляционной функцией случайного 
процесса 
)t(
y
, определенной для моментов времени 

n
и m
.

Если процесс 
)t(
y
является эргодическим слу
чайным процессом, то

)
)
m
n
((
R
)
m
,
n
(
R
y
y
.

Надійність технічних засобів
188

Учитывая, что 
)t(
y
является дельта-коррели
рованным случайным процессом, запишем

N

0
n

N

0
m

y
)
)
m
n
((
R
E

T

m
n
max

0
0
td
)
m
n
t(
)t(

N

0
n

T

n

2
0

н

td
)t(
.    
(34)

Поскольку 

н
T

0

0
d
)
t(
)
(
y
)t(
x
,

то числитель дроби в формуле (33) примет вид

н
T

0

N

0
n

0
n
td)
n
t(
y
)t(
x
M
Q

н
н
T

0

N

0
n

0
n

T

0

0
td)
n
t(
y
d
)
t(
)
(
y
M

н
н
T

0

T

0

N

0
n

0
0
td
d)
n
t(
)
t(
)
n
(
y
)
(
y
M

н
н
T

0

T

0

N

0
n

0
0
y
td
d)
n
t(
)
t(
)
n
(
R
.

Поскольку 
)t(
y
является дельта-коррелирован
ным случайным процессом, то

N

0
n

T

n

2
0
dt
)t(
Q

н

.
(35)

Подстановка выражений (34) и (35) в соотно
шение (33) дает функционал ошибки в виде

x

N

0
n

T

n

2
0

E

dt
)t(

2
2
I

н

.
(36)

Из выражения (36) следует, что если 

x

N

0
n

T

n

2
0
E
dt
)t(

н

,

то математическое ожидание функционала ошибки 
равно нулю.

Выводы

Из импульсных характеристик физически реали
зуемых линейных фильтров второго и выше порядков 
можно составить ортогональные базисы. 

Существует интервал смещения базисных функ
ций, который минимизирует среднюю квадратичную 
ошибку аппроксимации сигнала рядом. 

Литература

1. Дегтярев А.Н. Быстро сходящиеся ортого
нальные ряды в теории связи / А.Н. Дегтярев 
//Радiоелектроннi i комп’ютернi системи.— 2010. –
№7. – С. 242 –250.

2. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры / 

Г. Лэм. – М.: Мир, 1982. – 592 с.

Поступила в редакцию 03.02.2012

Рецензент: д-р техн. наук, проф., проф. кафедры Э.Ф. Бабуров, Севастопольский национальный технический университет, Севастополь, Украина.

МІНІМІЗАЦІЯ ПОМИЛКИ РОЗКЛАДАННЯ СИГНАЛІВ У РЯД ПО ЕКВІДИСТАНТНИХ 

ФУНКЦІЯХ, ЯКI ФІЗИЧНО РЕАЛІЗОВУЮТЬСЯ

А.М. Дегтярьов

Розглядаються умови існування ортогональних базисів, складених з еквідистантних функцій, якi

фізично реалізуються. Показано, що існує інтервал зсуву базисних функцій, при якому досягається  мінімум 
помилки апроксимації сигналу.  

Ключові слова:
функції, якi
фізично реалізуються, еквідистантні функції, ортогональность, 

функціонал помилки, ряд.

MINIMIZATION OF ERROR IN LINEAR SIGNAL SPLITTING BY THE 

EQUI-DISTANT PHYSICALLY REALIZED FUNCTIONS

A.N. Degtyarev

The conditions of existence of orthogonal bases composed of physically realized equi-distant functions are con
sidered.The existence of basis function shift gap having a minimal signal approximation error is demonstrated.

Key words: physically realized functions,equi-distant functions,orthogonality,error functional,linear.

Дегтярев Андрей Николаевич – канд. техн. наук, доцент кафедры Судовых и промышленных электро
механических систем Севастопольского национального технического университета, Севастополь, Украина, 
e-mail: sevlana2008@yandex.ru.