Введение в гидрогазодинамику и теорию ударных волн для физиков


ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК




Ю.П. РАЙЗЕР
ВВЕДЕНИЕ
В ГИДРОГАЗОДИНАМИКУ И ТЕОРИЮ УДАРНЫХ ВОЛН ДЛЯ ФИЗИКОВ









                                             Издательский Дом
                                             ИНТЕЛЛЕКТ

ДОЛГОПРУДНЫЙ
2011

  Ю.П. Райзер
   Введение в гидрогазодинамику и теорию ударных волн для физиков: Учебное пособие / Ю.П. Райзер — Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2011. — 432 с.

    ISBN 978-5-91559-084-6


    В основе книги лежит курс лекций, читаемый автором в течение многих лет в Московском Физико-Техническом Институте, но сильно расширенный как по степени подробности рассмотрения всех вопросов, так и по охвату тематики.
     Книга даёт необходимый для физиков уровень понимания ключевых явлений. Тщательный отбор рассматриваемых тем учитывает сложившуюся структуру курсов общей физики, восполняя реальные пробелы в изучении принципиальных основ и важнейших приложений.
    Для студентов и преподавателей физических и технических специальностей.




























ISBN 978-5-91559-084-6

          © 2011, Райзер Ю.П.
© 2011, ООО Издательский Дом

                                       «Интеллект», оригинал-макет, оформление

        ОГЛАВЛЕНИЕ










Предисловие.................................................. 10

Глава 1 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ............................................ 10

Часть I ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОГО НЕВЯЗКОГО ГАЗА И УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

Глава 2
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ........................ 17

    2.1. Уравнение непрерывности............................ 17
    2.2. Уравнение сохранения импульса...................... 18
    2.3. Субстанциональная производная и уравнение Эйлера....20
    2.4. Уравнение энергии ..................................21
    2.5. Уравнение адиабатичности............................23
    2.6. Начальные и граничные условия.......................24
    2.7. Идеальный газ с постоянной теплоемкостью............25
    2.8. Линии тока и уравнения Бернулли для стационарного течения жидкости.........................................26

Глава 3
ЗВУК........................................................ 29

    3.1. Волновое уравнение .................................29
    3.2. Линейные бегущие волны............................. 31
    3.3. Акустика........................................... 34
    3.4. Энергия звука...................................... 36
    3.5. Сферические волны...................................41

Оглавление

Глава 4
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ПЛОСКИЕ АДИАБАТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА........................................ 44

    4.1. Характеристики............................................ 44
    4.2. Изэнтропическое течение. Инварианты Римана ............... 48
    4.3. Нелинейная волна, бегущая в одну сторону.................. 51
    4.4. Пример простой волны. «Перехлест»......................... 54
    4.5. Центрированная волна разрежения........................... 57
    4.6. Нестационарное истечение газа в вакуум.................... 60
       4.6.1. Сопоставление со стационарным истечением ............ 61
    4.7. Центрированная волна разрежения как пример автомодельных течений....................................................... 63
    4.8. Невозможность существования центрированной волны сжатия........................................................ 65

Глава 5
УДАРНАЯ ВОЛНА...................................................... 67

    5.1. Распространение скачка сжатия в трубе с поршнем........... 67
    5.2. Общие соотношения между газодинамическими величинами по обе стороны разрыва........................................ 69
    5.3. Косые скачки уплотнения................................... 72
    5.4. Ударная адиабата.......................................... 74
    5.5. Ударная адиабата и скорости для ударной волны в идеальном газе с постоянной теплоемкостью.................................... 76
    5.6. Закономерности ударной волны.............................. 78
       5.6.1. Энтропия и толщина скачка уплотнения ................ 78
       5.6.2. Геометрическая интерпретация соотношений на ударной волне...................................................... 80
       5.6.3. Условия существования скачка уплотнения.............. 83
    5.7. О невозможности существования скачка разрежения в веществе с нормальными свойствами...................................... 84
       5.7.1. Аномальные случаи.................................... 85
    5.8. Термодинамические свойства воздуха при высоких температурах и реальные параметры сильной ударной волны.................... 87
    5.9. Распад произвольного разрыва ............................. 93
       5.9.1. Примеры жизненных ситуаций с произвольными разрывами. 93
       5.9.2. В одну сторону может бежать только одна волна........ 95
       5.9.3. Варианты распада .................................... 97

Оглавление —I 5

Глава 6 ДЕТОНАЦИОННАЯ ВОЛНА.....................................................100

    6.1. Два механизма распространения пламени..........................100
    6.2. Детонационная адиабата.........................................103
    6.3. Качественная структура детонационной волны.....................107
    6.4. Скорость детонации............................................ 110
    6.5. Почему реализуется режим с минимальной скоростью детонации.................................................... 113
        6.5.1. Сверхзвуковые режимы со скоростью, превышающей минимальную .............................................. 116
    6.6. Пределы детонации ............................................ 117
    6.7. Световая детонация ........................................... 118
        6.7.1. Результаты и трактовка эксперимента .................... 119
        6.7.2. Светодетонационная адиабата и параметры плазмы за волной.120
        6.7.3. Сверхсветодетонационный режим ...........................123
    6.8. Волна медленного горения как распространение газодинамического разрыва.....................................124

Глава 7
УДАРНАЯ ТРУБА И РЕЛАКСАЦИОННЫЙ СЛОЙ В УДАРНОЙ ВОЛНЕ ........................................................127

    7.1. Газодинамический процесс в ударной трубе. Падающая ударная волна.................................................127
        7.1.1. Расчеты и оценки параметров ударной волны................129
        7.1.2. Влияние неидеальности процесса...........................133
    7.2. Отражение ударной волны от торца ударной трубы.................135
    7.3. Набегание на стенку потока холодного газа......................137
        7.3.1. Гидравлический удар..................................139
    7.4. Релаксационный слой во фронте ударной волны................... 141
        7.4.1. Качественная картина.................................... 141
        7.4.2. Газодинамические уравнения в слое и его структура........144
    7.5. Пример расчета структуры релаксационного слоя в ударной волне.........................................................146
    7.6. Измерение времени колебательной релаксации.....................150

Глава 8 СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ...........................................................152

    8.1. Постановка автомодельной задачи и закон распространения ударной волны..................................................152

—1 Оглавление

        8.2. Решение автомодельной задачи.............................156
        8.3. Результаты решения и их физическая интерпретация ....... 161
        8.4. От атомного взрыва до лазерной искры ....................163
        8.5. Приближенное рассмотрение сильного взрыва ................166
        8.6. Заключительная стадия сильного взрыва: действие противодавления ..............................................168
        8.7. Почему автомодельное решение неприменимо к взрыву обычного взрывчатого вещества................................ 171

     Глава 9 РАЗЛЕТ ГАЗОВОГО ШАРА В ПУСТОТУ...................................174

        9.1. Асимптотическое движение газа............................175
        9.2. Эффект закалки...........................................178
        9.3. Взрыв на большой высоте..................................180

     Глава 10
     ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ЧЕРЕЗ НАСАДКИ И СОПЛА.............................182

       10.1. Квазиодномерное стационарное течение газа по трубе переменного сечения...........................................183
       10.2. Истечение через насадку..................................186
       10.3. Сопло Лаваля.............................................187
       10.4. Реактивная сила..........................................190

     Глава 11
     ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В АТМОСФЕРЕ С ДОЗВУКОВОЙ И СВЕРХЗВУКОВОЙ СКОРОСТЯМИ.......................................192

       11.1. Распространение малых возмущений в потоке................192
       11.2. Метод Теплера фотографирования газовых течений............195
            11.2.1. Распространение света в неоднородном газе.........196
            11.2.2. Схемы прибора Теплера и современного устройства...200
       11.3. Обтекание затупленного тела гиперзвуковым потоком газа...202
            11.3.1. Лабораторный эксперимент..........................204
            11.3.2. Численное моделирование и теоретические оценки....207
            11.3.3. Сила и коэффициент сопротивления при гиперзвуковом полете тела................................................210
            11.3.4. О неравновесности воздуха за ударной волной при гиперзвуковом движении тел в сильно разреженной атмосфере............... 211

Оглавление —I 7

Часть II
    ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Глава 12
ПОНЯТИЯ О ВЯЗКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЫЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ....................................................215

    12.1. Молекулярно-кинетический механизм газового давления...216
    12.2. Молекулярный механизм внутреннего трения газа в случае чисто сдвигового течения....................................219
    12.3. Гидродинамика чисто сдвигового течения и силы, действующие на пластины.................................................224
    12.4. Тензор вязких напряжений.................................227
    12.5. Уравнение движения вязкой жидкости.......................234
    12.6. Молекулярный механизм теплопроводности газа..............236
    12.7. Диссипация энергии в газе и жидкости.....................238
       12.7.1. Диссипация в газе ..................................238
       12.7.2. Диссипация энергии в несжимаемой жидкости...........241
    12.8. Структура скачка уплотнения в ударной волне ..........243
    12.9. Течение несжимаемой вязкой жидкости по каналу и трубе.251
    12.10. Число Рейнольдса и закон подобия.....................256
    12.11. Обтекание сферы вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса..................................................260
         12.11.1. Физическая оценка силы сопротивления.............261
         12.11.2. Точное решение уравнений (12.79).................265
         12.11.3. Сила сопротивления...............................269
         12.11.4. Линии тока.......................................271
         12.11.5. Пределы справедливости и точность формулы Стокса.273

Глава 13
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЯ...................................274

    13.1. Завихренность жидкости и циркуляция скорости.............274
    13.2. Примеры вихревого движения жидкости......................276
        13.2.1. Вращение сосуда с жидкостью........................276
        13.2.2. Сдвиговое течение..................................277
        13.2.3. Медленное обтекание шара ..........................278
    13.3. Сохранение циркуляции скорости в идеальной жидкости .....279
    13.4. Справедливость уравнений Бернулли для потенциального и вихревого течений идеальной жидкости.......................282
    13.5. Потенциальное течение при движении шара в несжимаемой жидкости.....................................................284

—1 Оглавление

             13.5.1. Шар движется, жидкость на бесконечности неподвижна.285
             13.5.2. На покоящийся шар набегает поток жидкости..........288
         13.6. Парадокс Даламбера: отсутствие сопротивления при потенциальном обтекании тела ...............................290
         13.7. Линии и функции тока при плоском стационарном течении несжимаемой жидкости............................................293

     Глава 14 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ЯВЛЕНИЕ ОТРЫВА..................................299

         14.1. Приближенные уравнения ламинарного пограничного слоя.....300
         14.2. Пограничный слой у полубесконечной пластины, обтекаемой параллельным ей потоком..........................................304
         14.3. Отрыв линий тока от обтекаемого тела.....................312
         14.4. Неустойчивость тангенциальных разрывов ...................317
         14.5. Коэффициенты лобового сопротивления в большом диапазоне чисел Рейнольдса ...............................................321
         14.6. Подъемная сила...........................................325
             14.6.1. Простейшая оценка подъемной силы...................326
             14.6.2. Теорема Жуковского.................................329

     Глава 15 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ.....................................................335

         15.1. Историческое введение и некоторые существенные факты.....336
         15.2. Турбулентные напряжения .................................342
         15.3. Турбулентная вязкость ...................................344
         15.4. Профиль скоростей при турбулентном течении жидкости вдоль неподвижной стенки........................................348
             15.4.1. Гладкая стенка ....................................348
             15.4.2. Шероховатая стенка ................................354
         15.5. Сила сопротивления при турбулентном течении жидкости по трубе........................................................355
             15.5.1. Гладкие трубы .....................................356
             15.5.2. Коэффициент сопротивления для гладкой трубы .......358
             15.5.3. Шероховатые трубы..................................359
         15.6. Баланс энергии и ее превращения при турбулентном движении несжимаемой жидкости............................................362
             15.6.1. Уравнение баланса истинной кинетической энергии....363
             15.6.2. Баланс энергии осредненного движения ..............364
             15.6.3. Баланс энергии турбулентных пульсаций .............367
         15.7. Диссипация энергии при турбулентном течении несжимаемой жидкости вдоль плоской стенки...................................370
             15.7.1. Численная оценкадиссипации.........................375

Оглавление —I 9

    15.8. Закон подобия и энергетический спектр пульсаций при развитой турбулентности.....................................377
         15.8.1. Энергетический спектр......................................380

Глава 16
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН И МЕДЛЕННОЕ ГОРЕНИЕ.................................383

    16.1. Уравнение переноса тепла..........................................384
    16.2. Теплообмен между нагретым телом и неподвижной средой.......388
    16.3. Теплопередача в быстром ламинарном потоке.........................390
    16.4. Турбулентные теплопроводность и теплообмен........................393
    16.5. Распространение пламени в режиме медленного горения........397
         16.5.1. Структура волны медленного горения.........................397
         16.5.2. Упрощенное уравнение режима................................400
         16.5.3. Нормальная скорость волны медленного горения ..............403
         16.5.4. Распределение температуры в зоне прогрева и толщина волны .408
    16.6. Распространение газовых разрядов в режиме медленного горения.........................................................409
         16.6.1. Тенденция разрядов к распространению и аналогия с медленным горением.....................................................410
         16.6.2. Примеры медленного распространения разрядов................413
         16.6.3. Нормальная скорость распространения разряда................417
         16.6.4. Течение в высокочастотном плазмотроне......................420
         16.6.5. Дозвуковое обтекание горячей газовой сферы потоком холодного газа и скорость движения оптического разряда.................422

Литература..................................................................430

        ПРЕДИСЛОВИЕ










           Гидрогазодинамика — ветвь механики, но по существу вся механика остается разделом физики. Недаром все курсы общей физики начинаются с механики, как основы основ. И знание основ гидрогазодинамики, которая нередко переплетается с другими разделами физики, является неотъемлемым элементом эрудиции любого образованного физика. Гидрогазодинамика служит фундаментом для многих инженерных областей: корабли, гидростанции, самолеты, турбины, взрывы и др., для метеорологии, океанологии.
   Эта книга написана физиком и предназначена для физиков, хотя студентам механико-математических факультетов университетов и инженерных специальностей знакомство с ней тоже не возбраняется. Читая руководства по гидрогазодинамике, написанные с математическим уклоном (а таких — большинство), читатель не всегда проникает в физический смысл некоторых важных положений и результатов. Вообще, многие вопросы в этой науке трудны для понимания. Соответствующий материал приходится буквально «разжевывать», чтобы все стало предельно ясным. Где можно, делаются физические оценки и демонстрируется, как идеи и методы газодинамики проникают в смежные области физики и какие это дает результаты.
   Имеется уникальное руководство, которое отвечает многим запросам физиков (и не только физиков), — «Гидродинамика» Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица. Но эта книга — «школа высшего мастерства». Ее эффективнее изучать, обладая определенной подготовкой. Предлагаемая книга годится для этой цели, а для многих ее может быть и достаточно.
   Книга сильно расширяет курс, который автор на протяжении многих лет читает в Московском физико-техническом институте. Она написана по инициативе главного редактора Издательского Дома «Интеллект» Л.Ф. Соловейчика, который чутко уловил потребность в учебном пособии такого рода, отсутствующем в литературе.

ГЛАВА

ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

1

           В середине XX в. к традиционным объектам изучения и приложений гидрогазодинамики, которые перечислены в предисловии и на которые ориентированы признанные руководства общего характера [1] — [5], присоединились новые, связанные с ядерными взрывами и становлением ракетной и космической техники. Отличительной чертой новых объектов газодинамики является присутствие сильных ударных волн, нагревающих воздух до высоких температур в тысячи и многие тысячи градусов. При таких температурах в воздухе протекают всевозможные физические и физико-химические процессы: возбуждение колебаний в молекулах, их диссоциация на атомы, ионизация атомов, атомно-ионно-молекулярные реакции, излучение света. Все это тесно связано с быстрыми течениями газа относительно земли, как при взрывах, или относительно быстро движущихся космических аппаратов. Сформировалась даже новая ветвь науки, которая получила название физической газодинамики. Последней посвящена книга [6], здесь же мы сосредоточимся в основном на механических аспектах течений.
   В динамике газов и жидкостей среда всегда рассматривается как сплошная, т. е. полностью игнорируется тот факт, что вещество состоит из молекул. Это значит, что когда оперируют элементарными (бесконечно малыми) объемами или массовыми частицами вещества, предполагается, что они все равно содержат очень много молекул. Даже когда учитывается влияние на течение среды таких сугубо молекулярных процессов переноса импульса и энергии, как вязкость и теплопроводность, это все равно описывается чисто феноменологически, путем введения в уравнения движения сплошной среды членов с задаваемыми коэффициентами переноса.
   Текущую жидкость всегда можно рассматривать как сплошную среду. В отношении газов такая возможность ограничена условием,

¹² -V

Глава 1. Вводные замечания

что характерные размеры области течения много больше длины свободного пробега молекул. В случае сильно разреженного газа, когда это требование нарушается, движение приходится рассматривать на основе молекулярно-кинетической теории газа. Такие условия встречаются при очень низких плотностях, например, при движении космических аппаратов на высотах порядка 100 км и выше. Этого мы касаться здесь не будем.
   В газодинамике газ всегда считается идеальным в том принятом в физике смысле, что молекулы в среднем отстоят друг от друга достаточно далеко и никакого взаимодействия между ними нет. Молекулы взаимодействуют только в момент столкновения. Требование идеальности накладывает очень мягкое ограничение на плотность газа. Она не должна превосходить величины порядка нескольких сотен плотностей воздуха при нормальных условиях. Столь сильных сжатий газа в обычных условиях не бывает.
   В гидрогазодинамике среду по традиции называют жидкостью независимо от того, жидкость ли это на самом деле или газ. Более того, газодинамику считают частью гидродинамики. Так, в курсе теоретической физики Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [4] динамика газа и жидкости излагается в томе, который называется «Гидродинамика». Курьезно, но вопреки традиции фактически дело обстоит ровно наоборот. Уравнения гидродинамики являются частным случаем уравнений газовой динамики, ибо в последних среда считается сжимаемой, а в гидродинамике — нет. Уравнения гидродинамики следуют из уравнений газовой динамики, если плотность среды посчитать в них постоянной. Это вполне оправданное приближение. Например, чтобы увеличить плотность воды атмосферного давления на 4,4 %, требуется давление 1000 атм. Относительные перепады давления порядка 1000 атм. совершенно не типичны для большинства объектов приложения гидродинамики.
   Напротив, при течении газа перепад давления порядка самого давления ведет к изменениям плотности порядка ее исходной величины. Однако при относительно малых перепадах давления изменения плотности в газовом течении относительно малы, и газ также можно приближенно рассматривать как несжимаемую среду, описывая ее уравнениями гидродинамики. Это обычно бывает возможным в случае течений, медленных по сравнению со скоростью звука.
   В гидродинамике используется понятие идеальной жидкости, но совсем в другом смысле, чем идеальный газ в физике. При рассмот

Глава 1. Вводные замечания

-\г ¹³

рении течений идеальной «жидкости» (включая и газ) не учитываются диссипативные процессы — вязкость, теплопроводность. Идеальной называют невязкую жидкость. Перенос количества движения (импульса) механизмом вязкости пропорционален градиентам скорости течения, а теплопроводностный перенос энергии — градиенту температуры. Жидкость можно считать идеальной, если градиенты скорости и температуры малы. Во многих случаях газовых течений эффектами вязкости можно пренебречь, если длина пробега молекул много меньше, чем характерные размеры неоднородности течения, т. е. в не чрезмерно разреженных газах. Но вблизи поверхностей твердых тел вязкость существенна даже при атмосферном давлении.
   Течение жидкости в указанном обобщенном смысле полностью описывается пятью механическими величинами: тремя компонентами вектора скорости и, массовой плотностью р и давлениемр, как функциями времени t и координат х, у, z точки пространства. Понятия плотности и давления используются не только в механике, но и в термодинамике. Как известно, любая термодинамическая величина может быть выражена в виде функции любых двух других. В динамике газа часто используются помимо р и р и другие термодинамические величины: удельные (рассчитанные на единицу массы) внутренняя энергия е, энтальпия w = е + р/р, энтропия Л’. Считается, что термодинамические свойства газа известны, т. е. известны функции е(р, р) и Л(р, р). То же относится и к температуре Т, хотя понятие температуры в классической газодинамике не используется за ненадобностью. Это в физической газодинамике температура представляет первостепенный интерес, ибо ею определяются как термодинамические характеристики среды (скажем, равновесные степени диссоциации и ионизации), так и кинетика любых физико-химических превращений. В классической газодинамике предполагается, что в каждый момент времени газ пребывает в состоянии термодинамического равновесия, соответствующего данным значениямр и р.В физической газодинамике часто приходится рассматривать и неравновесные состояния, привлекая для их описания закономерности физико-химической кинетики.
   Среда в гидрогазодинамике считается изотропной, что и позволяет пользоваться понятием давления, как силы, действующей по нормали на любую единичную площадку, со стороны прилегающей к ней среды. В этом отношении механика жидкостей (обычных) и

¹⁴ -V

Глава 1. Вводные замечания

газов отличается от механики твердого тела, где аналогичная давлению сила может зависеть от ориентации площадки в теле.
   Как и в других фундаментальных областях физики, теория движения жидкости и газа зиждется на определенных аксиоматических положениях, которые ниоткуда не следуют и не выводятся, но отражают многовековый опыт человечества. В механике газа, как науке фактически более общей, чем механика жидкости, это — вечные и незыблемые законы сохранения массы, импульса и энергии. В случае адиабатических течений, т. е. в отсутствии диссипативных процессов вязкости и теплопроводимости (точнее, при пренебрежении их ролью) и в отсутствии посторонних источников энергии (горения, потерь на излучение и др.), вместо закона сохранения энергии часто бывает целесообразнее использовать другое аксиоматическое положение — второе начало термодинамики. Согласно последнему, в ходе адиабатического процесса сохраняется энтропия каждой массовой частицы среды.
   На протяжении большой части этой книги мы будем заниматься динамикой сжимаемой среды, т. е. газодинамикой, и лишь во второй части обратимся к динамике несжимаемой среды, т. е. фактически к жидкости. Существенно, что в газодинамике чаще всего вязкость особой роли не играет, за исключением специальных проблем, для которых важно исследовать или учитывать процессы течения в непосредственной близости к твердой поверхности (в так называемом пограничном слое). Это в основном важно для аэродинамики самолетов, которой мы здесь заниматься не будем. По этой причине мы оставим физическое разъяснение понятий вязкости и теплопроводности, а также вывод уравнений гидродинамики вязкой жидкости на вторую часть книги, когда займемся вязкими течениями. До тех пор не будем отвлекаться в сторону гораздо более сложных уравнений вязкой жидкости, поскольку в этом не будет никакой необходимости.

ЧАСТЬ
I

 ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОГО НЕВЯЗКОГО ГАЗА И УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

ГЛАВА

2

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ








          Выведем уравнения для и, р и р, описывающие течение сжимаемой невязкой жидкости, фактически газа. Введем в рассмот

рение неподвижную декартову систему координат, относительно

которой течет газ. Поместим около точки х, у, z пространства элементарный кубик со сторонами dx, dy, dz (рис. 2.1) и подведем балансы массы, количества движения и полной энергии, внутренней и кинетической, в элементе объема dxdydz.



Рис. 2.1. Элементарный кубик для вывода уравнений баланса массы, импульса и энергии



2.1.   УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ


           Так называют уравнение, выражающее закон сохранения массы применительно к сплошной среде. Источников рождения и исчезновения вещества в обычных условиях не существует. Значит, увеличение массы в элементарном кубике в единицу времени (др/дt)dxdydz определяется исключительно разностью между скоростями втекания и вытекания газа через грани кубика. Через грань площади dydz в плоскости х в кубик втекает в единицу времени масса (р их)х dydz. Через противоположную грань в плоскости х + dx вытекает (рих)ₓ₊dₓdydz. Их разность дает следующий вклад в скорость увеличения массы в кубике:

            (рих )х dydz - (рих )х₊dₓ dydz = - Ux dxdydz. (2.1)